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导数与单调性训练题


导数与单调性训练题
一、选择题 1.若 f(x)=ex,则 f′(0)等于( A.0 B.1 C.e D.ex 解析:∵f′(x)=ex,∴f′(0)=1. 答案:B x2-1 2.(2011~2012 年滇池中学期末)函数 y= x 的导数是( x2-1 x2+1 x2+1 1-x2 A. x B. x C. x2 D. x2 x2-1 1 解析:y= x =x-x , 1 1 1 y′=(x-x)′=x′-(x )′=1+x2. 答案:C 3. (2011 年东北三省四市统考)曲线 y=x3-3x 在点(0,0)处的切线 方程为( ) B.y=-3x D.y=3x ) )

A.y=-x C.y=x

解析:依题意得 y′=3x2-3,曲线 y=x3-3x 在点(0,0)处的切线 的斜率为 y′|x=0=3×02-3=-3,因此相应的切线方程是 y=-3x, 选 B. 答案:B 4.(2011~2012 年昆明三中期末)若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)=( )

A.-1 B.-2 C.2 D.0 解析:∵f′(x)=4ax3+2bx ∴f′(1)=4a+2b=2

∴f′(-1)=-4a-2b=-f′(1)=-2. 答案:B 5.甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是 s1=t3-2t2+t 和 s2 =3t2-t+10,则 t=2 秒时两个物体运动的瞬时速度关系是( A.甲大 B.乙大 C.相等 D.无法比较 )

解析:v1=s1′=3t2-4t+1,v2=s2′=6t-1,所以在 t=2 秒时 两个物体运动的瞬时速度分别是 5 和 11,故乙的瞬时速度大. 答案:B 6.(2011~2012 年湖南华容期末)设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 π 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线的倾斜角的取值范围是[0,4],则点 P 横坐标的取值范围是( 1 A.[-1,-2] C.[0,1] ) B.[-1,0] 1 D.(2,1]

解析:设点 P 的横坐标为 x0,y′=2x+2 π ∴k=2x0+2,又倾斜角的取值范围是[0,4] 1 ∴0≤2x0+2≤1 ∴-1≤x0≤-2. 答案:A 二、填空题 7.设 y=-2exsinx,则 y′=________. 解析:y′=-2[(ex)′· sinx+ex· (sinx)′]=-2(exsinx+excosx). 答案:-2ex(sinx+cosx) 1 4 8.曲线 y=3x3+x 在点(1,3)处的切线与坐标轴围成的三角形的

面积为________. 解析:y′=x2+1,则在 x=1 处,y′=2,所以切线方程为 y- 4 2 2 = 2( x - 1) ,令 x = 0 ,则 y =- ,即切线与 y 轴的交点为 (0 ,- 3 3 3 ), 1 1 1 1 2 令 y=0,则 x=3,即切线与 x 轴的交点为(3,0),所以 S=2×3×3= 1 9. 1 答案:9 9.(北京市第四中学 2011~2012 学年高二期中测试)若函数 f(x) =x2=2xf′(2),则 f′(2)=________. 解析:f′(x)=2x+2f′(2),令 x=2,则 f′(2)=2×2+2f′(2), ∴f′(2)=-4. 答案:-4 三、解答题 1 10.某运动物体自始点起经过 t 秒后与始点的距离 s 满足 s=4t4 -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 1 解:(1)令 s=0 得4t4-4t3+16t2=0. 1 所以 t2(4t2-4t+16)=0. 1 即4t2(t-8)2=0,解之得 t1=0,t2=8. 故在 t=0 秒或 t=8 秒末的时刻运动物体在始点. (2)∵s′(t)=t3-12t2+32t,

令 s′(t)=0, 即 t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在 t=0 秒,t=4 秒和 t=8 秒时物体运动的速度为零. 11.求下列函数的导数: (1)y=x3+sinx; 1 1? ? (2)y=x?x2+x +x3?;
? ?

(3)y=( x+1)?

?1 ? x

-1?.
?

?

解:(1)y′=(x3)′+(sinx)′ =3x2+cosx. 1 1 1 1 1 1 (2)∵ y′= x′(x2+ x +x3 ) + x(x2+ x + x3)′= x2+ x +x3 + x(x2)′ 1 1 2 +x(x )′+x(x3)′=3x2-x3, 2 ∴y′=3x2-x3. (3)∵y=( x+1)( =1+ 1 -1) x

1 1 - x-1= - x, x x 1 )′-( x)′ x
3 1

∴y′=(

1 - 1 - =-2x 2 -2x 2 1 1 =- (1+x). 2 x 12.已知偶函数 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e 的图象过点 P(0,1),

且在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,求 y=f(x)的解析式. 解:∵f(x)的图象过点 P(0,1),∴e=1. 又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). ∴ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. ∴b=0,d=0,∴f(x)=ax4+cx2+1. ∵函数 f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=x-2, 可知切点为(1,-1),∴a+c+1=-1. ∵f′(1)=4a+2c, 5 9 ∴4a+2c=1.∴a=2,c=-2. 5 9 ∴函数 y=f(x)的解析式为 f(x)=2x4-2x2+1. [拓展延伸] 13.已知直线 l1 为曲线 y=x2+x-2 在点(1,0)处的切线,l2 为该 曲线的另一条切线,且 l1⊥l2. (1)求直线 l2 的方程; (2)求由直线 l1、l2 和 x 轴所围成的三角形的面积. 解:(1)∵y′=2x+1,∴y′|x=1=3.∴直线 l1 的方程为 y=3x- 3. 设直线 l2 与曲线 y=x2+x-2 的交点为(b,b2+b-2),则 y′|x=b =2b+1,∴l2 的方程为 y-(b2+b-2)=(2b+1)(x-b). 1 2 ∵l1⊥l2,∴2b+1=-3,解得 b=-3. 20 1 2 ∴直线 l2 的方程为 y+ 9 =-3(x+3),即 3x+9y+22=0.

?x=6, ? ?y=3x-3, (2)解方程组? 得? 5 ? ?3x+9y+22=0,
1 5 ∴直线 l1 和 l2 的交点坐标为(6,-2).

?

1

? ?y=-2.

22 又 l1、l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(- 3 ,0), 1 25 ? 5? 125 ∴所求三角形的面积 S=2× 3 ×?-2?= 12 .
? ?


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