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九年级数学上册 第二十四章 圆解码专训 (新版)新人教版


解码专训一:圆中常见的计算题型 名师点金:圆有关的计算主要涉及圆与其他几何图形结合,利用圆周角定理求角度,利用垂 径定理构造直角三角形并结合勾股定理,已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时, 可求出第三个量;利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积等.
有关角度的计算 1.如图,⊙I 是△ABC 的内切圆,D,E,F 为三个切点.若∠DEF=52°,则∠A 的度数为( )
A.76° B.68° C.52° D.38°
(第 1 题)
(第 2 题)
2.如图,有一圆通过△ABC 的三个顶点,且弦 BC 的中垂线与弧 AC 相交于 D 点.若∠B=74°, ∠C=46°,则弧 AD 所对圆心角的度数为( ) A.23° B.28° C.30° D.37° 3.(2014·娄底)如图,在⊙O 中,AB,CD 是直径,BE 是切线,B 为切点,连接 AD,BC,BD. (1)求证:△ABD≌△CDB; (2)若∠DBE=37°,求∠ADC 的度数.
(第 3 题)
半径、弦长的计算 4.(2014·南京)如图,在⊙O 中,CD 是直径,弦 AB⊥CD,垂足为 E,连接 BC,若 AB=2 2 cm,∠BCD=22°30′,则⊙O 的半径为________cm.

(第 4 题)
(第 5 题)
︵ 5.如图,AB 为⊙O 的直径,延长 AB 至点 D,使 BD=OB,DC 切⊙O 于点 C,点 B 是CF的中点, 弦 CF 交 AB 于点 E.若⊙O 的半径为 2,则 CF=________. 6.如图,已知⊙O 中直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30°,过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于 点 D,OD=30 cm.求直径 AB 的长.
(第 6 题)
面积的计算 7.(2015·丽水)如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 分别与 BC,AC 交于点 D, E,过点 D 作⊙O 的切线 DF,交 AC 于点 F. (1)求证:DF⊥AC; (2)若⊙O 的半径为 4,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积.
(第 7 题)
解码专训二:圆中常用的作辅助线的方法 名师点金:解决有关圆的计算或证明题时,往往需要添加辅助线,根据题目特点选择恰当的

辅助线至关重要.圆中常用的辅助线作法有:作半径,巧用同圆的半径相等;连接圆上两点, 巧用同弧所对的圆周角相等;作直径,巧用直径所对的圆周角是直角;证切线时“连半径, 证垂直”以及“作垂直,证半径”等.
作半径,巧用同圆的半径相等 1.如图所示,两正方形彼此相邻,且大正方形 ABCD 的顶点 A,D 在半圆 O 上,顶点 B,C 在半圆 O 的直径上;小正方形 BEFG 的顶点 F 在半圆 O 上,E 点在半圆 O 的直径上,点 G 在 大正方形的边 AB 上.若小正方形的边长为 4 cm,求该半圆的半径.
(第 1 题)
连接圆上两点,巧用同弧所对的圆周角相等 2.如图,圆内接三角形 ABC 的外角∠ACM 的平分线与圆交于 D 点,DP⊥AC,垂足是 P,DH⊥BM, 垂足为 H,求证:AP=BH.
(第 2 题)
作直径,巧用直径所对的圆周角是直角 3.如图,⊙O 的半径为 R,弦 AB,CD 互相垂直,连接 AD,BC. (1)求证:AD2+BC2=4R2; (2)若弦 AD,BC 的长是方程 x2-6x+5=0 的两个根(AD>BC),求⊙O 的半径及点 O 到 AD 的距 离.

(第 3 题)
证切线时辅助线作法的应用 4.如图,△ABC 内接于⊙O,CA=CB,CD∥AB 且与 OA 的延长线交于点 D.判断 CD 与⊙O 的位 置关系,并说明理由.
(第 4 题)
遇弦加弦心距或半径 5.如图所示,在半径为 5 的⊙O 中,AB,CD 是互相垂直的两条弦,垂足为 P,且 AB=CD=8, 则 OP 的长为( ) A.3 B.4 C.3 2 D.4 2
(第 5 题)
(第 6 题) 6.(中考·贵港)如图所示,AB 是⊙O 的弦,OH⊥AB 于点 H,点 P 是优弧上一点,若 AB=2 3, OH=1,则∠APB 的度数是________.
遇直径巧加直径所对的圆周角 7.如图,在△ABC 中,AB=BC=2,以 AB 为直径的⊙O 分别交 BC,AC 于点 D,E,且点 D 是

BC 的中点. (1)求证:△AB C 为等边三角形. (2)求 DE 的长.
(第 7 题)
遇切线巧作过切点的半径 8.如图,⊙O 是 Rt△ABC 的外接圆,∠ABC=90°,点 P 是圆外一点,PA 切⊙O 于点 A,且 PA=PB. (1)求证:PB 是⊙O 的切线; (2)已知 PA= 3,∠ACB=60°,求⊙O 的半径.
(第 8 题)

巧添辅助线计算阴影面积

9.(中考·自贡)如图所示,点 B,C,D 都在⊙O 上,过点 C 作 AC∥BD 交 OB 的延长线于点 A, 连接 CD,且∠CDB=∠OBD=30°,DB=6 3 cm. (1)求证:AC 是⊙O 的切线;

(2)求由弦

CD,BD

︵ 与BC所围成的阴影部分的面积.(结果保留

π)

(第 9 题)
解码专训三: 圆的实际应用 名师点金:圆有关的知识在实际生活中有着广泛的应用,从实际生活中抽象出数学问题,并 运用圆的相关知识解决这些问题,可以达到学以致用的目的.
利用垂径定理解决台风问题 1.如图,台风中心位于点 P,并沿东北方向 PQ 移动,已知台风移动的速度为 30 km/h,受 影响区域的半径为 200 km,B 市位于点 P 北偏东 75°的方向上,距离 P 点 320 km 处. (1)试说明台风是否会影响 B 市; (2)若 B 市受台风的影响,求台风影响 B 市的时间.
(第 1 题)
利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想) 2.如图所示,在“世界杯”足球比赛中,队员甲带球向对方球门 PQ 进攻,当他带球冲到 A 点时,同伴队员乙已经助攻冲到 B 点,现有两种射门方式:一是由队员甲直接射门;二是队 员甲将球迅速传给乙,由队员乙射门. 从射门角度考虑,你认为选择哪种射门方式较好?为什么?
(第 2 题)

利用直线与圆的位置关系解决范围问题 3.已知 A,B 两地相距 1 km.要在 A、B 两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段 AB), 经测量在 A 地的北偏东 60°方向,B 地的北偏西 45°方向的 C 处有一个以 C 为圆心,350 m 为半径的圆形公园,则修建的这条水渠会不会穿过公园?为什么?
(第 3 题)
利用圆锥侧面展开图解决材料最省问题 4.如图,某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为 20 cm,高为 40 2 cm 的圆锥形 漏斗,要求只能有一条接缝(接缝忽略不计),请问:选长、宽分别为多少厘米的矩形铁皮, 才能使所用材料最省?
(第 4 题)

解码专训四:与圆有关的动态问题 名师点金:于与圆有关的运动情形下的几何问题,在探究求值问题时,通常应对运动过程中 所有可能出现的不同情形进行分析,如果符合某些条件的点、线等几何图形不唯一,要注意 分类讨论,在探究确定结论成立情况下的已知条件时,可以把确定结论写作已知用.
利用圆探究运动中形成的特殊几何图形问题 1.如图,AB 是半圆 O 的直径,BC 是弦,点 P 从点 A 开始,沿 AB 向点 B 以 1 cm/s 的速度移 动,若 AB 长为 10 cm,点 O 到 BC 的距离为 4 cm. (1)求弦 BC 的长; (2)经过几秒△BPC 是等腰三角形(PB 不能为底边)?
(第 1 题)
2.如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为圆心,2 为半径画⊙O,P 是⊙O 上一动点, 且 P 在第一象限内,过点 P 作⊙O 的切线与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B. (1)点 P 在运动时,线段 AB 的长度也在发生变化,请写出线段 AB 长度的最小值,并说明理 由; (2)在⊙O 上是否存在一点 Q,使得以 Q、O、A、P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在, 请求出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.
(第 2 题)
利用圆探究运动中的特殊位置关系问题 3.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=12 cm,AD=8 cm,BC=22 cm, AB 为⊙O 的直径,动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1 cm/s 的速度运动,动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2 cm/s 的速度运动,P、Q 分别从点 A、C 同时出发.当其中一点到达 终点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为 t(s).当 t 为何值时,PQ 与⊙O 相切?

(第 3 题)

利用圆探究运动中的面积问题

4.如图,在⊙O 中,AB 为⊙O 的直径,AC 是弦,OC=4,∠OAC=60°.

(1)求∠AOC 的度数;

(2)如图,一动点

M



A

点出发,在⊙O

上按逆时针方向运动,当

S =S △MAO

△CAO

时,求动点

M

所经过的弧长.

(第 4 题)

解码专训五:几种常见的热门考点 名师点金:的知识是初中数学的重点内容,也是历年中考命题的热点.本章题型广泛,主要 考查圆的概念、基本性质以及圆周角定理及其推论,直线与圆的位置关系,切线的性质和判 定,正多边形与圆的计算和证明等,通常以这些知识作为载体,与函数、方程等知识综合考 查.

垂径定理及其推论的应用

1.如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点 C 为圆心,CA 为半径的

圆与 AB 交于点 D,则 AD 的长为( )

A.95

B.254

C.158

D.52

(第 1 题)

(第 2 题)
2.如图是一圆柱形输水管的横截 面,阴影部分为有水部分.如果水面 AB 的宽为 8 cm,水 的最大深度为 2 cm,那么该输水管的半径为( ) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
圆心角与圆周角 3.如图所示,AB 是⊙O 的直径,AB⊥弦 CD 于点 E,∠BOC=70°,则∠ABD=( ) A.20° B.46° C.55° D.70°

(第 3 题)

(第 4 题)

4.如图,A,B,C,D 四个点均在⊙O 上,∠AOD=70°,AO∥DC,则∠B 的度数为( ) A.40° B.45° C.50° D.55°
︵︵ 5.如图所示,C 为半圆上一点,AC=CE,过点 C 作直径 AB 的垂线 CP,P 为垂足,弦 AE 交 PC 于点 D,交 CB 于点 F.求证:AD=CD.
(第 5 题)
点、直线与圆的位置关系 6.已知⊙O 的半径为 4 cm,A 为线段 OP 的中点,当 OP=7 cm 时,点 A 与⊙O 的位置关系是 () A.点 A 在⊙O 内 B.点 A 在⊙O 上 C.点 A 在⊙O 外 D.不能确定 7.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以点 C 为圆心,r 为半径作圆,若⊙C 与直线 AB 相切,则 r 的值为( ) A.2 cm B.2.4 cm C.3 cm D.4 cm 8.设⊙O 的半径为 2,圆心 O 到直线 l 的距离 OP=m,且 m 使得关于 x 的方程 2x2-2 2x+ m-1=0 有实数根,则直线 l 与⊙O( ) A.相离或相切 B.相切或相交 C.相离或相交 D.无法确定
切线的判定与性质

(第 9 题)

9.(2014·哈尔滨)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,连接 OC 交⊙O 于点 D,连接

BD,∠C=40°,则∠ABD 的度数是( )

A.30°

B.25°

C.20°

D.15°

10.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,OC 与⊙O 相交于点 D,连接 AD 并延长,

与 BC 相交于点 E.

(1)若 BC= 3,CD=1,求⊙O 的半径;

(2)取 BE 的中点 F,连接 DF,求证 DF 是⊙O 的切线.

(第 10 题)
与圆有关的计算 11.如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,AC=8,BD=6,以 AB 为直径作一个半 圆,则图中阴影部分的面积为( ) A.25π-6 B.225π-6 C.265π-6 D.285π-6
(第 11 题)
(第 12 题)
12.如图,正六边形 ABCDEF 是边长为 2 cm 的螺母,点 P 是 FA 延长线上的点,在 A,P 之间 拉一条长为 12 cm 的无伸缩性细线,一端固定在点 A,握住另一端点 P 拉直细线,把它全部 紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动),则点 P 运动的路径长为( ) A.13π cm B.14π cm C.15π cm D.16π cm 13.(2015·兰州)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 边于点 D.以 AB 上一点 O 为圆心作⊙O,使⊙O 经过点 A 和点 D. (1)判断直线 BC 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若 AC=3,∠B=30°, ①求⊙O 的半径 ; ②设⊙O 与 AB 边的另一个交点为 E,求线段 BD,BE 与劣弧 DE 所围成的阴影部分的面积.(结 果保留根号和 π)

(第 13 题)
圆与其他知识的综合 类型 1 圆与三角形的综合 14.(2015·成都节选)如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AC 的垂直平分线分别与 AC,BC 及 AB 的延长线相交于点 D,E,F,且 BF=BC.⊙O 是△BEF 的外接圆,连接 BD. (1)求证:△ABC≌△EBF; (2)试判断 BD 与⊙O 的位置关系,并说明理由.
(第 14 题) 类型 2 圆与四边形的综合 15.(2015·天津)已知 A,B,C 是⊙O 上的三个点,四边形 OABC 是平行四边形,过点 C 作 ⊙O 的切线,交 AB 的延长线于点 D. (1)如图①,求∠ADC 的大小;
︵ (2)如图②,经过点 O 作 CD 的平行线,与 AB 交于点 E,与AB交于点 F,连接 AF,求∠FAB 的大小.
(第 15 题)
类型 3 圆与函数的综合 16.如图,直线 y=-34x+3 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,点 C 是第二象限内任意 一点,以点 C 为圆心的圆与 x 轴相切 于点 E,与直线 AB 相切于点 F. (1)如图①,当四边形 OBCE 是矩形时,求点 C 的坐标;

(2)如图②,若⊙C 与 y 轴相切于点 D,求⊙C 的半径 r; (3)在⊙C 的移动过程中,能否使△OEF 是等边三角形?(只回答“能”或“不能”)
(第 16 题)
答案
解码专训一 1.A 2.B 3.(1)证明:∵AB,CD 是直径,∴∠ADB=∠CBD=90°, 在 Rt△ABD 和 Rt△CDB 中,???AB=CD,
??BD=DB, ∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL). (2)解:∵BE 是切线,∴AB⊥BE,∴∠ABE=90°. ∵∠DBE=37°,∴∠ABD=53°. ∵OD=OA,∴∠ODA=∠BAD=90°-53°=37°, ∴∠ADC 的度数为 37°. 4.2 点拨:连接 OB,∵∠BCD=22°30′,∴∠BOD=2∠BCD=45°.∵AB⊥CD,∴BE=AE =12AB=12×2 2= 2(cm),△BOE 为等腰直角三角形,∴OB= 2BE=2 cm,故答案为 2. 5.2 3 6.解:连接 OC.∵∠A=30°,∴∠COD=60°. ∵DC 切⊙O 于 C,∴∠OCD=90°,∴∠D=30°. ∵OD=30 cm,∴OC=12OD=15 cm, ∴AB=2OC=30 cm.
(第 7 题) 7.(1)证明:如图,连接 OD, ∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∴∠ODB=∠ACB.∴OD∥AC. ∵DF 是⊙O 的切线,∴DF⊥OD. ∴DF⊥AC.

(2)解:如图,连接 OE, ∵DF⊥AC,∠CDF=22.5°, ∴∠ABC=∠ACB=67.5°,∴∠BAC=45°. ∵OA=OE,∴∠AOE=90°. ∵⊙O 的半径为 4,∴S 扇形 AOE=4π,S△AOE=8. ∴S 阴影=S 扇形 AOE-S△AOE=4π-8.
解码专训二
(第 1 题) 1.解:连接 OA,OF,如图.设 OA=OF=r cm,AB=a cm.
在 Rt△OAB 中,r2=???a2???2+a2,
在 Rt△OEF 中,r2=42+???4+a2???2,
∴a42+a2=16+16+4a+a42,解得 a1=8,a2=-4(舍去),
∴r2=???82???2+82=80,∴r1=4 5,r2=-4 5(舍去),即该半圆的半径为 4 5 cm.
点拨:在圆的计算题中,求角度或边长时,常连接半径构造等腰三角形或直角三角形,利用 特殊三角形的性质来解决问题.
︵ 2.证明:连接 AD、BD.∵∠DAC、∠DBC 是DC所对的圆周角. ∴∠DAC=∠DBC. ∵CD 平分∠ACM,DP⊥AC,DH⊥CM,∴DP=DH.
??∠DAP=∠DBH, 在△ADP 和△BDH 中,?∠DPA=∠DHB=90°,
??DP=DH,
∴△ADP≌△BDH, ∴AP=BH. 点拨:本题通过作辅助线构造圆周角,然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC=∠DBH, 为证两三角形全等创造了条件. 3.(1)证明:过点 D 作⊙O 的直径 DE,连接 AE,EC,AC. ∵DE 是⊙O 的直径,∴∠ECD=∠EAD=90°. 又∵CD⊥AB,∴EC∥AB,∴∠BAC=∠ACE.
︵︵ ∴BC=AE.∴BC=AE.

在 Rt△AED 中,AD2+AE2=DE2, ∴AD2+BC2=4R2. (2)解:过点 O 作 OF⊥AD 于点 F. ∵弦 AD,BC 的长是方程 x2-6x+5=0 的两个根(AD>BC),∴AD=5,BC=1.

由(1)知,AD2+BC2=4R2,∴52+12=4R2,∴R= 226.

∵∠EAD=90°,OF⊥AD,∴OF∥EA.

111

1

又∵O 为 DE 的中点,∴OF=2AE=2BC=2,即点 O 到 AD 的距离为2.

点拨:本题作出直径 DE,利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形,给解 题带来了方便.

(第 4 题) 4.解:CD 与⊙O 相切,理由如下:如图,作直径 CE,连接 AE. ∵CE 是直径,∴∠EAC=90°. ∴∠E+∠ACE=90°. ∵CA=CB,∴∠B=∠CAB. ∵AB∥CD, ∴∠ACD=∠CAB. ∵∠B=∠E,∴∠ACD=∠E, ∴∠ACE+∠ACD=90°,即 OC⊥DC.又 OC 为⊙O 的半径,∴CD 与⊙O 相切.
5.C 6.60°
(第 7 题) 7.(1)证明:连接 AD, ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=90°. ∵点 D 是 BC 的中点, ∴AD 是线段 BC 的垂直平分线, ∴AB=AC. ∵AB=BC,∴AB=BC=AC, ∴△ABC 为等边三角形. (2)解:连接 BE. ∵AB 是直径,∴∠AEB=90°,∴BE⊥AC, ∵△ABC 是等边三角形,∴AE=EC,即 E 为 AC 的中点. ∵D 是 BC 的中点,故 DE 为△ABC 的中位线.

∴DE=12AB=12×2=1.
(第 8 题) 8.(1)证明:连接 OB,∵OA=O B,∴∠OAB=∠OBA, ∵PA=PB,∴∠PA B=∠PBA, ∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA,即∠PAO=∠PBO, 又∵PA 是⊙O 的切线,∴∠PAO=90°,∴∠PBO=90°,∴OB⊥PB, 又∵OB 是⊙O 的半径,∴PB 是⊙O 的切线. (2)解:连接 OP, ∵PA=PB,∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上, ∵OA=OB,∴点 O 在线段 AB 的垂直平分线上, ∴OP 为线段 AB 的垂直平分线, 又∵BC⊥AB,∴PO∥BC,∴∠AOP=∠ACB=60°, ∵在 Rt△APO 中,AO2+PA2=PO2,即 AO2+3=(2AO)2.又∵AO>0, ∴AO=1,∴⊙O 的半径为 1.
(第 9 题) 9.(1)证明:连接 CO,交 DB 于点 E,∴∠O=2∠CDB=60°. 又∵∠OBE=30°,∴∠BEO=180°-60°-30°=90°. ∵AC∥BD,∴∠ACO=∠BEO=90°,即 OC⊥AC. 又∵点 C 在⊙O 上,∴AC 是⊙O 的切线. (2)解:∵OE⊥DB,∴EB=12DB=3 3 cm. 在 Rt△EOB 中,∵∠OBD=30°,∴OE=12OB. ∵EB=3 3 cm,∴由勾股定理可求得 OB=6 cm. 又∵∠D=∠DBO,DE=BE,∠CED=∠OEB, ∴△CDE≌△OBE,∴S△CDE=S△OBE, ∴S 阴影=S 扇形 OCB=36600π·62=6π(cm2).
解码专训三

(第 1 题) 1.解:(1)如图,过 B 作 BH⊥PQ 于 H,在 Rt△BHP 中,由条件易知:BP=320 km,∠BPQ= 30°.∴BH=12BP=160 km<200 km.∴台风会影响 B 市.
(2)如图,以 B 为圆心,200 km 为半径作圆,交 PQ 于 P1,P2 两点,连接 BP1,由垂径定理知 P1P2=2P1H. 在 Rt△BHP1 中,BP1=200 km, BH=160 km, ∴P1H= 2002-1602=120(km). ∴P1P2=2P1H=240 km. ∴台风影响 B 市的时间为23400=8(h).
点拨:本题在图形中画出圆,可以非常直观地构造数学模型,然后利用垂径定理解决生活中 的实际问题.

(第 2 题)

2.解:选择射门方式二较好,理由如下:设 AQ 与圆的交点为 C,连接 PC,如图所示.

∵∠PCQ 是△PAC 的外角,

∴∠PCQ>∠A.又∵∠PCQ=∠B,

∴∠B>∠A,∴在 B 点射门比在 A 点射门好,∴选择射门方式二较好.

点拨:本题运用转化思想,将射门角度大小的问题,建模转化到圆中,根据圆周角的相关结

论来解决实际问题.

3.解:修建的这条水渠不会穿过公园.

理由:过点 C 作 CD⊥AB,垂足为 D.

∵∠CBA=45°,∴∠BCD=45°,CD=BD. 设 CD=x km,则 BD=x km. 由∠CAB=30°,知 AC=2x,AD= (2x)2-x2= 3x,

3-1 ∴ 3x+x=1,解得 x= 2 ,

即 CD=

3-1 2 ≈0.366

km=366

m>350

m,

也就是说,以点 C 为圆心,350 m 为半径的圆与 AB 相离.

∴修建的这条水渠不会穿过公园. 4.解:∵圆锥形漏斗的底面半径为 20 cm,高为 40 2 cm,

∴圆锥的母线长为 202+(40 2)2=60(cm).

设圆锥的侧面展开图的圆心角为 n°,则有nπ18×060=2π×20,解得 n=120. 方案一:如图①,扇形的半径为 60 cm,矩形的宽为 60 cm,易求得矩形的长为 60 3 cm. 当 AB=60 cm,BC=60 3 cm 时,S 矩形 ABCD=3 600 3 cm2. 方案二:如图②,扇形与矩形的两边相切,有一边重合,易求得矩形的宽为 60 cm,长为 30 +60=90(cm),此时矩形的面积为 90×60=5 400(cm2). ∵3 600 3>5 400, ∴方案二所用材料最省,即选长为 90 cm,宽为 60 cm 的矩形铁皮,才能使所用材料 最省.
(第 4 题)
解码专训四 1.解:(1)作 OD⊥BC 于 D. 由垂径定理知,点 D 是 BC 的中点,即 BD=12BC,∵OB=12AB=5 cm,OD=4 cm,由勾股定理 得,BD= OB2-OD2=3 cm ,∴BC=2BD=6 cm. (2)设经过 t s,△BPC 是等腰三角形. ①当 PC 为底边时,有 BP=BC,即 10-t=6,解得 t=4; ②当 BC 为底边时,有 PC=PB,此时 P 点与 O 点重合,t=5. ∴经过 4 s 或 5 s,△BPC 是等腰三角形. 2.解:(1)线段 AB 长度的最小值为 4.理由如下: 连接 OP. ∵AB 切⊙O 于 P,∴OP⊥AB. 取 AB 的中点 C,则 AB=2OC, 当 OC=OP 时,OC 最短, 即 AB 最短,此时 AB=4. (2)假设存在符合条件的点 Q. 如图①,设四边形 APOQ 为平行四边形, ∵∠APO=90°,∴四边形 APOQ 为矩形,又∵OP=OQ, ∴四边形 APOQ 为正方形, ∴OQ=QA,∠QOA=45°, 在 Rt△OQA 中,根据 OQ=2,∠AOQ=45°, 得 Q 点的坐标为( 2,- 2).

(第 2 题)
如图②,设四边形 APQO 为平行四边形,连接 OP, ∵OQ∥PA,∠APO=90°,∴∠POQ=90°. 又∵OP=OQ,∴∠PQO=45°, ∵PQ∥OA,∴PQ⊥y 轴. 设 PQ 交 y 轴于点 H, 在 Rt△OHQ 中,根据 OQ=2,∠HQO=45°, 得 Q 点的坐标为(- 2, 2). ∴符合条件的点 Q 的坐标为( 2,- 2)或(- 2, 2).
(第 3 题) 3.解:如图,设 PQ 与⊙O 相切于点 H,过点 P 作 PE⊥BC,垂足为 E. ∵四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°, ∴PE=AB.由题意可知:AP=BE=t,CQ=2t, ∴BQ=BC-CQ=22-2t,EQ=BQ-BE=22-2t-t=22-3t. ∵AB 为⊙O 的 直径,∠ABC=∠DAB=90°, ∴AD、BC 为⊙O 的切线,∴AP=PH,HQ=BQ, ∴PQ=PH+HQ=AP+BQ=t+22-2t=22-t. 在 Rt△PEQ 中,PE2+EQ2=PQ2, ∴122+(22-3t)2=(22-t)2,即 t2-11t+18=0,解得 t1=2,t2=9, ∵P 在 AD 边运动的时间为A1D=81=8(s), 而 t=9>8,∴t=9(舍去). ∴当 t=2 s 时,PQ 与⊙O 相切.
(第 4 题) 4.解:(1)∵在△ACO 中,∠OAC=60°,OC=OA, ∴△ACO 是等边三角形,

∴∠AOC=60°. (2)如图, ①作点 C 关于直径 AB 的对称点 M1,连接 AM1,OM1. 易得 S△M1AO=S△CAO,∠AOM1=60°, ∴A︵M1=148π0×60=43π.

∴当点 M 运动到 M1 时,S△MAO=S△CAO, 此时点 M 经过的弧长为43π.

②过点 M1 作 M1M2∥AB 交⊙O 于点 M2,连接 AM2,OM2,易得 S△M2AO=S△CAO, ∴∠OM1M2=∠AOM1=60°,又∵OM1=OM2,∴∠M1OM2=60°,∴∠AOM2=120°, ∴A︵M2=148π0×120=83π,

∴当点 M 运动到 M2 时,S△MAO=S△CAO,此时点 M 经过的弧长为83π.

③过点 C 作 CM3∥AB 交⊙O 于点 M3,连接 AM3,OM3,易得 S△M3AO=S△CAO, ∴AM2M3 ︵ =418π0×240=136π.

∴当点 M 运动到 M3 时,S△MAO=S△ CAO,此时点 M 经过的弧长为136π.

④当点 M 运动到 C 时,M 与 C 重合,S△MAO=S△CAO, 此时点 M 经过的弧长为41π80×300=230π.

综上所述,当

S =S △MAO

△CAO

时,动点

M

所经过的弧长为43π

或83π

或136π

或230π.

解码专训五 1.C 2.C 3.C 4.D

(第 5 题) 5.证明:如图,连接 AC. ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠DCB=90°. ∵CP⊥AB 于 点 P, ∴∠B+∠DCB=90°,∴∠ACD=∠B.
︵︵ 又∵AC=CE,∴∠B=∠CAD=∠ACD,
∴AD=CD. 6.A 7.B 8.B 9.B

(第 10 题) 10.(1)解:设⊙O 的半径为 r, ∵AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,∴AB⊥BC, 在 Rt△OBC 中,∵OC2=OB2+CB2, ∴(r+1)2=r2+( 3)2, 解得 r=1,∴⊙O 的半径为 1. (2)证明:连接 OF, ∵OA=OB,BF=EF, ∴OF 是△BAE 的中位线,∴OF∥AE,∴∠A=∠2,∠1=∠ADO, 又∵∠ADO=∠A,∴∠1=∠2,
??OB=OD, 在△OBF 和△ODF 中,?∠2=∠1,
??OF=OF,
∴△OBF≌△ODF, ∴∠ODF=∠OBF=90°,即 OD⊥DF, 又 OD 是⊙O 的半径,∴FD 是⊙O 的切线. 11.D 12.B

(第 13 题)

13.解:(1)相切,理由如下:

如图,连接 OD,∵AD 平分∠BAC,

∴∠1=∠2.

∵OA=OD,∴∠1=∠3,

∴∠2=∠3,

∴OD∥AC.

又∠C=90°,∴OD⊥BC,∴BC 与⊙O 相切.

(2)①设⊙O 的半径为 r.∵AC=3,∠B=30°,∴AB=6.

又 OA=OD=r,∴OB=2r.

∴2r+r=6,解得 r=2,即⊙O 的半径是 2.

1

60π×22

②由①得 OD=2,则 OB=4,BD=2 3,S 阴影=S△OBD-S 扇形 ODE=2×2 3×2- 360 =2 3-

23π.

14 .(1)证明:在 Rt△CED 中,∠C+∠CED=90°,在 Rt△BFE 中,∠EFB+∠BEF=

90°.∵∠CED=∠BEF,∴∠C=∠EFB.

??∠C=∠EFB, 在 Rt△ABC 和 Rt△EBF 中,?BC=BF,
??∠ABC=∠EBF,
∴△ABC≌△EBF. (2)解:BD 与⊙O 相切,理由如下: 连接 BO,∵OB=OF,∴∠OBF=∠OFB. ∵FD 垂直平分 AC,∴D 为 AC 的中点,又∵△ABC 为直角三角形.∴BD=CD, ∴∠DCB=∠DBC. 由(1)知∠ACB=∠EFB,∴∠DBC=∠DFB=∠OBF. ∵∠CBF=∠CBO+∠OBF=90°,∴∠DBO=∠CBO+∠DBC=90°, ∴BD 为⊙O 的切线. 15.解:(1)∵CD 是⊙O 的切线,C 为切点, ∴OC⊥CD,即∠OCD=90°. ∵四边形 OABC 是平行四边形, ∴AB∥OC,即 AD∥OC. ∴∠ADC+∠OCD=180°, ∴∠ADC=180°-∠OCD=90°.
(第 15 题) (2)如图,连接 OB,则 OB =OA=OC. ∵四边形 OABC 是平行四边 形, ∴OC=AB, ∴OA=OB=AB. 即△AOB 是等边三角形. 于是,∠AOB=60°. 由 OF∥CD,又∠ADC=90°, 得∠AEO=∠ADC=90°.
︵︵ ∴OF⊥AB,有BF=AF.
1 ∴∠FOB=∠FOA=2∠AOB=30°.
1 ∴∠FAB=2∠FOB=15°. 16.解:(1)∵直线 y=-34x+3 与 x 轴交于点 A(4,0),与 y 轴交于点 B(0,3),∴OA=4, OB=3,∴AB= 32+42=5.连接 CF,∵四边形 OBCE 是矩形,∴CE=OB=3.设 OE=x,则由 切线长定理知 AF=AE=x+4, ∴BF=x+4-5=x-1.在 Rt△CBF 中, ∵BC=OE=x,CF=CE=3,BF=x-1,BC2=CF2+BF2,∴x2=32+(x-1)2,解得

x=5,即 OE=5,∴点 C 的坐标为(-5,3). (2)连接 CE,CD,易知四边形 CEOD 是正方形, ∴OE=OD=r.由切线长定理知 BF=BD=3-r,AE=AF,又∵AE=AO+OE=4+r,AF=AB+ BF=5+3-r=8-r,∴4+r=8-r,∴r=2. (3)不能.


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