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2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式的解法教学案新人教A版必修5.doc

2019-2020 学年高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式的解 法教学案新人教 A 版必修 5
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 学习 2.熟练掌握解一元二次不等式的方法. 目标 学习 疑问 学习 建议

【相关知识点回顾】 问题 1:二次函数图像及其性质

问题 2:一元二次方程的根的求解及韦达定理

【知识转接】 问题 1:观察不等式 x ? 4 x ? 0 和 ? x ? x ? 2 ? 0 ,它们有什么共同特征?怎样给这样的不等式命名?它的一
2 2

般形式是什么?

问题 2:请尝试求解不等式 x ? 4 x ? 0 .
2

【预学能掌握的内容】 1. 利用“三个二次”之间的关系解一元二次不等式 设 ax ? bx ? c ? 0或ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 相 应 的 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的 两 根 为
2 2 2

x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b 2 ? 4ac ,则不等式的解的情况如下表:

??0
二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象

??0

??0

有两相异实根
ax 2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ?的根

有两相等实根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

【探究点一】一元二次不等式的解法 【例 1】解下列不等式:
2 2 (1) 2 x ? 7 x ? 3 ? 0 ;(2) x ? 4 x ? 5 ? 0 ;(3) ?4 x ? 18 x ?
2

81 ? 0; 4

(4) ?

1 2 x ? 3x ? 5 ? 0 ;(5) ?2 x2 ? 3x ? 2 ? 0 . 2

〖合作探究与典例解析〗

〖概括小结〗 〖课堂检测〗变式 1.求下列一元二次不等式的解集. (1) x ? 5 x ? 6 ;(2) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ;(3) ? x ? 7 x ? 6 ;
2 2 2

(4) ? x ? 2 x ?
2

2 ?0. 3

【探究点二】一元二次不等式与一元二次方程的关系 【例 2】已知不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解为 ?
2

1 1 ? x ? ,求 a 和 b 的值,并解不等式 bx 2 ? 5x ? a ? 0 . 2 3

〖合作探究与典例解析〗

〖概括小结〗

〖课堂检测〗设一元二次不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解为 ?1 ? x ?
2

1 ,则 ab 的值是( 3
D. 5



A. ?6

B. ?5

C. 6

【探究点三】可化为一元二次不等式的分式不等式的解法 【例 3】解下列不等式:(1) 〖合作探究与典例解析〗

2x ?1 2? x ? 0 ;(2) ? 1. 3x ? 1 x?3

〖概括小结〗 〖课堂检测〗解下列不等式:(1)

2x ? 3 ?0 x ?1

(2)

x?3 ? 0. 3 ? 2x

【探究点四】含参数的一元二次不等式的解法 【例 4】解关于 x 的不等式: x ? 2x ? a ? 0(a为实数) .
2

〖合作探究与典例解析〗

〖概括小结〗 〖课堂检测〗1.不等式 x2 ? ax ?12a2 ? 0 ? a ? 0? 的解是_____________. 2.解关于 x 的不等式: x ? ax ? 2a ? 0 ? a ? R ? .
2 2

【探究点五】不等式恒成立问题 【例 5】已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? 3 .
2

(1)当 x ? R 时, f ? x ? ? a 恒成立,求 a 的范围; (2)当 x ?? ?2, 2? 时, f ? x ? ? a 恒成立,求 a 的范围. 〖合作探究与典例解析〗

〖概括小结〗

〖课堂检测〗已知不等式 x ? mx ? 4 x ? m ? 4 .
2

(1)若对一切实数 x 不等式恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若对于 0 ? m ? 4 的所有实数 m ,不等式恒成立,求实数 x 的取值范围.

【层次一】 1.不等式-x -x+2≥0 的解集为 A.{x|x≤2 或 x≥1} B.{x|-2<x<1} C.{x|-2≤x≤1} D.?
2

(

)

2.不等式

x-1 <0 的解集为 x+2
B.(-∞,-2) C.(-2,1)

( D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

)

A.(1,+∞)

3.二次方程 ax +bx+c=0 的两根为-2,3,a<0,那么 ax +bx+c>0 的解集为 A.{x|x>3 或 x<-2} B.{x|x>2 或 x<-3} C.{x|-2<x<3}

2

2

( D.{x|-3<x<2}

)

4.关于 x 的不等式

ax-1 <0(其中 a<-1)的解集为 x+1
1? ? B.?-1, ?

(

)

?1 ? A.? ,-1? ?a ?

?

a?

1? ? C.?-∞, ?∪(-1,+∞)

?

a?

?1 ? D.(-∞,-1)∪? ,+∞? ?a ?

5.关于 x 的不等式 63x -2mx-m <0 的解集为 A.?- , ? ? 9 7?

2

2

(

)

? m m?

? ? B.? ,- ? 9? ?7
m m

? ? ? ? C.?-∞,- ?∪? ,+∞? 9? ?7 ? ?
m m

D.以上答案都不对

6.若 x -2ax+2≥0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 A.(- 2, 2] B.(- 2, 2) C.[- 2, 2)

2

( D.[- 2, 2]

)

【层次二】 7.若 f(x)=(x-a)(x-b)+2(a<b),且 α ,β (α <β )是方程 f(x)=0 的两根,则 α ,β ,a,b 的大小关 系是( ) B.a<α <b<β C.α <a<b<β D.α <a<β <b

A.a<α <β <b

1? ? 2 2 8.函数 f(x)=log2?x -x+ ?+ 1-x 的定义域为____ 4? ?

____.

9.解不等式:(1) 9 x ? 6 x ? 1 ? 0
2

(2) x ? (a ? ) ? 1 ? 0(a ? 0, a为实数)
2

1 a

10.解关于 x 的不等式:ax +(1-a)x-1>0.

2

【思维导图】 (学生自我绘制)


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