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福建西山学校高三数学第一轮复习《函数》测试题

福建西山学校高三数学第一轮复习《函数》测试题
一、选择题(共 50 分): 1. 已知全集 U= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 集合 A= {0,1,3,5,8} , 集合 B= {2,4,5,6,8} , 则 (CU A) ? (CU B) 为 (A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}

2、下列命题中,真命题是 A. ?x0 ? R, e
x0

?0
a =-1 b

B. ?x ? R,2 x ? x 2 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 ( ) D.既非充分也非必要条件

C.a+b=0 的充要条件是

3.|x| < 2 是|x| < 1 的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 4. 与函数 y ? 0.1

lg? 2 x?1?

C.充要条件

的图象相同的函数解析式是 B. y ?

A. y ? 2 x ? 1 ( x ?

1 ) 2

1 2x ?1

C. y ?

1 1 1 ( x ? ) D. y ? 2x ?1 2 2x ?1
( )

5.函数 f ( x) 在区间(-2,3)上是增函数,则 y ? f ( x ? 5) 的递增区间是

A. (3,8) B. (-7,-2) C. (-2,3) D. (0,5) 6.把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴向右平移 2 个单位,所得的图像为 C,C 关于 x 轴对称的图像为

y ? 2 x 的图像,则 y ? f ( x) 的函数表达式为 x?2 x?2 x ?2 A. y ? 2 B. y ? ?2 C. y ? ?2 7. 当 0 ? a ? b ? 1 时,下列不等式中正确的是
A. (1 ? a) ? (1 ? a) b
b 1 b

D. y ? ? log2 ( x ? 2)

B. (1 ? a) ? (1 ? b)
a

b

2 8.当 x ? ?0,2? 时,函数 f ( x) ? ax ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最大值,则 a 的取值范围是

C. (1 ? a) b ? (1 ? a) 2

D. (1 ? a) ? (1 ? b)
a

b

A. [? , ??) 9.已知 f ( x) ? ? A. (0,1)

1 2

B. ?0,???

C. ?1,???

D. [ , ??)

2 3

?(3a ?1) x ? 4 a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 log x , x ? 1 ? a 1 1 1 1 B. (0, ) C. [ ,1) D. [ , ) 3 7 7 3

10.某种电热水器的水箱盛满水是 200 升,加热到一定温度,即可用来洗浴。洗浴时,已知每分 钟放水 34 升,在放水的同时按 4 升/分钟的匀加速度自动注水。当水箱内的水量达到最小值 时,放水程序自动停止,现假定每人洗浴用水量为 65 升,则该热水器一次至多可供 A.3 人洗浴 B.4 人洗浴 C.5 人洗浴 D.6 人洗浴 二、填空题(共 20 分) 11、 已知集合 A ? {x ? R | x ? 2 ? 3}, 集合 B ? {x ? R | ( x ? m)(x ? 2) ? 0}, 且 A ? B ? (?1, n), 则 m =__________,n = __________
第 1 页 共4 页

12.函数 f ( x) ?

? 4 ? 12x ? 9 x 2 的定义域为

. 。

13. 函数 y ? log a x 在 [2, ??) 上恒有 y ? 1 ,则 a 的取值范围是 14.设 f ( x ) 是定义在 R 上的以3为周期的奇函数,若 f (1) ? 1, f (2) ? 是 。

2a ? 3 ,则 a 的取值范围 a ?1

15.给出下列四个命题: ①函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )与函数 y ? loga a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的定义域相同;

1 1 (1 ? 2 x ) 2 ②函数 y ? x 与 y ? 3 的值域相同;③函数 y ? ? x 与y? 都是奇函数;④函数 2 2 ?1 x ? 2x
3 x

其中正确命题的序号是_____________。 (把 y ? ( x ?1)2 与 y ? 2x?1 在区间 [0, ??) 上都是增函数, 你认为正确的命题序号都填上) 三、解答题(本大题共 6 小题,解答应写出文字说明,证明过程,或演算步骤) 16. (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? 在定义域 ? 0, ??? 上为增函数,且满足

f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , f ?3? ? 1
(1)求 f ?9? , f ? 27? 的值 (2)解不等式 f ? x ? ? f ? x ? 8? ? 2

a 的定义域为 ( 0 , 1 ] ( a 为实数). (1)当 a ? ?1 时, x 求函数 y ? f ( x ) 的值域; (2)若函数 y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; (3)函数 y ? f ( x ) 在 x ? ( 0 , 1 ] 上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值.
17(本小题满分 13 分)函数 f ( x ) ? 2 x ?

第 2 页 共4 页

18. .(本题满分 13 分) 已知集合 A= {x | ( x ? 2)[ x ? (3a ? 1)] ? 0} ,B= {x | (1)当 a =2 时,求 A B; (2)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围.

x ? 2a ? 0} . x ? (a 2 ? 1)

19.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) 的图象与函数 h( x) ? x ? 称.(1)求函数 f ( x) 的解析式(2)若 g ( x) = f ( x) + 求实数 a 的取值范围.

1 ? 2 的图象关于点 A(0,1)对 x

a ,且 g ( x) 在区间(0,2] 上的值不小于 6 , x

20. ( 本 小 题 满 分

14
*

分 ) 某 出 版 公 司 为 一 本 畅 销 书 定 价 如

?12n(1 ? n ? 24, n ? N ) ? * 下: C ? n ? ? ?11n(25 ? n ? 48, n ? N ) .这里 n 表示定购书的数量,C(n)是定购 n 本书所付的钱 ?10n(n ? 49, n ? N * ) ?
数(单位:元) (1)有多少个 n,会出现买多于 n 本书比恰好买 n 本书所花钱少? (2)若一本书的成本价是 5 元,现有两人来买书,每人至少买 1 本,两人共买 60 本,问出版公 司至少能赚多少钱?最多能赚多少钱?

第 3 页 共4 页

21. (本小题满分 14 分)设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a, b, c ? R) 满足下列条件: ①当 x ∈R 时, f ( x ) 的最小值为 0,且 f ( x -1)=f(- x -1)成立; ②当 x ∈(0,5)时, x ≤ f ( x ) ≤2 x ? 1 +1 恒成立。 (1)求 f (1) 的值; (2)求 f ( x ) 的解析式; (3)求最大的实数 m(m>1),使得存在实数 t,只要当 x ∈ ?1, m? 时,就有 f ( x ? t ) ? x 成立。

第 4 页 共4 页

答案
一、1.B 2. D 二.11.-1,1 三.解答题 (2) 3.B 4.C 5.B 6.B 7. D 8.D 9.D 10.B 12. { }

2 3

13. ( ,1)

1 2

(1, 2)

14. (-1,

2 ) 15. ⑴⑶ 3

16.解: (1) f ?9? ? f ?3? ? f ?3? ? 2, f ? 27? ? f ?9? ? f ?3? ? 3 而函数 f(x)是定义在 ? 0, ??? 上为增函数

f ? x ? ? f ? x ? 8? ? f ? ? x ? x ? 8?? ? ? f ?9?

?x ? 0 ? ??x ? 8 ? 0 ?8? x?9 ? x ( x ? 8) ? 9 ?
即原不等式的解集为 (8,9) 17. 解: (1)当 a =2 时,A=(2,7) ,B =(4,5)∴ A (2)∵ B=( a , a +1) ,
2

B=(4,5).………4 分

1 时,A=(3 a +1,2) ………………………………5 分 3 ? 2a ? 3a ? 1 要使 B ? A,必须 ? 2 ,此时 a =-1;………………………………………7 分 ?a ? 1 ? 2 1 当 a = 时,A= ? ,使 B ? A 的 a 不存在;……………………………………9 分 3 1 当 a > 时,A=(2,3 a +1) 3 ? 2a ? 2 要使 B ? A,必须 ? 2 ,此时 1≤ a ≤3.……………………………………11 分 ? a ? 1 ? 3a ? 1
当a< 综上可知,使 B ? A 的实数 a 的取值范围为[1,3]∪{-1}……………………………12 分 18. 解: (1)显然函数 y ? f ( x ) 的值域为 [ 2 2 , ? ? ) ; ……………3 分 (2)若函数

y ? f ( x ) 在 定 义 域 上 是 减 函 数 , 则 任 取 x1 , x 2 ? ( 0.1] 且 x1 ? x2 都 有
…………………………5 分

)?0 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立, 即 ( x1 ? x2 )(2 ? x a 1 x2
只要 a ? ?2 x1 x 2 即可, 故 a 的取值范围是 ( ?? ,?2] ; 当 x ? 1 时取得最大值 2 ? a ; 由(2)得当 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调减,无最大值, 当 由 x1 , x 2 ? ( 0.1] ,故 ?2 x1 x 2 ? ( ?2,0) ,所以 a ? ?2 , …………………………7 分 (3)当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调增,无最小值,

x ? 1 时取得最小值 2 ? a ;
第 5 页 共4 页

当 ?2 ? a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0. 当x?
?2a 2

?2 a 2

] 上单调减,在 [

?2a 2

, 1 ] 上单调增,无最大值,

时取得最小值 2 ? 2a .

…………………………12 分

19. 解: (1)设 f ( x) 图象上任一点坐标为 ( x, y ) ,点 ( x, y ) 关于点 A(0,1) 的对称点 (? x,2 ? y ) 在 h( x) 的图象上………… 3 分 1 1 1 …… 6 分 ? 2 ? y ? ?x ? ? 2,? y ? x ? , 即 f ( x) ? x ? x ?x x (2)由题意

a ?1 a ?1 ?6 ,且 g ( x) ? x ? x x 2 ∵ x ?(0, 2] ∴ a ? 1 ? x(6 ? x) ,即 a ? ? x ? 6 x ? 1,………… 9 分 令 q( x) ? ? x 2 ? 6 x ? 1, x ?(0, 2] , q( x) ? ? x 2 ? 6 x ? 1 =-( x ? 3) 2 ? 8 , ∴ x ?(0, 2] 时, q( x) max ? 7 …11′∴ a ? 7 ……………… 12 分 方法二: q ?( x) ? ?2 x ? 6 , x ?(0, 2] 时, q ?( x) ? 0 即 q( x) 在(0,2 ] 上递增,∴ x ?(0,2 ] 时, q( x) max ? 7 ∴ a ? 7 g ( x) ? x ?

20.解(1)由于 C(n)在各段上都是单调增函数,因此在每一段上不存在买多于 N 本书比恰好 买 n 本书所花钱少的问题,一定是在各段分界点附近因单价的差别造成买多于 n 本书比恰好买 n 本书所花钱少的现象. C(25)=11 ? 25=275,C(23)=12 ? 23=276,∴C(25)<C(23)……..1 分 C(24)=12 ? 24=288,∴ C(25)<C(24)…………………..…………..2 分 C(49)=49 ? 10=490,C(48)=11 ? 48=528,∴ C(49)<C(48) C(47)=11 ? 47=517,∴ C(49)<C(47) C(46)=11 ? 46=506,∴ C(49)<C(46) C(45)=11 ? 45=495,∴ C(49)<C(45)……….. ……….………..……..5 分 ∴这样的 n 有 23,24,45,46,47,48 …….………..……….. ……………6 分 (2)设甲买 n 本书,则乙买 60-n 本,且 n ? 30,n ? N (不妨设甲买的书少于或等于乙买 的书) ①当 1 ? n ? 11 时,49 ? 60-n ? 59 出版公司赚得钱数 f (n) ? 12n ? 10(60 ? n) ? 5 ? 60 ? 2n ? 300 …….. …7 分 ②当 12 ? n ? 24 时,36 ? 60- n ? 48, 出版公司赚得钱数 f (n) ? 12n ? 11(60 ? n) ? 5 ? 60 ? n ? 360 ③当 25 ? n ? 30 时,30 ? 60- n ? 35, 出版公司赚得钱数 f (n) ? 11? 60 ? 5 ? 60 ? 360 ……..……….. ………9 分
*

?2n ? 300,1 ? n ? 11 ? ∴ f (n) ? ? n ? 360,12 ? n ? 24 ……..………………………………..10 分 ?360, 25 ? n ? 30 ?
∴当 1 ? n ? 11 时, 302 ? f (n) ? 322 当 12 ? n ? 24 时, 372 ? f (n) ? 384 当 25 ? n ? 30 时, f (n) ? 360 …….………. .………. .………. .………...……..12 分 故出版公司至少能赚 302 元,最多能赚 384 元…….. .………. .……….………..13 分 21. 解: (1)在②中令 x=1,有 1≤f(1)≤1,故 f(1)=1 (2)由①知二次函数的关于直线 x=-1 对称,且开口向上
第 6 页 共4 页

…………………………3 分

故设此二次函数为 f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=1,∴a=
1 (x+1)2 4 (3)假设存在 t∈R,只需 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x. 1 f(x+t)≤x ? (x+t+1)2≤x ? x2+(2t-2)x+t2+2t+1≤0. 4 令 g(x)=x2+(2t-2)x+t2+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].

1 4

∴f(x)=

…………………………7 分

? ? g (1) ? 0 ??4 ? t ? 0 ?? ? ? g ( m) ? 0 ? ?1 ? t ? 2 ?t ? m ? 1 ? t ? 2 ?t
∴m≤1-t+2 ? t ≤1-(-4)+2 ? (?4) =9 t=-4 时,对任意的 x∈[1,9] 恒有 g(x)≤0, ∴m 的最大值为 9. ………………………… 14 分

第 7 页 共4 页


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