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四川省成都市2014-2015学年高一下学期期末模拟数学试题

2014-2015 学年高一下期末数学模拟试题
考试时间:120 分钟;满分:150 分

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每题给出的四个选项中,有且仅有一个选 项是符合题意的) 1.已知 a, b, c, d ? R ,且 ab ? 0 , ? A. bc ? ad B. bc ? ad

c d ? ? ,则下列各式恒成立的是( a b a b a b C. ? D. ? c d c d

)

2.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? a2 ? 5a1 , a7 ? 2 ,则 a5 ? ( A.



2

B. ?

1 2

C.

1 2

D. ? 2

3.如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆) ,则该几何体的表面积是( ).

A.20+3π 4.已知 sin ? ? cos(? ? ? ) ? A.

B.24+3π

C.20+4π

D.24+4π

4 9

B.

1 9

1 ,则 sin 2? 的值为 3 8 8 C. ? D. 9 9


?x ? y ? 3 ? 5.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为 ( ?2 x ? y ? 3 ?

A.6 B.7 C.8 D.23 6.在平面直角坐标系中,角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点

? P(? 3, ?1) ,则 sin(2? ? ) ? ( 2
3 2
B. ?



A.

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

7.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得 点 A 的仰角为 60°,再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 m 到位置 D,测得∠BDC=45°,则塔 AB 的高是( ) (单位:m)

A.10

B.10

C.10

D.10

8.等差数列 ?an ? 中, am ?

1 1 , ak ? (m ? k ) ,则该数列前 mk 项之和为( k m
C.



A.

mk ?1 2

B.

mk 2

mk ? 1 2

D.

mk ?1 2

9.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若 c2 ? (a ? b)2 ? 6 , ?ABC 的面

积为

3 3 ,则 C ? ( 2

)

A.

2? 3

B.

? 3

C.

? 6

D.

5? 6

10. 如图所示, 在 ?ABC 中,AD ? DB , (不在端点处) 上, 设 AB ? a ,AC ? b , F 在线段 CD

uu u r

r uuu r

r

uuu r r r 1 4 AF ? xa ? yb ,则 ? 的最小值为( x y
C



F

A

D

B A. 6+2

2

B. 9 3

C. 9

D. 6+4 2

11.如图,用一边长为 2 的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢, 将表面积为 4? 的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心(球心)与蛋 巢底面的距离为

A.

2 1 ? 2 2

B.

6 1 ? 2 2

C.

3 2

D.

3 1 ? 2 2

12.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? sin x ? 2x 在 R 上单调递增,数列 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, 2

且 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ??????? a2015 ? 0 , 记 m ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ??????? f (a2015 ) , 关于实数 m ,下列说法正确的是( )

A. m 恒为负数 B. m 恒为正数 C.当 d ? 0 时, m 恒为正数;当 d ? 0 时, m 恒为负数 D.当 d ? 0 时, m 恒为负数;当 d ? 0 时, m 恒为正数

第 II 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(共 4 小题,每题 4 分,共 16 分,请将答案填在题中的横线上) 13. 设 =(1,-2), =(a,-1), 最小值是________. =(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A,B,C 三点共线,则 + 的

14 . 设 数 列 {a n } 满 足 a1 ? 2 , an ?1 ?

1 ? an (n ? N * ) , 则 该 数 列 的 前 2015 项 的 乘 积 1 ? an

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2015 ? _________.
15.函数 y ? sin ?x( x ? R) 的部分图象如图所示,设 O 为坐标原点, P 是图象的最高点, B 是图象与 x 轴的交点,则 tan ?OPB ? __________. y P x O B

?sin ? x, x ? ?0, 2 ? ? 16.对于函数 f ( x) ? ? 1 ,有下列 4 个命题: f ( x ? 2), x ? (2, ?? ) ? ?2
①任取 x1、x2 ??0, ??? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 恒成立; ② f ( x) ? 2kf ( x ? 2k ) (k ? N ) ,对于一切 x ? ?0, ?? ? 恒成立;
*

③函数 y ? f ( x) ? ln( x ? 1) 有 3 个零点; ④对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ?

2 恒成立. x

则其中所有真命题的序号是 . 三、解答题(共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、演算步骤和证明过程) 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? a ? 2 .

(Ⅰ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (?1,3) ,求实数 a , b 的值; (Ⅱ)若 b ? 2, a ? 0 ,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 . 18. (本小题满分 12 分)在海岸 A 处 ,发现北偏东 45 方向,距 A 处 3 ? 1 海里 B 处有一艘
0

走私船, 在 A 处北偏西 75 方向, 距 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3 海里/小时的速度
0

追截走私船,此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30 0 方向航行,问缉私船沿 什么方向能最快追上走私船,并求出所需时间.

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A、B、C 所 对 的 边 为 a、b、c , 且 满 足

?? ? ?? ? cos 2 A ? cos 2 B ? 2cos ? ? A? cos ? ? A? ?6 ? ?6 ?
(Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 b ?

1 3 且 b ? a ,求 a ? c 的取值范围. 2 a1 ? a 2 ?a 3 ?????? an , ? n ? N? ? . n

20. (本小题满分 12 分)对于数列 ?an ? ,定义其积数是 Vn ? (Ⅰ)若数列 ?an ? 的积数是 Vn ? n ? 1,求 an ;

(Ⅱ) 等比数列 ?an ? 中, 若数列 ?an ? 的积数 Vn 满足 Vn ? 2t ? 1 a2 ? 3, a3是a2和a4 的等差中项, n 对一切 n ? N ? 恒成立,求实数 t 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,其中 h 是边 AB 上的高,请同学们利用 所学知识给出这个不等式: a ? b ≥ c ? 4h 的证明.
2 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中,h 是边 AB 上的高,已知 ①求证: c ? 2h ; ②求此三角形面积的最大值.

cos B cos A ? ? 2 ,并且该三角形的周长是 12 ; sin B sin A

(2 n ? 1, ) ,满 (Sn ,1) , b ? 22. (本小题满分 14 分)已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,向量 a ?

1 2

足条件 a ? ?b , ? ? R 且 ? ? 0 . (Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式;
x (Ⅱ)设函数 f ( x ) ? ( ) ,数列 ?bn ?满足条件 b1 ? 2 , f (bn ?1 ) ?

1 2

1 , (n ? N ? ) f (?3 ? bn )

①求数列 ?bn ?的通项公式; ②设 cn ?

bn ,求数列 ?cn ?的前 n 和 Tn . an
参考答案

1.B【解析】因为 ab ? 0,?

c d ? ? ,两边同时乘以 ab ,得到 - bc ? ? ad ,两边再同时乘以 a b - 1 ,变号,即 bc ? ad ,故选 B .

2.C【解析】 S3 ? a2 ? 5a1 ? a1 ? a2 ? a3 ,所以 a3 ? 4a1 ,即 q 2 ? 4 ,所以 a5 ?

a7 2 1 ? ? . q2 4 2
1 ? 20 2

3.A【解析】由几何体的三视图分析可知,该几何体上部为边长为 2 的正方体,下部为底面
2 半径为 1、高为 2 的半圆柱体,故该几何体的表面积是 5 ? 2 ? 2 ? ? ? 1 ? 2? ? 1 ? 2 ?

+3π ,故选 A. 4.D【解析】由诱导公式得 sin ? ? cos ?? ? ? ? ? sin ? ? cos ? ? 化简得 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ?

1 1 2 ,? ?sin ? ? cos ? ? ? , 9 3

8 9

5. B 【解析】 作出约束条件表示的可行域, 如图 ?ABC 内部 (含边界) , 作直线 l : 2 x ? 3 y ? 0 , 平移直线 l ,当 l 过点 C (2,1) 时, z 取得最小值 7.

6.D【解析】 由已知得 cos ? ? ?

1 ? 1 3 2 , sin ? ? ? ,所以 sin(2? ? ) ? ? cos 2? ? 2sin ? ? 1 ? ? . 2 2 2 2

7.A【解析】设塔高为 x 米,根据题意可知在△ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x, 从而有 BC =

3 2 3 x ,AC = x 3 3
BC CD ? sin ?BDC sin ?CBD

在△BCD 中,CD=10,∠BCD=60°+30°+15°=105°,∠BDC=45°,∠CBD=30° 由正弦定理可得,

可得,BC =

10sin 450 3 ? 10 2 = x 0 3 sin 30

解 得 x ? 10 6 8. C

1 1 ? k m ? 1 , a ? a ? (k ? 1)d ? 1 ? (k ? 1) ? 1 ? 1 , 所 【解析】设公差为 由已知 d ? 1 k d, m ? k mk m mk mk mk (mk ? 1) 1 mk (mk ? 1) 1 mk ? 1 d ? mk ? ? ? ? , 选C . 以, S mk ? mka1 ? 2 mk 2 mk 2
9.B【解析】由 c2 ? (a ? b)2 ? 6 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 6 由余弦定理得 2ab cos C ? a 2 ? b2 ? c 2 所以 ab cos C ? ab ? 3 在 ?ABC 中, S?ABC ? ①

1 3 3 3 3 ,所以 ab sin C ? 3 3 ? ab ? ab sin C ? 2 2 sin C



由①②得 3 3 cos C ? 3 3 ? 3sin C ? sin C ? 3 cos C ? 3 ? sin(C ? 因为在 ?ABC 中, 0 ? C ? ? ,所以

?
3

)?

3 2

4? ? 2? ? ?C ? , ,所以 C ? ? 3 3 3 3 3 3 uuu r r r uuu r uuu r 10.D【解析】因为 D 是 AB 中点,故 AF ? xa ? yb ? 2xAD ? yAC 且 x>0,y>0

?

?C?

?

?

因为 C、F、D 三点共线,故 2x+y=1 于是

1 4 1 4 y 8x ? ? ( ? )(2 x ? y) ? 6 ? ? ? 6 ? 4 2 x y x y x y

11.D【解析】蛋巢的底面是边长为 1 的正方形,所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径 为 1.鸡蛋的表面积为若 4? , 所以球的半径为 1, 所以球心到截面的距离为 d ? 1 ?

1 3 . ? 4 2

而截面到底面的距离即为三角形的高

1 3 1 ,所以球心到底面的距离为 ? . 2 2 2

12 . A 【 解 析 】 ∵ 函 数 f ( x ) ?

1 3 x ? x ? sin x 的 定 义 域 为 R , 是 奇 函 数 , 且 它 的 导 数 3

f ?( x) ? x 2 ? 1 ? cos x ? 0 ,故函数 f(x)在 R 上是增函数.数列 {an } 是公差为 d 的等差数列, a1008 ? ?1 ,当 d>0 时,数列为递增数列,由 a1 ? a2015 ? 2a1008 ? ?2 ? 0 ,可得 a2015 ? ?a1 ,
所 以

f (a2015 ) ? f (?a1 ) ? ? f (a1 ) , 所 以 f (a1 ) ? f (a2015 ) ? 0 , 同 理 可 得 ,

. . . . . f (a2 ) ? f (a2014 ) ? 0 , f (a3 ) ? f (a2013 ) ? 0 ,

m ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (a2015 ) ? f (a1 ) ? f (a2015 ) ? f (a2 ) ? f (a2014 ) ? ? ? f (a1008 ) ? 0 当 d<0 时,数列为递减数列,同理
求 得 m < 0 . 当 d=0 时 , 该 数 列 为 常 数 数 列 , 每 一 项 都 等 于 -1 , 故

m ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a2014 ) ? f (a2015 ) ? 0 ,故选 A
13.8【解析】 = = (a-1,1), = =(-b-1,2),

因为 A,B,C 三点共线, 所以 与 共线,

所以 2(a-1)+b+1=0,即 2a+b=1. 因为 a>0,b>0,

所以 + =

(2a+b)=4+ +

≥4+4=8,

当且仅当 =

,即 b=2a 时等号成立.

14 . 3 . 【 解 析 】 由 题 意 可 得 , a2 ?

1 ? a3 1 1 ? a1 1 ? a2 1 ? ?3 , a3 ? ? ? , a4 ? ? , 1 ? a1 1 ? a2 2 1 ? a3 3

a5 ?

1 ? a4 ? 2 ? a1 , 1 ? a4

∴数列 {an } 是以 4 为周期的数列,而 2015 ? 4 ? 503 ? 3 ,∴前 2015 项乘积为 a1a2 a3 ? 3 .

1 R ) 15 . 8 【 解 析 】 y ? s i n?x (x ? , 所 以 周 期 T ? 2 , 所 以 P ( ,1) , B(2, 0) , 所 以 2

OP ?

1 5 9 13 ?1 ? , P B ? ? 1 ? , O B ?, 2 4 2 4 2

5 13 1 ? ?4 1 cos ?OPB ? 4 4 ? 2 ? 5 13 65 65 2? ? 2 2 2
sin ?OPB ?
16.①③④ 【解析】从函数的定义可知 f ( x)最大= 1 , f ( x)最小 ? ?1 ,因此 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ? (?1) ? 2 , ①正确;由定义

8 ? tan ?OPB ? 8 65

f ( x ? 2k ) ?

1 1 1 1 f ( x ? 2k ? 2) ? 2 f ( x ? 2k ? 4) ? i f ( x ? 2k ? 2i ) ? ? ? k f ( x) , 因 此 2 2 2 2

f ( x) ? 2k f ( x ? 2k ) ,②错误;函数 y ? f ( x) 与 y ? ln( x ? 1) 的图象如下图所求,它们有三
个交点,因此方程 f ( x) ? ln( x ? 1) 有 3 个解,③正确;对④,从函数定义或图象可知

1 1 f ( x)极大值 ? f (2n ? 1 ? ) ? n ?1 2 2
k 1 因此不等式 f ( x) ? 要成立, 必须有 n?1 ? (n ? N *) , x 2
时,

k 1 2n ? 1 ? 2

, k?

2n ? 2

3 2, 而当 n ? N * n ?1

5 5 2n ? 1 的最大值为 ( n ? 2 时取得) ,故 k ? . ) ,故填①③④. n ?1 4 4 2

17. 【解析】 (1)由题 x ? ?1 ,3 是方程 ax 2 ? bx ? a ? 2 ? 0 的二根. 代入有 ?

b?2 ? ?a ? ?1 ,∴ ? ?8a ? 3b ? 2 ? 0 ?b?2
2

(2) b ? 2时,f ( x) ? ax ? 2 x ? a ? 2 ? (ax ? a ? 2)( x ? 1) ∵a ? 0 ∴ f ( x) ? 0化为(x ?

a?2 )( x ? 1) ? 0 a

①当

a?2 a ? 2? ? ? ?1, 即a ? 1时,解集为? x x ? ?1或x ? ? a a ? ?



a?2 a?2 ? ? ? ?1, 即0 ? a ? 1时,解集为? x x ? 或x ? ?1? a a ? ?

18. 【解析】设在 D 处追上走私船,所需时间为 t 小时,则 CD= 10 3t ,BD= 10t
0 在 ?ABC 中,∵ ?BAC = 750 ? 450 = 120 ,AB= 3 ? 1 ,BC=2,

由余弦定理得

BC 2 = 22 ? ( 3 ?1)2 ? 2 ? ( 3 ?1)cos1202 =6,

cos ?CBA =

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 ( 6)2 ? ( 3 ? 1)2 ? 2 2 = = 2 AB ? BC 2 2 ? 6 ? ( 3 ? 1)
0

又∵0 ? ∠CBA ? ? ,则∠CBA=45 ,则 BC 为正东西方向, 在 ?BCD 中, ?CBD ? 1200 ,由余弦定理得

CD2 ? BC 2 ? BD2 ? 2BC ? CD cos ?CBD ,即

(10 3t )2 ? (10t )2 ? ( 6)2 ? 2 ?10t ? 6 cos1200 ,
解得, t ?

6 6 或t ? ? (舍) , 10 20

0 ∴BD= 6 ,CD= 3 2 ,∴BD=BC,∴ ?DCB ? ?BDC ? 30 ,

故缉私船沿东偏北 30 方向追截,所需时间为

0

6 小时. 10

19. 【解析】 (1)由已知 cos 2 A ? cos 2 B ? 2cos ?

?? ? ?? ? ? A ? cos ? ? A ? ?6 ? ?6 ?

得 2sin 2 B ? 2sin 2 A ? 2 ? cos 2 A ?

?3 ?4

1 2 sin 4

? A? ?

化简得 sin B ? 故B?

3 2

?
3



2? . 3

(2)因为 b ? a ,所以 B ?

?
3



由正弦定理

a c b ? ? ? sin A sin C sin B

3 ? 2 ,得 a=2sinA,c=2sinC, 3 2

1 3 ?? ? 2? ? 3 ? a ? c ? 2sin A ? sin C ? 2sin A ? sin ? ? A? ? sin A ? cos A ? 3 sin ? A ? ? 2 2 6? ? 3 ? 2 ?
因为 b ? a ,所以 所以 a ?

?
3

? A?

2? ? ? ? , ? A? ? , 3 6 6 2

1 ?? 3 ? c ? 3 sin ? A ? ? ?[ , 3) . 2 6? 2 ?

20. 【解析】 (1)?Vn ? n ? 1

?a1 ? a2 ? a3 ??an ? n ? n ?1?




当 n ? 2 ,?a1 ? a2 ? a3 ??an?1 ? ? n ?1? ? n ①/②得: an ?

n ?1 n ?1

当 n ? 1, a1 ? V1 ? 2

?2 ? ? an ? ? n ? 1 ? ? n ?1

? n ? 2, n ? N? ?
? a3 是 a 2 和 a 4 的等差中项,且 a 2 =3

? n ? 1?

(2)设等比数列 ?an ? 的公比为 q

?2a3 ? a2 ? a4 q2 ? 2q ? 1 ? 0
? an ? 3, 则Vn ?
即 2t ? 1 ? 3

2a2 ? q ? a2 ? a2 q2

? q ? 1?

2

?0

?q ? 1

3n 2t ? 1 ? ? n ? N ? ? 恒成立 n n
2t ? 1 ? 3
即t ? 2

? ?
n

min

21. 【解析】要证明: a ? b ?

c 2 ? 4h 2 ,即证明: a 2 ? 2ab ? b 2 ? c 2 ? 4h 2 ,利用余弦定理
2

和正弦定理即证明: 2ab ? 2ab cos C ? 4h ? 4

a 2b 2 sin 2 C ,即证明: c2

1 ? cos C ?

2ab sin 2 C 2ab(1 ? cos 2C) 2ab(1 ? cosC)(1 ? cosC) ? ? ,因为 1 ? cos C ? 0 , c2 c2 c2
2 2 2

即证明: c 2 ? 2ab(1 ? cosC) ? 2ab ? a ? b ? c ,完全平方式得证. (2) 、?

cos B cos A sin C ? ? ? 2 ,使用正弦定理, c ? 2a sin B ? 2h . sin B sin A sinBsinA

? 12 ? 2h ?

c 2 ? 4h 2 ? 2 2h ,解得: h ? 6 2 ? 6 ,

于是: S ? h 2 ? 108 ? 72 2 ,最大值 108 ? 72 2

22. 【解析】 (1)因为 a= ? b 所以

1 S n ? 2 n ? 1, S n ? 2 n ?1 ? 2 . 2

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n?1 ? 2) ? (2n ? 2) ? 2n 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 21?1 ? 2 ? 2 ,满足上式 所以 an ? 2n (2)①? f ( x) ? ( ) x , f (bn ?1 ) ?

1 2

1 1 f (b n?1 ) ? f (?3 ? bn ) f (?3 ? bn )

1 1 1 1 ? bn?1 ? 3?bn ? ( )bn?1 ? 1 2 2 2 ( ) ?3?bn 2

?

bn?1 ? bn ? 3 bn?1 - bn ? 3 ,又? b1 ? f (?1) ? 2

? ?bn ?是以 2 为首项 3 为公差的等差数列 ? bn ? 3n ? 1
② cn ?

bn 3n ? 1 ? n an 2

2 5 8 3n ? 4 3n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ? n ? 1 2 2 2 2 2 1 2 5 8 3n ? 4 3n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? ? n ?1 ? 2 2 2 2 2n 2 1 3 3 3 3 3n ? 1 ?-?得 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n - n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 1 - n ?1 ) 1 3n ? 1 2 Tn ? 1 ? 3 ? 4 ? n ?1 1 2 2 12 1 3 1 3n ? 1 Tn ? 1 ? (1 - n ?1 ) ? n ?1 2 2 2 2 1 3n ? 1 Tn ? 2 ? ( 3 1 - n ?1 ) ? n 2 2 3 3n ? 1 Tn ? 2 ? 3 - n ?1 ? n 2 2 3n ? 5 Tn ? 5 - n 2 Tn ?


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