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高考填报志愿指南


基于线性回归模型

预测北航在山东地区录取分数线

作者:韩大利 学号:37090216 联系电话:保密

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目录

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【摘要】 利用统计学的相关知识,能够指导我们在日常生活中做 出合理的决策,从而达到预期的目的,为个人和国家的发展 节省资源,创造更多有用价值。 本文以时下热门的高考填报志愿问题为背景,并以北京 航空航天大学在山东的招生为例,研究并预测今年北航的录 取分数线,从而为广大志愿报考北航的学子提供科学依据, 让他们更加理智、从容的报考我校。这也正是我们学习统计 学这门课程的实际应用价值所在。

【关键词】 相关性 回归分析 重点线 录取分数线

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【正文】 本阶段恰逢高考成绩查询以及志愿填报的关键阶段。很 多考生在知道自己的高考分数之后,下一个关心的话题就是 “这个大学的往年录取分数线是多少,今年的录取分数线又 会是多少” 。当然,对考试来讲,最重要的还是今年的录取 分数线。这样,我们就需要在往年录取分数线的基础上,建 立合理的数学模型,来对今年的录取分数线进行合理的推断, 从而指导考生理智稳妥的填报志愿,顺利实现自己的大学梦! 由于本人是山东人,于 07 年考入北京航空航天大学, 且本人的故乡情结较重。因此,本人就以北京航空航天大学 在山东的招生为例,从统计学的角度对今年的录取分数线进 行科学的预测,合理指导家乡的兄弟们理智填报志愿,争取 更多的山东老乡,尤其是潍坊的老乡能够顺利进入北航学习 深造,提升家乡高素质人才的数量,打造高素质人才队伍, 为潍坊乃至山东的快速发展贡献一份力量。

一般来讲,高考成绩出来之后,各省都会按照分数的高 低,取适当的比例划定本科一批的分数线(由于北航为重点 高校,因此只看一本线就行) 。各高校在录取考生的时候, 这个分数线就成为了很重要的参考依据。因此我们有理由认 为,高校的录取分数与各省的一本分数线是相关的。因此,
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我们就取北航在山东的录取分数线与山东的历年一本分数 线进行相关性分析,进而根据分析结果建立相关的统计模型, 并依此对今年的录取分数线进行合理推断。

我们要得到近 8 年的数据(03 年爆发非典,招生情况受 其影响较大,因此 我们取 04 年之后的数据作为参考) 。从 官方网站查的部分数据,然后又从其他网站以及百度问答的 形式,将需要的数据收集齐全。整理后得到下面的数据表。
年份 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 文科 重点线 录取分数线 600 636 572 589 568 608 593 620 584 625 596 634 606 643 570 615 理科 重点线 录取分数线 606 682 597 654 583 658 573 653 582 659 586 665 580 667 567 656

我们首先对文科的重点线和录取分数线进行相关性分 析。 绘制散点图:

5

由散点图可以看出,文科的录取分数线随重点线的变化而呈 现线性变化。这样我们有理由相信二者具有线性关系。这样 分析其相关系数,得到如下的数据(spss分析结果) 。
模型汇总 模型 1 R .857
a

R 方 .735

调整 R 方 .691

标准 估计的误差 9.68388

a. 预测变量: (常量), 文科重点线。

数据可以看出,二者之间的相关系数为 0.857.可见有很 强的正相关性。那么,我们建立线性回归模型。回归系数仍 旧通过 spss 软件进行处理。得到:
系数 模型 非标准化系数 B 1 文科重点线 a. 因变量: 文科录取线 6 1.012 .248 .857 4.080 .007 (常量) 28.254 标准 误差 145.393
a

标准系数 试用版

t

Sig.

.194

.852

因此,我们得到线性回归模型为: Y=28.254+1.012X 2012 2012 年 6 月 24 日(也就是今天) ,山东省划定了 2012 年山东高考分数线一本线,分别是:文科:573;理科:582. 预测北航 2012 年在山东的录取分数线为: 28.254+1.012*573=608.13 下面我们计算该预测值的标准误 s.e.(y). 首先我们得到两组数据的方差分析表。
Anova 模型 回归 1 残差 总计 平方和 1560.835 562.665 2123.500 df 1 6 7
a

均方 1560.835 93.778

F 16.644

Sig. .007
b

a. 因变量: 文科录取线 b. 预测变量: (常量), 文科重点线。

σ=

SSE n?2

=

562.665 8?2

= 9.684;

那么, s.e.(y)=σ 1 + +
n 1 x 0 ?x 2 x i ?x 2 573?586.125 2 8×14.075 2

= 9.684 1 + +
8

1

=10.657

因此,预测值的置信度为 95%的预测区间为: y ± t 0.025 6 × s. e. (y)= 608.13 ± 2.447 × 9.684
7

=608.13 ± 23.70=(584.43,631.83) 也就是说,我们有 95%的把握说,今年北航在山东的录 取分数线会落在区间(584.43,631.83)里。

按照如上的方法,我们同样可以计算得到理科的录取分 数线的预测值以及预测区间。 (1)绘制散点图

(2)相关性分析
模型汇总 模型 R R 方 调整 R 方 标准 估计的误 差 1 .640
a

.409

.311

7.93493

a. 预测变量: (常量), 理科重点线。

8

(3)系数计算
系数 模型 非标准化系数 B 1 理科重点线 a. 因变量: 理科录取线 .491 .241 .640 2.039 .088 (常量) 375.132 标准 误差 140.609
a

标准系数 试用版

t

Sig.

2.668

.037

从而建立的线性回归模型为: Y=375.132+0.491X 今年的重点线为 582.那么,预测今年的录取分数线为: Y=375.132+0.491*582=660.894 (4)方差分析
Anova 模型 回归 1 残差 总计 平方和 261.722 377.778 639.500 df 1 6 7
a

均方 261.722 62.963

F 4.157

Sig. .088
b

a. 因变量: 理科录取线 b. 预测变量: (常量), 理科重点线。

(5)标准误计算 σ=
SSE n?2

=

377.778 8?2 1

= 7.935;

s.e.(y)=σ 1 + +
n

x 0 ?x 2 x i ?x 2 582?584.25 2 8×12.46423 2

= 7.935 1 + +
8

1

=8.432

(6)置信区间的计算 y ± t 0.025 6 × s. e. (y)= 660.894 ± 2.447 × 8.432 =660.894 ± 20.633=(640.261,681.527)
9

综合以上的求解结果,我们可以北航 2012 年在山东的 录取分数线的预测值进行汇总,得到下表: 北航 2012 年招生录取山东分数线预测 重点线 文科 理科 573 582
录取线预测值

95%置信区间 (584.43,631.83) (640.26,681.53)

608.13 660.894

本文中提到的录取分数线,是指北航招收的考生成绩的 平均分,而不是最低分。 从结果可以看出,虽然山东文理科的重点线相差不大 (差值为 9) ,但北航的录取文理科的分数线却相差很大。这 正说明北航是一个以理工科为主的大学,吸引了大批高分理 科考生报考。或者说明北航的文科类院系比较薄弱,难以吸 引高分的文科考生。这样,对于山东的理科生来说,报考北 航竞争是相当激烈的。而对文科生来讲,则相对轻松。 最后,祝愿山东的莘莘学子能够根据自己的成绩,参考 本人的这份研究报告,积极、踊跃、理智的报考北航,为我 国的航空航天事业奋斗终身!为实现国防建设的现代化储备 高技术人才!
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1 刘超 简明应用统计学 中国人民大学出版社 2010 2 张维达 统计学理论与方法 吉林人民出版社 2008 3 约克奇 spss 其实很简单 中国人民大学出版社 2010

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