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2.2.2事件的相互独立性(二)


高二数学 选修2-3

2.2.2事件的相互独 立性(二)

复习回顾
1、事件的相互独立性 设A,B为两个事件,如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。

2、相互独立事件同时发生的概率公式:
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A?B发生的概 率为: P(AB)= P(A)P(B) .

一般地,如果事件A1,A2……,An相互独立,那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即

P(A1· 2……An)=P(A1)· A P(A2)……P(An)

3、如果事件A、B互斥,那么事件A+B发生(即A, B中有一个发生)的概率:P(A+B)= P(A)+P(B) .

一般地,如果事件 A1、 A2、 ... An ,彼此互斥,那 么事件 A1 ? A2 +...+ An 发生(即 A1、 A2、 ... An 中 恰有一个发生)的概率:

P( A1 ? A2 +...+An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ... ? P( An )
注:1)求积事件的概率必须注意事件的独立性,事件 和的概率必须注意事件是否互斥。 2)明确事件中的关键词,如,“至少有一个发 生”“至多有一个发生”,“恰有一个发生”,“都 发生”“都不发生”,“不都发生”。

常见类型如下:

A、B互斥
P( A ? B)
P( A ? B)

A、B独立

P ( A) ? P ( B ) 1 ? P ( A) P ( B )

0
1 ? [ P ( A ) ? P ( B )]

P ( A) ? P ( B )
P ( A) P ( B )
P ( A) P ( B ) ? P ( A) P ( B )

P( A ? B)
P( A ? B ? A ? B)

P ( A) ? P ( B )

P( A ? B ? A ? B ? A ? B)

1

1 ? P ( A) P ( B )

1 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为
乙当选的概率为
3 5

4 5



,丙当选的概率为

7 10



(1)求恰有一名同学当选的概率;

(2)求至多有一名同学当选的概率。

引申:
甲、乙、丙三人向同一飞机射击,设击中的概率分别为0.4、 0.5、0.8。如果只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;如 果有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;如果三人都击中, 则飞机一定被被击落。求飞机被击落的概率。

2 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要
其中有1个开关能够闭合,线路就能正常工作.假定在某 段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时间 内线路正常工作的概率.

解:分别记这段时间内开关 J A、 J B 、 J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意,这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这 段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P ( A ? B ? C ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P (C ) ? [1 ? P ( A )][ 1 ? P ( B )][ 1 ? P ( C )] ? (1 ? 0 . 7 )(1 ? 0 . 7 )(1 ? 0 . 7 ) ? 0 . 027

所以这段事件内线路正常工作的概率是

1 ? P ( A ? B ? C ) ? 1 ? 0 .027 ? 0 .973 答:在这段时间内线路正常工作的概率是0.973

3 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知
甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的 1 概率为 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件 4 1 不是一等品的概率为 12 ,甲丙两台机床加工的零件都是一等 2 品的概率为 。 9 (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的 概率; (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一 个一等品的概率。

练习:
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间 没有影响。已知在某一小时内,甲、乙都需要照顾 的概率为 0.05,甲、丙都需要照顾的概率为0.1, 乙、丙都需要照顾的概率为0.125. (1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照 顾的概率分别为多少? (2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的 概率。

4 盒中有大小相同的球10个,其中标号为1的球有3
个,标号为2的球有4个,标号为5的球有3个,第一 次从盒中取1个球,放回后第二次再取1个球,(假 设取到每个球的可能性都相同),记第一次与第二 ? ? 次取到球的标号之和为 ,求 的分布列。

5 某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考
核成绩只记“合格”与“不合格”,两部分都合格则 该课程考核合格。甲、乙、丙三人在理论考核中合格 的概率分别为0.9、0.8、0.7;在实验考核中合格的概 率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否合格相互之间 没有影响。

(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合 格的概率;
(2)求这三人该课程考核都合格的概率。(结果保 留三位小数)

1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 14 则甲,乙同时射中同一目标的概率为_______ 15

2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 3 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是___ 5
3.甲,乙二人单独解一道题, 若甲,乙能解对该题的概率 m+n- mn 分别是m, n . 则此题被解对的概率是_______
P(A+B)=P(A· B)+P(A· +P(A· B) B)=1- P(A· B)

4.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 . 13 则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是_____
30

(1-a)(1-b)

5.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别 为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__. 6.某系统由A,B,C三个元件组成, 每个元件正常工作概率为P. P+P2则系统正常工作的概率为____P3
A B

C

C 42 7.在100件产品中有4件次品. C 41· 31 C 2 C100 ①从中抽2件, 则2件都是次品概率为___ C1001· 991 C ②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___ (不放回抽取)

③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取) C 4 1· 41 C C1001· 1001 C

( 互斥事件)

求 较 复 杂 事 件 概 率

分类
正向 分步

P(A+B)= P(A) + P (B) P(A· P(A) ·P (B) B)=
( 互独事件)

反向

对立事件的概率

独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.


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