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2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)


2017 年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解 2017 年 5 月 7 日 8:00——10:00 一、填空题(本题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1.已知向量 AP ? 1, 3 , PB ? ? 3,1 ,则向量 AP 与 AB 的夹角等于 ? ? ? ? . 解一:由题设 AP ? PB ? (1, 3) ? (? 3,1) ? 0 ,且 | AP |?| PB | ,故 ?APB 为等腰直角三角 形,从而向量 AP 与 AB 的夹角等于 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?. 4 ??? ? ??? ? 解二:因为 AB ? AP ? PB ? (1 ? 3, 3 ? 1) ,所以 cos ? AB, AP ?? 与 AB 的夹角等于 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ,所以向量 AP 2 ?. 4 2.已知集合 A ? x | ? ax ? 1?? a ? x ? ? 0 ,且 a ? A,3 ? A ,则实数 a 的取值范围是 解:有题设,知 ? ? ? . ?(2a ? 1)(a ? 2) ? 0 ? (3a ? 1)(a ? 3) ? 0 ?a ? 2或a ? 1 ? 2 所以: ? 1 ? ?a?3 ? 3 所以 1 ? a ? 1 或2 ? a ? 3 3 2 ?? 2? ,其中 i 是虚数单位,则 z 3 ? z 2 ? ? i sin 3 3 3.已知复数 z ? cos 3 2 . 解:有题设 z ? z ? cos 6? ? i sin 6? ? cos 4? ? i sin 4? ? 1 ? 3 i 3 3 3 3 2 2 4.在平面直角坐标系 xOy 中,设 F1 , F2 分别是双曲线 为 . x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0? 的左,右焦点, a2 b2 P 是双曲线右支上一点, M 是 PF2 的中点,且 OM ? PF2 ,3PF1 ? 4PF2 ,则双曲线的离心率 答案:5. 5.定义区间 ? x1 , x2 ? 的长度为 x2 ? x1 .若函数 y ? log2 x 的定义域为 ? a, b? ,值域为 ?0, 2? ,则 区间 ? a, b? 的长度的最大值与最小值的差为 . 答案:3. 6.若关于 x 的二次方程 mx2 ? ? 2m ? 1? x ? m ? 2 ? 0 ? m ? 0? 的两个互异的根都小于 1,则实数 m 的取值范围是 . ?3? 7 ? 答案: ? , ?? ? . ? 4 ? ? ? 7.若 tan 4 x ? 3 sin 4 x sin 2 x sin x sin x ,则 ? ? ? ? 3 cos8x cos 4x cos 4 x cos 2 x cos 2 x cos x cos x . 答案: 3. 8.棱长为 2 的正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 在空间坐标系 O - xyz 中运动,其中顶点 A 保持在 z 轴 上,顶点 B1 保持在平面 xOy 上,则 OC 长度的最小值是 . 答案: 6 ? 2. 9. 设 数 列 a1 , a2 , a3 ,?, a21 满 足 : an?1 ? an ? 1? n ? 1, 2, 3, ? , 20 ? , a1 , a7 , a21 成 等 比 数 列 . 若 a

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