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2019高考数学总复习优编增分练:高考附加题加分练七计数原理

中小学教育教学资料

(七)计数原理

1.已知等式(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,其中 ai(i=0,1,2,…, 10)为实常数.

10
求:(1) ?an 的值;
n=1

10
(2) ?nan 的值.
n=1
解(1)在(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10 中,
令 x=-1,得 a0=1.
令 x=0,得 a0+a1+a2+…+a9+a10=25=32.

10
所以 ?an=a1+a2+…+a10=31.
n=1
(2)等式(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10 两边对 x 求导,
得 5(x2+2x+2)4·(2x+2)=a1+2a2(x+1)+…+9a9(x+1)8+10a10(x+1)9.
在 5(x2+2x+2)4·(2x+2)=a1+2a2(x+1)+…+9a9(x+1)8+10a10(x+1)9 中,

10
令 x=0,整理得 ?nan=a1+2a2+…+9a9+10a10=5·25=160.
n=1 2.设等差数列{an}的首项为 1,公差为 d(d∈N*),m 为数列{an}中的项.
(1)若 d=3,试判断???x+ 1x???m 的展开式中是否含有常数项?并说明理由; (2)证明:存在无穷多个 d,使得对每一个 m,???x+ 1x???m 的展开式中均不含常数项. (1)解 因为{an}是首项为 1,公差为 3 的等差数列,
所以 an=3n-2.
假设???x+ 1x???m 的展开式中第 r+1 项为常数项(r∈N),

Tr+1=Crmxm-r??? 1x???r=

,于是 m-32r=0.

设 m=3n-2(n∈N*),则有 3n-2=32r,

即 r=2n-43,这与 r∈N 矛盾.

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所以假设不成立,即???x+ 1x???m 的展开式中不含常数项. (2)证明 由题设知 an=1+(n-1)d, 设 m=1+(n-1)d, 由(1)知,要使对于每一个 m,???x+ 1x???m 的展开式中均不含常数项, 必须有:对于 n∈N*,满足 1+(n-1)d-32r=0 的 r 无自然数解,即 r=23d(n-1)+23?N. 当 d=3k(k∈N*)时,r=23d(n-1)+23=2k(n-1)+23?N. 故存在无穷多个 d,满足对每一个 m,???x+ 1x???m 的展开式中均不含常数项. 3.已知 f(x)=(2+ x)n,其中 n∈N*. (1)若展开式中含 x3 项的系数为 14,求 n 的值; (2)当 x=3 时,求证:f(x)必可表示成 s+ s-1(s∈N*)的形式.

(1)解

因为 Tr+1=Crn2n-rx

r ,当2=3

时,r=6,

故 x3 项的系数为 C6n2n-6=14,解得 n=7.

(2)证明 由二项式定理可知,

(2+ 3)n=C0n2n( 3)0+C1n2n-1( 3)1+C2n2n-2( 3)2+…+Cn20( 3)n,

设(2+ 3)n=p+ 3q= p2+ 3q2,p,q∈N*,

而若有(2+ 3)n= a+ b,a,b∈N*,

则(2- 3)n= a- b,a,b∈N*.

∵( a+ b)·( a- b)=(2+ 3)n·(2- 3)n=1,

∴a-b=1,令 a=s,s∈N*,得 b=s-1,

∴(2+ 3)n 必可表示成 s+ s-1的形式,其中 s∈N*.

4.设 n∈N*,n≥3,k∈N*.

(1)求值:①kCkn-nCkn-1;

②k2Ckn-n(n-1)Ckn-2-nCkn-1(k≥2);

(2)化简:12C0n+22C1n+32C2n+…+(k+1)2Ckn+…+(n+1)2Cn.

解(1)①kCkn-nCkn-1=k×错误!-n×错误!

=错误!-错误!=0.

②k2Ckn-n(n-1)Ckn-2-nCkn-1

=k2×错误!-n(n-1)×错误!-n×错误!

=k×错误!-错误!-错误!

=错误!错误!=0.

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(2)由(1)可知当 k≥2 时,(k+1)2Ckn =(k2+2k+1)Ckn=k2Ckn+2kCkn+Ckn =[n(n-1)Ckn-2+nCkn-1]+2nCkn-1+Ckn =n(n-1)Ckn-2+3nCkn-1+Ckn. 故 12C0n+22C1n+32C2n+…+(k+1)2Ckn+…+(n+1)2Cn =(12C0n+22C1n)+n(n-1)(C0n-2+C1n-2+…+Cn-2)+3n(C1n-1+C2n-1+…+Cn-1)+(C2n+C3n+…+ Cn) =(1+4n)+n(n-1)2n-2+3n(2n-1-1)+(2n-1-n) =2n-2(n2+5n+4).


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