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2015年-高考试卷及答案解析-数学-理科-浙江(精校版)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江理)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。
2 1. 已知集合 P ? {x x ? 2 x ? 0}, Q ? {x 1 ? x ? 2} ,则 (?R P) ? Q ? (



2

A. [0,1)

B. (0, 2]

C. (1, 2)

D. [1, 2]
正视图

2

2. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( ) A. 8cm
3

侧视图

B. 12cm

3

C.

32 3 cm 3

D.

40 3 cm 3
2 俯视图

2

(第2题图)

3. 已知 {an } 是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn ,若 a3 , a4 , a8 成等 比数列,则( ) A. a1d ? 0, dS4 ? 0 C. a1d ? 0, dS4 ? 0 4. 命题“ ?n ? N , f (n) ? N
*
* *

B. a1d ? 0, dS4 ? 0 D. a1d ? 0, dS4 ? 0
*

且 f (n) ? n 的否定形式是( ) B. ?n ? N , f (n) ? N 或 f (n) ? n
* *

A. ?n ? N , f (n) ? N 且 f (n) ? n C. ?n0 ? N * , f (n0 ) ? N * 且 f (n0 ) ? n0
2

D. ?n0 ? N * , f (n0 ) ? N * 或 f (n0 ) ? n0

5. 如图,设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A, B, C ,其中点 A, B 在抛 物线上,点 C 在 y 轴上,则 ?BCF 与 ?ACF 的面积之比是( )
y A F O B C

A.

BF ? 1 AF ? 1 BF ? 1 AF ? 1

B.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

x

C.

D.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

(第5题图)

6. 设 A, B 是有限集,定义 d ( A, B) ? card ( A ? B) ? card ( A ? B) ,其中 card ( A) 表示有限集 A 中的元素 个数,命题①:对任意有限集 A, B , “ A ? B ”是“ d ( A, B) ? 0 ”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集 A, B, C , d ( A, C ) ? d ( A, B) ? d ( B, C ) ,则( A.命题①和命题②都成立 C.命题①成立,命题②不成立 B.命题①和命题②都不成立 D.命题①不成立,命题②成立 )
2



7. 存在函数 f ( x ) 满足,对任意 x ? R 都有( A. f (sin 2 x) ? sin x

B. f (sin 2 x) ? x ? x

C. f ( x2 ? 1) ? x ? 1

D. f ( x2 ? 2x) ? x ?1

8. 如图,已知 ?ABC , D 是 AB 的中点,沿直线 CD 将 ?ACD 折成 ?A?CD , 所成二面角 A? ? CD ? B 的平面角为 ? ,则( ) A. ?A?DB ? ? C. ?A?CB ? ? B. ?A?DB ? ? D. ?A?CB ? ?

A' D B

A C (第8题图)

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 9. 双曲线

x2 ? y 2 ? 1的焦距是 2

,渐近线方程是



2 ? ? x ? ? 1, x ? 1 10. 已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (?3)) ? x 2 ? ?lg( x ? 1), x ? 1
11. 函数 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ? 1 的最小正周期是
2

, f ( x ) 的最小值是



,单调递减区间是



12. 若 a ? log4 3 ,则 2

a

? 2? a ?



13. 如图,三棱锥 A ? BCD 中, AB ? AC ? BD ? CD ? 3, AD ? BC ? 2 ,点 M , N 分别是 AD, BC 的中

A
点,则异面直线 AN , CM 所成的角的余弦值是 .

M B N D C (第13题图)

14. 若实数 x , y 满足 x ? y ? 1,则 2x ? y ? 2 ? 6 ? x ? 3 y 的最小值是
2 2



e1 ? e 2 ? 15. 已知 e1 , e2 是空间单位向量,
? ?? ??? b?( x1 e ? y2e ) ? ? ?? b ?( 0 x 1 e ?

? ?

? ?

? ? ? ? ? 1 5 , 若空间向量 b 满足 b ? e1 ? 2, b ? e 2 ? , 且对于任意 x, y ? R , 2 2
0

0

??? y) 2 e ?1 (

,x 0? y ,则 ) Rx0 ?

, y0 ?

,b ?

?



三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 14 分)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= (I)求 tan C 的值; (II)若 ? ABC 的面积为 7,求 b 的值.

? 2 2 1 2 ,b ? a = c . 2 4

17. (本题满分 15 分)如图,在三棱柱 ?? C - ?1?1C1 中, ? BAC= 90 ,
0

AB=AC=2, A 1 A=4, A 1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 为 B 1C1 的中点. (I)证明: A 1 D ? 平面 A 1B C ; (II)求二面角 A1 -BD- B1 的平面角的余弦值.
A C

C1 A1 D B1

B

(第17题图)

18. (本题满分 15 分)已知函数 f(x)= x +ax+b(a,b ? R),记 M(a,b)是|f(x)|在区间[—1,1]上的
2

最大值. (I)证明:当|a| ? 2 时,M(a,b) ? 2; (II)当 a,b 满足 M(a,b) ? 2,求|a|+|b|的最大值.

19. (本题满分 15 分)已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1上两个不同的点 A,B 关于直 2
y

线 y=mx+

1 对称. 2
O B A x

(I)求实数 m 的取值范围; (II)求 ? AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) .

(第19题图)

20. (本题满分 15 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 =

1 * 2 且 an ?1 = an — an (n ? N ) 2

(I)证明:1 ?

an ; ? 2 (n ? N * ) an ?1

2 (II)设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,证明

? ?

S 1 1 * ? n? (n ? N ). 2(n ? 2) n 2(n ? 1)

2015 年普通高等学校招生全国统一考试答案(浙江理)
1. 答案: C 解析:由题意得: CR ? (0,2) ,所以 (C R ) ? Q ? (1,2) .
P P

2. 答案: C 解析:由题意得,该几何体为一立方体与四棱锥的组合∴体积 V ? 2 ?
3

1 2 32 ?2 ?2 ? 3 3 .

3. 答案: B 解析:等差数列 {an } 中, a3 , a4 , a5 成等比数列, 则: (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 2d )( a1 ? 7d ) ? a1 ? ? d ,
2

5 3

则: S 4 ? 2(a1 ? a4 ) ? 2(a1 ? a1 ? 3d ) ? ?

2 2 d ,则 dS 4 ? ? d 2 ? 0 . 3 3

4. 答案: D 解析:根据全称命题的否定是特称命题,易知答案. 5. 答案: A 解析: 6. 答案:A 解析:命题①显然正确,通过文氏图可知 d ( A, C ) 表示的区域不大于 d ( A, B) ? d ( B, C ) 的区域,故命题 ②也正确. 7. 答案: D 解析: 取x ? 0, 可知 f (0) ? 0 , 再取 x ?

S ?BCF BC xB BF ? 1 . ? ? ? S ?ACF AC x A AF ? 1

?
2

, 可知 f (0) ? 1 , 矛盾, 则 A 错误; 同理 B 错误; 取 x ?1,

可知 f (2) ? 2 ,再取 x ? ?1 ,可知 f (2) ? 0 ,矛盾,则 C 错误;令 t ? x ?1(t ? 0) ,则有:

f (t 2 ? 1) ? t (t ? 0) ? f ( x) ? x ? 1 ,符合题意.
8. 答案: B 解析:根据折叠过程可知 ?A ' CB 与 ? 的大小关系是不确定的,而根据二面角的定义易 得 ?A?DB ? ? ,当且仅当 AC ? BC 时,等号成立. 9. 答案: 2 3 , y ? ?

2 x. 2

解析:由题意得: a ?

2 , b ? 1 , c ? a2 ? b2 ? 2 ?1 ? 3 ,∴焦距为 2c ? 2 3 ,

渐近 线方程为 y ? ?

b 2 x?? x. a 2

10. 答案: 0 , 2 2 - 3 . 解析: f ( f (?3)) ? f (1) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ( x) ? 2 2 ? 3 ,当且仅当 x ? 时, f ( x) ? 0 ,当且仅当 x ? 0 时,等号成立,故的 最小值为 2 2 - 3 . 11. 答案: ? , [

2 时,等号成立,当 x ? 1

3? 7? ? k? , ? k? ] , k ? Z . 8 8 3? 7? 2 ? 3 ? k? ] , sin(2 x ? ) ? ,故最小正周期为 ? ,单调递减区间为 [ ? k? , 8 8 2 4 2

解析: f ( x) ?

k?Z .
12. 答案:

4 3. 3
a a
a ?a

解析:∵ a ? log4 3 ,∴ 4 ? 3 ? 2 ? 3 ,∴ 2 ? 2

? 3?

1 4 ? 3. 3 3

13. 答案:

7 8

解析: 连结 DN , 取 DN 中点 P , 连结 PM ,PC , 则可知 ?PMC 即为异面直线 AN ,CM 所成角, 易得 PM ?

1 AN ? 2 , PC ? PN 2 ? CN 2 ? 3 , CM ? AC2 ? AM 2 ? 2 2 , 2
7 7 ,即异面直线所成角的余弦值为 . 8 8

cos ?PMC ?
14. 答案:3

解析: x ? y ? 1 表示圆 x ? y ? 1 及其内部,易得直线 6 ? x ? 3 y 与圆相离,故
2 2 2 2

| 6 ? x ? 3 y |? 6 ? x ? 3 y ,当 2 x ? y ? 2 ? 0 时, 2x ? y ? 2 ? 6 ? x ? 3y =x ? 2 y ? 4 ,
如下图所示,可行域为小的弓形内部,目标函数 z ? x ? 2 y ? 4 ,则可知当 x ?

3 4 , y ? 时, 5 5

zmin ? 3 ,当 2 x ? y ? 2 ? 0 时, 2x ? y ? 2 ? 6 ? x ? 3 y =8 ? 3x ? 4 y ,可行域为大的弓形
内部,目标函数 z ? 8 ? 3x ? 4 y ,同理可知当 x ?

3 4 , y ? 时, zmin ? 3 . 5 5

15. 答案: 1 , 2 , 2 2 . 解析:问题等价 b ? ( xe1 ? ye2 ) 当且仅当 x ? x0 , y ? y0 时取得最小值 1,两边平方即

?

??

?? ?

? b ? x2 ? y 2 ? 4x ? 5 y ? xy 在 x ? x0 , y ? y0 时取得最小值 1,
令 t ? b ? x2 ? y 2 ? 4x ? 5 y ? xy , 则 t ? x 2 ? ( y ? 4) x ? 5 y ? b ( x ?

?

?2

?2 y?4 2 3 ) ? ( y ? 2) 2 ? 7 ? b , 2 4

y0 ? 4 ? ? x0 ? 2 ? 0 ? 由不等式组 ? y0 ? 2 ? 0 , ?2 ? ? ?7 ? b ? 1 ?
16. 答案及解析: (1)由 b ? a ?
2 2

? x ?1 0 ? ? 解得 ? y0 ? 2 . ?? b ?2 2 ? ?

1 2 1 1 c 及正弦定理得 sin 2 B ? ? sin 2 C ,∴ ? cos 2B ? sin 2 C , 2 2 2 3? ,得 ? cos 2 B ? sin 2C ? 2sin C cos C ,解得 tan C ? 2 ; 4

又由 A ?

?
4

,即 B ? C ?

(2)由 tan C ? 2 , C ? (0, ? ) 得 sin C ?

2 5 5 , cos C ? , 5 5 3 10 , 10

又∵ sin B ? sin( A ? C) ? sin(

?
4

? C) ,∴ sin B ?

由正弦定理得 c ? 17. 答案及解析:

? 1 2 2 b ,又∵ A ? , bc sin A ? 3 ,∴ bc ? 6 2 ,故 b ? 3 . 4 2 3

(1)设 E 为 BC 的中点,由题意得 A1E ? 平面 ABC ,∴ A1 E ? AE ,∵ AB ? AC ,∴ AE ? BC , 故 AE ? 平面 A1BC , 由 D ,E 分别 B1C1 ,BC 的中点, 得 DE / / B1B 且 DE ? B1B , 从而 DE / / A 1A

且 DE= A1 A ,∴四边形 A1 AED 为平行四边形,故 A1D / / AE ,又∵ AE ? 平面 A 1 BC1 ,∴ A 1D ? 平 面A 1 BC1 ;
? (2)作 A1F ? BD ,且 A1F ? BD ? F ,连结 B1F ,由 AE ? EB ? 2 , ?A 1EA ? ?A 1EB ? 90 ,得

A1B ? A1 A ? 4 ,由 A1D ? B1D , A1B ? B1B ,得 ?A1DB ? ?B1DB ,由 A1F ? BD ,得 B1F ? BD ,
? 因此 ?A ,A 1FB 1 为二面角 A 1 ? BD ? B 1 的平面角,由 A 1 B ? 4 , ?DA 1B ? 90 ,得 1D ? 2

BD ? 3 2 , A1 F ? B1 F ?

4 1 ,由余弦定理得, cos ?A1 FB1 ? ? . 3 8

18. 答案及解析: (1)由 f ( x) ? ( x ? ) ? b ?
2

a 2

a a a2 ,得对称轴为直线 x ? ? ,由 | a |? 2 ,得 | ? |? 1 , 2 2 4

故 f ( x) 在 [?1,1] 上单调,∴ M (a, b) ? max{| f (1) |,| f (?1) |} , 当 a ? 2 时,由 f (1) ? f (?1) ? 2a ? 4 ,得 max{ f (1), f (?1)} ? 2 ,即 M (a, b) ? 2 , 当 a ? ?2 时,由 f (?1) ? f (1) ? ?2a ? 4 ,得 max{ f (?1), ? f (1)} ? 2 ,即 M (a, b) ? 2 , 综上,当 | a |? 2 时, M (a, b) ? 2 ; (2)由 M (a, b) ? 2 得 |1 ? a ? b |?| f (1) |? 2 , |1 ? a ? b |?| f (?1) |? 2 , 故 | a ? b |? 3 , | a ? b |? 3 ,由 | a | ? | b |? ?

?| a ? b |, ab ? 0 ,得 | a | ? | b |? 3 , ?| a ? b |, ab ? 0

2 当 a ? 2 , b ? ?1 时, | a | ? | b |? 3 ,且 | x ? 2 x ? 1| 在 [?1,1] 上的最大值为 2 ,即 M (2, ?1) ? 2 ,

∴ | a | ? | b | 的最大值为 3 . 19. 答案及解析: ( 1 )由题意知 m ? 0 ,可设直线 AB 的方程为 y ? ?

1 x?b , m

? x2 ? y2 ? 1 ? 1 1 2 2b ?2 x ? b2 ? 1 ? 0 , ( 2 )由 ? ,消去 y ,得 ( ? 2 ) x ? 2 m m 1 ?y ? ? x ?b ? m ?
∵直线 y ? ?

1 4 x2 x ? b 与椭圆 ? y 2 ? 1有两个不同的交点,∴ ? ? ?2b 2 ? 2 ? 2 ? 0 ,①, m m 2 1 2mb m 2b m2 ? 2 y ? mx ? , ) b ? ? 代入直线方程 解得 ,②. 2 m2 ? 2 m2 ? 2 2m 2

将 AB 中点 M (

由①②得 m ? ?

6 6 或m ? ; 3 3

1 6 6 ( 3 ) 令 t ? ? (? , 0) ? (0, ) ,则 | AB |? t 2 ? 1 ? m 2 2

?2t 4 ? 2t 2 ? t2 ? 1 2

3 2,

1 2 , 且 O 到直线 AB 的距离为 d ? 2 t ?1 t2 ?
设 ?AOB 的面积为 S (t ) ,∴ S (t ) ?

1 1 1 2 | AB | ?d ? ?2(t 2 ? )2 ? 2 ? , 2 2 2 2

当且仅当 t ?
2

1 2 时,等号成立,故 ?AOB 面积的最大值为 . 2 2

20 答案及解析: (1)由题意得, an?1 ? an ? ?an 2 ? 0 ,即 an?1 ? an , an ?

1 , 2

由 an ? (1 ? an?1 )an?1 ,得 an ? (1 ? an?1 )(1 ? an?2 ) ??? (1 ? a1 )a1 ? 0 , 由 0 ? an ?

1 a a an 1 得, n ? ? ? [1, 2] ,即 1 ? n ? 2 ; 2 2 an?1 an?1 an ? an 1 ? an

(2)由题意得 an 2 ? an ? an?1 ,∴ Sn ? a1 ? an?1 ①, 由

a 1 1 a 1 1 ? = n 和 1 ? n ? 2 得, 1 ? ? ? 2, an ?1 an an ?1 an?1 an ?1 an

∴n ?

1 1 1 1 ? an ?1 ? (n ? N * ) ②, ? ? 2n ,因此 2(n ? 1) n?2 an ?1 a1 S 1 1 ? n? . 2(n ? 2) n 2(n ? 1)

由①②得


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