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2016-2017年最新审定人教A版高中数学必修五:2.5《等比数列的前n项和(2)》ppt(优秀课件)_图文


最新审定人教A版高中数学必修五优秀课件 第二章 2.5 等比数列的前n项和 数列求和 第2课时 1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课 时 作 业 课前自主预习 中世纪,意大利数学家斐波那契 (1170 ~ 1250)在 1202 年发表《算盘全书》一书,书中 有这样一题:“今有 7 老妇人共往罗马,每 人有 7 骡,每骡负 7 袋,每袋盛有 7 个面包, 每个面包有 7 把小刀随之,问列举之物全数 共几何?” 推导等比数列前n项和公式的方法称为________法. [答案] 错位相减 1.分组转化求和法 如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成,并且各独立项也可 组成等差或等比数列,则该数列的前 n 项和可考虑拆项后利用公式求 解. 1 1 1 1 求和:Sn=12+24+38+?+(n+2n). [ 解析] 1 1 1 1 Sn=12+24+38+?+(n+2n) 1 1 1 1 =(1+2+3+?+n)+(2+4+8+?+2n) 1 1 n?n+1? 2?1-2n? n?n+1? 1 = 2 + 1 = 2 +1-2n. 1-2 2.裂项求和法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常 用“裂项法”,分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通 项公式进行拆项, 相消时应注意消去项的规律, 即消去哪些项, 保留哪些项,常见的裂项公式: 1 1 1 1 (1) = · ( - ); n?n+k? k n n+k (2)若{an}为等差数列,公式为 d, 1 1 1 1 则 = ( - ); an· an+1 d an an+1 1 (3) = n+1- n等. n+1+ n 1 已知数列{an}中,an= ,前 n 项和 Sn=9,求项 n+1+ n 数 n 的值. [ 解析] 1 ∵an= = n+1- n, n+1+ n ∴Sn=a1+a2+?+an = 2-1+ 3- 2+?+ n+1- n = n+1-1=9, ∴n+1=100,∴n=99. 3.错位相减法 若数列{an}为等差数列,数列{bn}是等比数列,由这两个数列的对应项乘 积组成的新数列为{anbn},当求该数列的前n项的和时,常常采用将{anbn} 的各项乘以公比q,然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减,即可转化 为特殊数列的求和,所以这种数列求和的方法称为错位相减法. 求和:Sn=2+2· 22+3· 23+?+n· 2n. [ 解析] ∵Sn=2+2· 22+3· 23+?+n· 2n +1 ∴2Sn=1· 22+2· 23+?+(n-1)· 2n+n· 2n 2?1-2n? = -n· 2n+1 1-2 =2n+1-2-n· 2n+1 =(1-n)· 2n+1-2, ∴Sn=(n-1)· 2n+1+2. 两式相减,得-Sn=2+22+23+?+2n-n· 2n+1 课堂典例探究 分组转化求和 1 1 1 已知数列 1+1, ?, n-1+3n-2, ? a+4, a2+7, a 求其前 n 项的和. 1 [ 分析] 由题意可知该数列的通项公式为 an= n-1+3n- a 2,而数列{ 1 an -1 }是等比数列,{3n-2}是等差数列,于是可将该 数列的每一项拆开再重新组合,从而转化为等差和等比数列求 和. [ 解析] 2) 1 1 1 设 Sn=(1+1)+(a+4)+(a2+7)+?+( n-1+3n- a 1 1 1 =(1+a+a2+?+ n-1)

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