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二次函数与幂函数 系统复习


第5课时

二次函数与幂函数

第 5 课 时 二 次 函 数 与 幂 函 数

温故夯基·面对高考

考点探究·挑战高考

考向瞭望·把脉高考

温故夯基·面对高考

1.二次函数的解析式有三种常用表达形式 ax2+bx+c(a≠0) (1)一般式:f(x)=__________________; (2)顶点式:f(x)=a(x-h)2 +k(a≠0),(h,k)
是顶点;

(3)标根式(或因式分解式):f(x)=a(x-x1)(x-
x2)(a≠0);其中x1,x2分别是f(x)=0的两实根.

2.二次函数的图象及其性质
a>0 图象 定义域 值域 对称轴 R R
2

a<0

4ac-b 4ac-b2 y∈[ ,+∞) 4a _______________ y∈(-∞, 4a ]

b - 2a x=________

a>0 顶点 坐标 奇偶 性

a<0

4ac-b2 b (- , ) 2a 4a b=0?y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数

b b 在(-∞, - )上是 在(-∞, - )上是 2a 2a 单调 b 增 b 减 性 ___函数;在(-2a,___函数;在(-2a, +∞)上是增函数 +∞)上是减函数

a>0

最值

b 当 x=- 时, 2a 4ac-b2 4ac-b2 4a ymin=_______ ymax= 4a

a<0 b 当 x=- 时, 2a

思考感悟

1.二次函数会为奇函数吗?
提示:不会为奇函数.

3.幂函数的定义 y=xα (α∈R)的函数称为幂函数,其中x 形如______
自变量 常数 是_______,α为_____.

思考感悟 2.幂函数与指数函数有何不同? 提示:本质区别在于自变量的位置不同,幂 函数的自变量在底数位置,而指数函数的自 变量在指数位置.

4.幂函数的性质
函数 特 征 性质

y=x

y=x

2

y=x

3

1

y=x

2

y=x-1

定义 域

R __

R

R

值域

R

[0,+∞) ________

R

{x|x∈ [0,+∞) ________ R 且 x≠0} {y|y∈ [0,+∞) R 且 y≠0}

函数 特 征 性质

y=x ___ 奇

y=x 偶

2

y=x y= x ___ 奇

3

1 2

y=x

-1

奇偶 性 单调 性 定点

非奇 非偶 增

___ 奇 x∈(0,+ ∞) 时, 减 x∈(-∞, 0)时,减 (1,1) _____

x∈[0,+ ∞)时,增 增 增 ___ ___ x∈(-∞, 0] 时,减 (0,0),(1,1) __________

考点探究·挑战高考

考点突破 求二次函数的解析式 利用已知条件求二次函数的解析式,常用的 方法是待定系数法,但可根据不同的条件选 用适当形式求f(x)的解析式. (1)若已知三个点坐标时,宜用一般式.

(2)若已知抛物线的顶点坐标或与对称轴、最 大(小)值有关时,常使用顶点式. (3)若已知抛物线与x轴有两个交点,且横坐标 已知时,选用标根式求f(x)更方便.

例1 已知二次函数f(x)的二次项系数为a,满

足不等式f(x)>-2x的解集为(1,3),且方程f(x) +6a=0有两个相等实根,求f(x)的解析式. 【思路分析】 f(x)与f(x)+2x的二次项系数

相等,由f(x)+2x>0的解集为(1,3),可设f(x) +2x=a(x-1)(x-3).

【解】∵f(x)与f(x)+2x的二次项系数相等, ∴f(x)+2x的二次项系数为a. 又∵f(x)+2x>0的解集为(1,3), ∴设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)(a<0), ∴f(x)=a(x2-4x+3)-2x=ax2-(4a+2)x+3a.

∵方程f(x)+6a=0有两个相等实根,

∴ax -(4a+2)x+9a=0 有两个相等实根. 2 2 ∴[-(4a+2)] -36a =0,解得 a=1(舍), 1 a=- . 5 1 2 6 3 ∴f(x)=- x - x- . 5 5 5
【名师点评】 求二次函数的解析式的关键是

2

待定系数,由题目的条件,合理地选择二次函 数解析式的表达式形式.

求二次函数的最值

求二次函数的最值必须认清定义域区间与对称
轴的相对位置以及抛物线的开口方向(即二次 函数中二次项系数的正负),然后借助于二次 函数的图象或性质求解.因此,定义域、对称 轴及二次项系数是求二次函数的最值的三要 素.

例2 函数f(x)=x2-2x+2在闭区间[t,t+1]

(t∈R)上的最小值记为g(t). (1)试写出g(t)的函数表达式;

(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值.

【思路分析】

配方 → 对称轴x=1 →

分类讨论 → g?t? → 作出图象 → g?t?的最小值

【解】

(1)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1.

当 t+1<1, t<0 时, 即 函数在[t, t+1]上为减函数, g(t)=f(t+1)=t2+1; 当 0≤t<1 时,g(t)=f(1)=1; 当 t≥1 时,函数在[t,t+1]上为增函数, g(t)=f(t)=t2-2t+2.
?t2+1 ?t<0? ? ∴g(t)=?1 ?0≤t<1?. ?2 ?t -2t+2 ?t≥1?

(2)g(t)的图象如图所示:

∴g(t)min=1.

【规律小结】

二次函数区间最值主要有三

种类型:轴定区间定,轴定区间动和轴动区 间定. 一般来说,讨论二次函数在闭区间上的最值, 主要是看区间是落在二次函数的哪一个单调 区间上,从而应用单调性求最值.

互动探究

将本例变为已知函数f(x)=-x2 +

2ax+1-a在x∈[0,1]时有最大值2,求a的值.

解:函数 f(x)的图象的对称轴方程为 x=a. ①当 a<0 时,f(x)max=f(0)=1-a,∴1-a=2, ∴a=-1.

-4?1-a?-4a2 ②当 0≤a≤1 时,f(x)max= = 4×?-1? 1-a+a2, 1± 5 ∴1-a+a =2,∴a= (皆舍去). 2
2

③当 a>1 时,f(x)max=f(1)=a,∴a=2. 综上可知:a=-1 或 a=2.

幂函数 (1)在(0,1)上,幂函数的指数越大,函数图象越

靠近x轴(简记为“指大图低”),在(1,+∞)
上,幂 函数的 指数越 大 ,函 数图象 越远离 x 轴.

(2)作幂函数的图象要联系函数的定义域、值

域、单调性、奇偶性等,只要作出幂函数在
第一象限内的图象,然后根据其性质就可作

出幂函数在其定义域内完整的图象.

例3 (2011 年佛山调研)已知幂函数 f(x)的图

1 象过点( 2, 幂函数 g(x)的图象过点(2, ). 2), 4 (1)求 f(x),g(x)的解析式; (2)当 x 为何值时: ①f(x)>g(x); ②f(x)=g(x); ③f(x)<g(x).

【思路分析】

先用待定系数法求幂函数的

解析式,然后利用g(x),f(x)的图象,求x的取 值范围.

【解】

(1)设 f(x)=xα,(α∈R)
α

∵其图象过( 2,2)点,故 2=( 2) , 解得 α=2,∴f(x)=x2. 设 g(x)=xβ,(β∈R) 1 1 β ∵其图象过点(2, ),∴ =2 ,解得 β=-2. 4 4 ∴g(x)=x .
-2

(2)在同一坐标系下作出 f(x)=x 与 g(x)=x 的 图象,如图所示: 由图象可知:f(x),g(x)的图象 均过点(-1,1)与(1,1). ∴①当 x>1 或 x<-1 时, f(x)>g(x); ②当 x=1 或 x=-1 时,f(x)=g(x); ③当-1<x<1 且 x≠0 时,f(x)<g(x).

2

-2

【失误点评】

容易失误的原因:(1)幂函数

g(x)的图象只画出第一象限的部分.

(2)忽略g(x)=x-2的定义域为{x|x≠0}.

方法感悟

方法技巧

1. 二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)在区间[m, n]上的最值. b 当- <m 时, 函数在区间[m, n]上单调递增, 2a 最小值为 f(m),最大值为 f(n).

2

4ac-b2 b b 当 m≤- ≤n 时, 最小值为 f(- )= , 2a 2a 4a b 最大值为 f(m)或 f(n)(m, 与- 较远的一个对 n 2a 应的函数值为最大). b 当- >n 时,函数在区间[m,n]上单调递减, 2a 最小值为 f(n),最大值为 f(m)(如例 3).

2.二次函数、二次方程、二次不等式之间可 以相互转化(如例2).一般规律: (1)在研究一元二次方程根的分布问题时,常 借助于二次函数的图象数形结合来解,一般 从①开口方向;②对称轴位置;③判别式; ④端点函数值符号四个方面分析. (2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一 般需借助于二次函数的图象、性质求解.

3.幂函数y=xα(α∈R),其中α为常数,其本 质特征是以幂的底x为自变量,指数α为常数, 这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据 和惟一标准.应当注意并不是任意的一次函 数、二次函数都是幂函数,如y=x+1,y=x2 -2x等都不是幂函数.

失误防范

1.研究二次函数的性质要注意二次项系数a的
正负,及对称轴的位置、两点不应忽视.

2.幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定
不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、 三象限,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最 多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图 象与坐标轴相交,则交点一定是原点.

考向瞭望·把脉高考

考情分析
从近几年的广东高考试题来看,二次函数图象

的应用与其最值问题是高考的热点,题型多以
小题或大题中关键的一步的形式出现,主要考

查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式
三者的综合应用,注重考查图象与性质的灵活

运用.而幂函数一般不单独命题,而常与指数

函数、对数函数交汇命题,题型一般为选择
题、填空题中的一部分内容,主要考查幂函

数的图象及性质.
预测2012年广东高考中以二次函数为命题落

脚点的题目仍将是一个热点,重点考查数形
结合与等价转化两种数学思想.

规范解答
例 (2010年高考广东卷)(本题满分12分)已知

函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其
中常数k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式

f(x)=x(x-2).
(1)求f(-1),f(2.5)的值; (2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数 f(x)在[-3,3]上的单调性; (3)求出f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并

求出相应的自变量的值.

【 解 】 (1)f( - 1) = kf( - 1 + 2) = kf(1) = k×1×(1-2) =-k. ∵f(0.5)=kf(2.5), 1 1 3 3 ∴f(2.5)= f(0.5)= (- )=- . ???3 分 k k 4 4k (2)∵f(x)=x(x-2),x∈[0,2], 设-2≤x<0,则 0≤x+2<2, ∴f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2-2)=kx(x+2).

设-3≤x<-2,则-1≤x+2<0, 2 ∴f(x)=kf(x+2)=k (x+2)(x+4). 设 2<x≤3,则 0<x-2≤1. 又∵f(x-2)=kf(x), 1 1 ∴f(x)= f(x-2)= (x-2)(x-4). k k ∴f(x)=

∵k<0,∴由二次函数知识得 f(x)在[-3,-2) 上是增函数,在[-2,-1]上是增函数,在[- 1,0)上是减函数,在[0,1]上是减函数,在[1,2] 上是增函数,在(2,3]上是增函数. ???8 分 (3)由函数 f(x)在[-3,3]上的单调性可知, f(x)在 x=-3 或 x=1 处取得最小值 f(-3)= -k2 或 f(1)=-1,而在 x=-1 或 x=3 处取得 1 最大值 f(-1)=-k 或 f(3)=-k.

故有:①k<-1 时,f(x)在 x=-3 处取得最小值 f(-3)=-k2,在 x=-1 处取得最大值 f(-1) =-k. ②k=-1 时, f(x)在 x=-3 与 x=1 处取得最小 值 f(-3)=f(1)=-1, x=-1 与 x=3 处取得 在 最大值 f(-1)=f(3)=1. ③-1<k<0 时,f(x)在 x=1 处取得最小值 f(1)= 1 -1,在 x=3 处取得最大值 f(3)=-k.?12 分

名师预测

1 1.(教材习题改编)下列函数:①y= 3;②y=3x x -2;③y=x +x ;④y= x2,其中幂函数的个 数为( A.1 C.3
答案:B
4 2

3

) B.2 D.4

2.函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上单调递增, 则b的取值范围是( A.b≥0 C.b>0 答案:A ) B.b≤0 D.b<0

3 3.已知点( ,3 3)在幂函数 f(x)的图象上, 3 则 f(x)的表达式是( A.f(x)=x3 1 C.f(x)=x 2
答案:B

) B.f(x)=x
-3

1 D.f(x)=x- 2

4 . 函 数 y = x2 - x + 2 , x∈( - 1,5) 的 值 域 是 ________.

7 答案:[ ,22) 4


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