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2015达州一诊数学(理)


达州市普通高中 2015 届第一次诊断性测试

数学试题(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,全卷共 4 页,第Ⅰ卷(选择题)1 至 2 页,第Ⅱ卷 (非选择题)3 至 4 页,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项:1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔或钢笔 填写在答题卡上,将条形码贴在答题卡规定的位置上. 2. 选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上, 非选择题用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔或钢笔书写在答题卡的对应框内,超 出答题区书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上的答案无效. 3. 考试结束后,将答题卡收回.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)

一.选择题(本大题共 10 个小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的) 1.若 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},N={2,3,6},则?U(M∪N)= A.{1,2,3} 2.已知复数 z ? A.第一象限 3.以下说法错误的是 B.{5} C.{1,3,4}

B

D.{2}

1 ,则 Z 在复平面内对应的点位于 1? i
B.第二象限

D
D.第四象限

C.第三象限

D
2 2

A.“ log 3 a ? log 3 b ”是 “ ( 1 ) a ? ( 1 )b ”充分不必要条件; B. ? ? , ? ? R ,使 sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? ;
m C. ? m ∈R,使 f ( x) ? mx
2

? 2m

是幂函数,且在 (0,??) 上单调递增;

2 2 D.命题“ ? x ? R , x ? 1 ? 3x ”的否定是“ ? x ? R , x ? 1 ? 3x ”.

高三数学(理)试卷第 1 页(共 4 页)

4.阅读右边的程序框图,若输出 S 的值为-2,则判断框内可填写 A A.i<5? B.i<6? C.i<7? D.i<8?

5.若 f ( x ) 是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f (1) ? 1 , f (2) ? 3 , 则 f (8) ? f (4) 的值为 C A.-1 B.1 C.-2 D.2

x2 6.函数 y ? 的大致图象为 A ln | x |

7.函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) = D A. 1 2 B. 2 2

?
2

)的部分图象如图所示,如果 x1 , x2 ? ( ?

? ?

, ), 6 3

C. 1

D.

3 2

8.达州市举行汉字书写决赛,共有来自不同县的 5 位选手参赛,其中 3 位女生,2 位男生, 如果 2 位男生不许连续出场,且女生甲不能第一个出场,则不同的出场顺序有 C A.120 种 B.90 种 C.60 种 D.36 种 9.已知正项等比数列 ?a n ?满足 a5 ? a4 ? 2a3 ,若存在两项 am , an 使得 aman ? 4a1 ,则

1 4 ? 的最小值为 A m n
A.

3 2

B.

11 4

C.

17 6

D.

14 5

10.已知函数 f ( x) ?| e ? 1 | , g ( x) ? ?
x

?2 g ( x ? 2)(x ? 0) ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的 ? 0) ?1? | x ? 1 | ( x ≤
D.5

零点的个数为 B A.2 B.3 C.4

高三数学(理)试卷第 2 页(共 4 页)

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题.每小题 5 分,共 25 分) 11. 一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本.已知 1 乙层中每个个体被抽到的概率都为 ,则总体中的个体数为 . 180 9 12. 二项式 (2 x ?
3

. 14 x ? 1) ?? log2 x(0 ? x ≤ 13. 设函数 f ( x ) ? ? ,若从区间(0,4]内随机选取一个实数 x0 ,则所选 ? x ? 1( x ? 1) 3 ≤ 取的实数 x0 满足 f ( x0 ) ? 1 的概率为 . 8 14.设 ?ABC 重心为 G ,?A, ?B, ?C 的对边分别为 a , b, c ,若 aGA ? 则 ?C ? . 2?

1

) 7 的展开式中常数项为

3 3 bGB ? cGC ? 0 , 5 7

3
15.设[ x ]表示不超过 x 的最大整数,如: [? ] ? 3 , [?3.7] ? ?4 .给出以下命题: ①若 x1 ? x 2 ,则 [ x1 ] ? [ x2 ] ; ② [lg1] ? [lg 2] ? [lg 3] ? L ? [lg 2015] ? 4938 ;

? 0 ,则可由 [ 2 sin x] ? [ ] 解得 x 的范围为 [ ③若 x ≥
④函数 f ( x) ?
x

1 x

?
6

,1) ? (

5? ,? ] ; 6

2 1 ? ,则函数 y ? [ f ( x)] ? [ f (? x)] 的值域为 ?0,?1?; x 1? 2 2 你认为以上正确命题的番号是 .①②④
三、解答题(本大题共 6 小题.满分 75 分,解答应写出必要的文字说明和演算步骤或证明 过程) 16.(本小题满分 12 分)
已 知 a , b, c 分 别 为 △ ABC 的 三 个 内 角 A,B,C 的 对 边 , m ? ? b, c ? ,

u r

r n ? ? cos C , cos B ? , 且

m ? n ? ?2a cos A.
(Ⅰ)求角 A. (Ⅱ)若 a ? 2

3, ?ABC 的面积为 3 求 b, c .

17. (本小题满分 12 分)
高三数学(理)试卷第 3 页(共 4 页)

随着苹果 6 手机的上市,很多消费者觉得价格偏高,尤其是一部分大学生可望而不可及, 因此“国美在线”推出无抵押分期付款购买方式,某专卖店对最近 100 位采用分期付款的 购买者进行统计,统计结果如下表所示: 付款方式 频 数 分1期 35 分2期 25 分3期 分4期 10 分5期

a

b

已知分 3 期付款的频率为 0.15,并且该店销售一部苹果 6,顾客分 1 期付款,其销售利润 为 1 千元;分 2 期或 3 期付款,其销售利润为 1.5 千元;分 4 期或 5 期付款,其销售利润 为 2 千元,以频率作为概率. (I)现有 3 位顾客进店购买该手机,求这三人中至多有 1 位分 4 期付款的概率. (II)用 X 表示销售一部该手机的利润,求 X 的分布列及数学期望 E ? x ? . 18. (本小题满分 12 分) 如图 OPQ 是半径为 2 , 圆心角为

? 的扇形, ABCD是扇形 OPQ 的内接矩形, 点 A, B 在 4 OP 上,点 D 在 OQ 上,点 C 在弧 PQ 上, 记?POC ? ? .

(Ⅰ)用含 ? 的式子表示 AB 的长 . (Ⅱ) 记矩形 ABCD的面积为 f ?? ? , 求 f ?? ? 的单调区间和最大值. 19. (本小题满分 12 分)
* 已知点列 ?an,an?1 ? (n ? N ) 在函数 f ? x ? ? ?

1 的 图象上,且 a1 ? f ?0? . x?2

(Ⅰ) 令bn ?

1 , 求证: ?bn ?为等差数列,并求 ?bn ?的通项公式. an ? 1

(Ⅱ)令 cn ? (bn ?1) ? 2n (n ? N * ) ,求数列 ?cn ?的前 n 项的和 Tn .

20. (本小题满分 13 分)
高三数学(理)试卷第 4 页(共 4 页)

已知函数 f ( x) ? (2 ? a ) ln x ?

1 ? 2ax x

(a ? R)

(Ⅰ) 当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间. (Ⅱ) 当 a ? ?1 时, 若 ? ?1,?2 ? ?1,3? , 使得 | f (?1 ) ? f (?2 ) |? m 2 ? 的取值范围. 21、 (本小题满分 14 分) 已 知 函 数 f ? x? ?

m 求m ? 3ln 3 成立, 3

m ? n ln x(m, n 为 常 数 ) , 其 图 象 在 x ? 1 处 的 切 线 方 程 为 x ?1

x? y?2 ? 0.
(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式.

? t ? t ? 2at ? 2 成立,求实数 a 的 (Ⅱ)若 ? x ? [ ,1] ,使得对 ? t ? [ , 2] 上恒有 f ? x ? ≥
3 2

1 e

1 2

取值范围. (Ⅲ) 若函数 g ( x) ? f ( x) ? bx ?

2 2 (b ? R ) 有两个不同的零点 x1 , x2 , 求证:x1 x2 ? e . x ?1

高三数学(理)试卷第 5 页(共 4 页)


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