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一元二次不等式解法 (1)


一元二次不等式的解法

一、基础知识讲解
定 义 : 只 含 有 一 个 未 知 数 , 未 知 数 的 最 高 次 数 是 2的 不等式,叫一元二次不等式。

一元二次不等式的基本形式: ax2+bx+c>0(a≠0) ax2+bx+c<0(a≠0) ax2+bx+c≥0(a≠0) ax2+bx+c≤0(a≠0)

一、基础知识讲解 引例1:解不等式 2x-7>0

y

o

3.5

x

思考:一元一次方程的解与一次函数的图象有什么关 系?一元一次不等式的解集与一次函数的图象又有什 么关系? 答:方程的解即函数图象与x轴交点的横坐标; 不等式的解集即函数图象在x轴下方或上方所对应x的 范围。

寻觅方法,解:
?

x ?x?2?0
2

代数方法:

? x ? 2 ?? x ? 1 ? ?
?x ? 2 ? 0 ? ? ?x ?1 ? 0
?x ? 2 ? ? x ? ?1

0



?x ? 2 ? 0 ? ?x ? 1 ? 0
?x ? 2 ? ? x ? ?1

? 原不等式的解集是:

? ?x | ? 1 ? x ? 2 ?

一、基础知识讲解 引例2:解不等式 x2-x-6>0
什么关系?

?x

x ? ? 2 , 或 x ? 3?

思考:不等式x2-x-6>0的解与二次函数y=x2-x-6图像又有
y

y=x2-x-6

解: 因为△=1+24>0 ∴方程x2-x-6=0的解是:x1=-2,x2=3 由函数y=4x2-4x+1的图像
-2 o 3 x

可得不等式的解集为{x|x<-2或x>3}
1 25 ( ,? ) 2 4

一、基础知识讲解 练习:1.(2004年江苏省高考试题)二次函数 y=ax2+bx+c的对应值表如下:

x y

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0
.

4 6

则ax2+bx+c>0解集是

2.解不等式 (1) 4x2-4x+1>0

(2) -6x2 +x-2≤0

解: 因为△=16-16=0 方程4x2-4x+1=0的解是:x1=x2=0.5 而函数y=4x2-4x+1的开口向上 所以原不等式的解集为{x|x≠0.5}

一、基础知识讲解

1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系:
⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程 ax2+bx+c=0 的根 ⊿>0
y x

⊿=0
y

⊿<0
y

x1

x2

x1(x2) x

x

有两个 有两个不等实 相等实根 根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 ax2+bx+c>0(a>0) {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1} 的解集 ax2+bx+c<0 (a>0) {x|x1<x<x2} 的解集

无实根

R

?

?

2. 求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的程序框图:

△≥0

x ? ?

b 2a

x<x1或x>x2

一、基础知识讲解

小结:解一元二次不等式ax2+bx+c>0的步骤:
① 将二次项系数化为“+”(a>0); ② 计算ax2+bx+c=0判别式;并求其根

③ 画出y=ax2+bx+c的图象; 记忆口诀: (前提a>0). ④ 由图象写出解集. 大于取两边,小于取中间

练习

1. 解不等式 (1) 4x2+4x+1≤0

(2) x2 -x -1<0

2.口答: (1) (x-1)(x-3)>0的解集是 {x∣x<1或x>3}.
(2) x2<9的解集是 {x∣-3<x<3 } . (3) x2-3x-4≥0的解集是 {x∣x≤-1或x≥4} .

(4) (x-1)(2-x) ≥0的解集是 {x∣1≤ x≤ 2.} {1} (5) (x-1)2≤0的解集是 . 3. 若0<a<1,则不等式(x-a)(x -
1 a

)<0的解集是_______.

二、例题分析
例 1 .解 不 等 式 x ? 5 a x ? 6 a ? 0 ( a ? 0 )
2 2

解: 原不等式可化为: 相应方程 的两根为

二、例题分析 例2.已知一元二次不等式ax2+bx+6>0的解集为{x∣-2<x<3} 求a,b的值。 解:由题意得,a<0,且方程ax2+bx+6=0的两根分别为-2和 3, ∴

练习. (1)已知不等式x2+ax+b>0的解集为{x|x<-2或x>3}, -6 -1 则实数a=____,b=_____.
? 1 1? ?x ? ? x ? ? ? 2 3? ?

二、例题分析 例3.不等式x2 -6kx+ k+8≥0对所有实数x∈R都成立,求 k的取值范围.
变 式1.若 函 数 y ? 范 围. x - 6 kx ? k ? 8的 定 义 域 为 R, 求 k 的 取 值
2

解:依题意可知,对任意x∈R,不等式x2-6kx+k+8≥0 应恒成立,所以
k应满足:△=(-6k)2-4(k+8)≤0

解得

?

9 8

≤k≤1

二、例题分析 例3.不等式x2 -6kx+ k+8>0对所有实数x∈R都成立,求 a的取值范围.
变 式 2 .若 函 数 y ? 范 围. kx - 6 kx ? k ? 8的 定 义 域 为 R , 求 k 的 取 值
2

解:依题意可知,对任意x∈R,不等式kx2-6kx+k+8≥0 应恒成立,所以 (1)若k=0,则可得8>0,满足题意 (2)若k≠0,则应满足 k>0 k>0 解得 2-4k(k+8)≤0 △=(-6k) -1≤k≤1 ∴0<k≤1 综上所述,k∈[0,1]

三、小结 1. 解一元二次不等式的步骤 (1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) (2)判定△与0的关系,并求出方程 ax2+bx+c=0的实根; (3)根据图象写出不等式的解集. 注:画出二次函数的图象,根据图象写出解集,注意 数形结合 2.注意含参数不等式求解时,对参数的分类讨论。 3.解题过程中注意一元二次不等式的解集与相应一元 二次方程的根及二次函数图象之间的关系。

思想方法: 1.数形结合

2.分类讨论

3.化归

四、作业

1.解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0
2 .若 函 数 y ? lg ( kx - 6 kx ? k ? 8)的 定 义 域 为 R, 求 k 的
2

取 值 范 围.


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