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高中函数的奇偶性知识点及习题


函数的奇偶性
1、 (1) 定义 奇函数:设函数 y=f (x)的定义域为 D,如果对 D 内的任意 一个 x,都有 f(-x)=-f(x),则这个函数叫奇函数. (2) 偶函数:设函数 y=g (x)的定义域为 D,如果对 D 内的任意 一个 x,都有 g(-x)=g(x),则这个函数叫做偶函数. 2、奇函数与偶函数图象的对称性 (1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象以坐标原点为对 称中心的中心对称图形. 反之, 如果一个函数的图象是以坐标原点 为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. (2)如果一个函数是偶函数,则它的图形是以 y 轴为对称轴的轴 对称图形;反之,如果一个函数的图象关于 y 轴对称,则这个函 数是偶函数 注意:奇函数与偶函数的定义域一定是关于原点对称的。 3、根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤: (1)第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称; (2)第二步判断 f (-x)=f (x)还是判断 f (-x)=-f (x). 4、奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于 原点对称的区间上的单调性相反 (2)在公共定义域内 *两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;

*两个偶函数的和是偶函数,两个偶函数的积是偶函数; *一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数; *若 f(x)是奇函数,且在 x=0 上有定义,则 f(0)=0;

1、(判断函数的奇偶性) (1) f ( x) ? x2 ?1, x ?[?1,1] ; (2) f ( x) ? x2 ?1, x ???1,1? ;

(3) f ( x) ? x2 ?1, x ? (?1,1] ;

(4) f ( x) ? x2 ?1, x ??0?

(5) f ( x) ? x3 ? 5x

(6) f ( x) ? x3 ? 2

(7) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1|

1 ? x2 (8) f ( x) ? | x ? 2 | ?2

(9) f ( x) ? ( x ? 1)

1? x 1? x

(10) f ( x) ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 1

2、 对于定义在 R 上的任意奇函数 f ? x ? ? f ? x ? ? 0? ,则下列结论中不正确 的是( ) B. f ( x) ? f (? x) ? 0 D. f ( x) ? f (? x) ? 2 f ( x)

A. f ( x) ? f (? x) ? 0 C.
f ( x) ? ?1 f (? x)

3、若函数 f ( x) ? x2 ? mx ?1 是偶函数,则实数 m 的值为________.

4 、定义在区间 [3-a,5] 上的函数 f ( x) ? bx2 ? 3x 为奇函数 , 则 a=____, b=______.

5.已知 f (x) =ax2+bx+3a+b 是偶函数, 且其定义域为 [a-1, 2a] , 则 a=___________,b=___________.

6.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax3 +bx2+cx 是 A.奇函数
C.既奇且偶函数

B.偶函数
D.非奇非偶函数

7、若奇函数 f(x)在[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在 [-7,-3]上是( ) A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5

8.已知 f(x)是奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x)=lg ∈(-1,0)时,f(x)的表达式是__________.

1 ,那么当 1? x

x

综合题: 1、定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意的 x1, x2 ?[0, ??)( x1 ? x2 ) ,有
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 。则( x2 ? x1

) B、 f (1) ? f (?2) ? f (3) D、 f (3) ? f (1) ? f (?2)

A、 f (3) ? f (?2) ? f (1) C、 f (?2) ? f (1) ? f (3)

2、定义域在 R 上的函数 y ? f ( x) 关于 y 轴对称,且在 ?0,??? 上是增函 数,则下列关系成立的是( A. f (3) ? f (?4) ? f (?? ) C. f (?4) ? f (?? ) ? f (3) ) 。 B. f (?? ) ? f (?4) ? f (3) D. f (3) ? f (?? ) ? f (?4)

3、 .若 f ( x) ? (k ? 2) x 2 ? (k ? 3) x ? 3 是偶函数, 讨论函数 f ( x) 的单调区间?

4、设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时, 象 如 右 图 , 是 则 不 等 式 f ?x ? ? 0 的 解 .

f(x)的图

?1 , x?0 ? ?x 5 、 若 函 数 f ( x) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? ? 3

则 不 等 式 | f ( x) |?

1 的解集为 3

____________。


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