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1[1][1].6微积分基本定理课件(1)


? 【知识目标】 ? 1、通过实例,直观了解微积分基本定理的 含义,会用牛顿-莱布尼茨公式求简单的定 积分 ? 2、会用微积分基本定理求定积分的方法 ? 【能力目标】 ? 提高动手解决问题的能力。 ? 【情感目标】

一、复习引入
1.定积分的定义:

?

b

a

b?a f ? x ?dx ? lim? f ?? i ? n? ? n i ?1
n

性质 :

性质1 性质2

?a [ f ( x ) ? g( x )]dx ? ?a f ( x )dx ? ?a g( x )dx .

b

b

b

?a kf ( x )dx ? k ?a f ( x )dx
b c

b

b

k 为常数). (

(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)
性质3

?a f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?c

b

f ( x )dx .

注意:不论 a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立.

二、微积分基本定理
'

如果f ? x ? 是区间? a , b ? 上的连续函数,

并且F ? x ? ? f ? x ? , 则 牛顿—莱布尼茨公式

?F ? x ?叫做 f ? x ?的原函数, f ? x ?叫做 F? x ?的导函数 ?
牛顿-莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系. 求定积分问题转化为求原函数的问题.

? f ? x ?dx ? F ? b ? ? F ? a ? 或? f ? x ?dx ? F ? x ? ? F ? b ? ? F ? a ?
b a b

a

b a

回顾:基本初等函数的导数公式
函数 f(x)

c x
0 nx

n

sin x cos x
x

a

x

e

x

loga x ln x

导函数 f′(x)

n ?1

cos x ? sin x a ln a

e

x

1 x ln a

1 x

新知:基本初等函数的原函数公式
被积 函数f(x)

c

x

n

sin x cos x

a

x
x

e e

x

1 x
ln | x |

一个原 函数F(x)

cx

a 1 n ?1 x ? cos x sin x n ?1 ln a

x

例1 计算下列定积分: ?1? ?
'

2

1

1 dx ; x

1? ? ?2? ?1 ? 2x ? 2 ?dx . x ? ?
3

1 解 ?1?因为 ?ln x ? ? , x 2 1 2 所以 ? dx ? ln x |1 ? ln 2 ? ln1 ? ln 2. 1 x ' 1 ? 1? 2 ' ?2?因为 x ? 2x,? ? ? ? 2 , x ?x?

? ?

3 3 1 1? 1 ? 2 3 ?1 ? 2x ? x2 ?dx ? ?1 2xdx ? ?1 x 2 dx ? x |1 ? x ? ? ? 1 ? 22 ? ?9 ? 1? ? ? ? 1? ? . ?3 ? 3 3

3

1

?1? ?0 ? ?3t
1

练习1:

2

3 2? ? ln 2 1? ? 2 ? ?1 ? x ? ?dx ? ____________ 2
? x?

1 ? 2 ?dt ? _________

? 3 ? ??1 ? 3 x
2

2

? 2 x ? 1?dx ? _________ 9
2

? 4 ? ?1 ? e
2

x

? 1?dx ? ____________ e ? e ?1

三、小结
1.微积分基本定理

?a f ( x )dx ? F (b) ? F (a )
n

b

2.基本初等函数的原函数公式
被积 函数f(x)

c

x

sin x cos x

a

x
x

e e

x

1 x
ln | x |

一个原 函数F(x)

cx

a 1 n ?1 x ? cos x sin x n ?1 ln a

x

例2

计算下列定积分:
2π 2π π 0

?

π

0

sin xdx, ? sin xdx, ? sin xdx.
' π 0

π 解 因为?? cos x ? ? sin x, ? sin xdx ? ?? cos x ? |0

? ?? cosπ? ? ?? cos0? ? 2;

? ?



? ?? cos2π? ? ?? cosπ? ? ?2;
2π 0 2 sin xdx ? ?? cos x ? |0 π

π

sin xdx ? ?? cos x ? |

2π π

? ?? cos2π? ? ?? cos0? ? 0.

问题:通过计算下列定积分,进一步说明其定
积分的几何意义。通过计算结果能发现什么结 论?试利用曲边梯形的面积表示发现的结论.

??

2?

sin xdx

?

2?

0

sin xdx

我们发现:
(1)定积分的值可取正值也可取负值,还可以是0; (2)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值取正值; (3)当曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值取负值; (4)当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方 的面积时,定积分的值为0.

得到定积分的几何意义:曲边梯形面积的代数和。

小结:微积分基本定理。 定积分的几何意义。


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