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导数问题常见的分类讨论典型例题


导数问题常见的分类讨论典型例题
1.需对函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 是否为二次函数进行讨论或需对一元二次方程的判 别式进行讨论的问题。由于许多问题通过求导后转化为二次函数或二次不等式, 它们对应的二次方程是否有解,就要对判别式讨论。
例 1、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3bx ? c(b ? 0), 且g ( x) ? f ( x) ? 2 是奇函数.(Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间.
3 2

例 2、设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .
3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a, b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间与极值点. 例 3、已知函数 f ( x) ? x ?

2 ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性. x
2

例 4、已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x ) ? ax.( a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性; 例 5、设函数 f ( x) ? ax ? bx ? k (k ? 0) 在 x ? 0 处取得极值,且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂
2

直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? 例 6、函数 f ( x ) ?

ex ,讨论 g ( x) 的单调性. f ( x)

1 3 x ? kx ,其中实数 k 为常数. 3

(I) 当 k ? 4 时,求函数的单调区间; (II) 若曲线 y ? f ( x ) 与直线 y ? k 只有一个交点,求实数 k 的取值范围.

2、需对一元二次方程两根大小为标准分类讨论的问题。由于求单调区间通常要 解一元二次不等式,要写出它的解,就必须知道它两根的大小,否则就要对两 根大小分类讨论。求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ,但不知导
函数为零的实根是否落在定义域内,从而引起讨论。求导后,导函数为零有实根(或导函数 的分子能分解因式) ,导函数为零的实根也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而 引起讨论。

例 7、设函数



),其中

.当

时,求函数

的极大值和极小值

练习:已知函数 f ? x ? ?

2ax ? a 2 ? 1 ? x ? R ? ,其中 a ? R 。 x2 ? 1
1

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 2, f ? 2 ? ? 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。 练习:已知 a 是实数,函数 f ? x ? ? x ? x ? a ? 。 (1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)设 g ? a ? 为 f ? x ? 在区间 ? 0, 2 ? 上的最小值。
①写出 g ? a ? 的表达式; ②求 a 的取值范围,使得 ?6 ? g ? a ? ? ?2 。

1 2 x -ax+(a-1) ln x , a ? 1 。 (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; 2 1 ? kx 2 例 9、已知函数 f ( x ) ? e ( x ? x ? ) (k ? 0) ,求 f ( x ) 的单调区间; k 2 2 2 x 例 10、已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3a)e ( x ? R), 其中 a ? R ,当 a ? 时,求函数 f ( x) 的单调区 3
例 8、已知函数 f(x)= 间与极值。

3、需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。也就 是要讨论导数为零的点是否在定义域内,在定义域内要讨论它给定的区间左、 中、右,以确认函数在此区间上的单调性。
例 11、(2012 年北京高考题)已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx (1) 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a、b 的值; (2) 当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1)上的最大值, 例 12、已知函数 f ( x) ?

1 2 , g ( x) ? bx ? 3x . x?a

(Ⅰ)若曲线 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在点(1,0)处的切线斜率为 0,求 a,b 的值; (Ⅱ)当 a ? [3, ??) ,且 ab=8 时,求函数 ? ( x) ? 值.

g ( x) 的单调区间,并讨论函数在区间[-2,-1]上的最小 f ( x)

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