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高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例生活中的优化问题3素材新人教A版选修2_2

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生活中的最优化问题
今天出去一路上发现很多可以最优化的问题。赶紧写下来: 电梯等时间问题:我刚到 1 楼电梯门口的时候,发现 2 个电梯的门均不在 1 楼位置。左边电 梯(暂记为 1 号电梯)的门是在 23 楼,但是没有人按,就是说停留在 23 楼不动,最高层为 32 楼。右边的电梯(暂记为 2 号电梯)正在第 6 楼,仍在往上行驶。但是你不知道电梯会 上到几楼。假设电梯里面只有 1 个人,上面没有人会在 5 分钟之内按按钮下来,电梯每上或 下一层的时间为 1 秒,电梯停留后开关门的时间为 5 秒,电梯按照按下按钮的先后顺序上下, 也就是说如果我按了向上按钮开关,右边的电梯必须等到左边电梯完成下来的过程后才接受 向下的指令,也即是只要现在右边电梯没有停止(人出来后关门),按下按钮左边的电梯会 下来。如果此时我按电梯的按钮,那么必须等待 23-1=22 秒钟左边电梯下来的时间。但是如 果我现在不按按钮,等到右边电梯停稳后再按按钮,就是说我想等待右边的电梯下来。那么 是否会划算些呢?划算的概率有多大?哪种方案损失时间最少的可能性最大?
解答: 如果推广到一般情况,即楼高是 h,1 号电梯停留的楼层是 n,2 号电梯正在楼层 b 往
上行驶,电梯里的人将在 y(未知)层下(b<Y<h),电梯停留的时间是 m,那么什么时候立即 按按钮划算呢?
方案 1:立即按按钮等待的时间为 n-1, 方案 2:右边的电梯上去后再按按钮的等待时间为 y-b+m+y-1, y 符合均匀概率分布(b<y<=h) 那么方案 1 比方案 2 等待时间短的概率为: P(n-1 < y-b+m+y-1) 经过计算得:
1

针对本案例的具体情况,n=23,b=6,h=32,m=5; 化简为: P(y>12)=1-12/26=7/13>1/2 因此应该立即按按钮等左边的 1 号电梯。
2


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