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8.5直线、平面垂直的判定及其性质


滨城区第一中学

高三数学

人教 A 版

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编写人:张友贺

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课题:8.5 直线、平面垂直的判定及其性质
【学习目标】 1.掌握直线与平面垂直的判定定理及性质定理并能灵活应用; 2.掌握平面与平面垂直的判定定理及性质定理并能灵活应用。 【使用说明及学法指导】 1、 先复习必修二的有关内容,再认真填写预习案中知识梳理,然后完成预习自测; 2、 课前尽最大可能完成探究案,提高课堂效率; 3、 找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论; 4、 必须记住的内容:直线与平面垂直的判定定理及性质定理,平面与平面垂直的判定定理及性 质定理。

如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.用 α ⊥β 符号可表示为: α ∩β =l

m? α m⊥l

? ? ? ?__________. ? ?

【预习自测】 1.“直线 l 垂直于平面 α 内的无数条直线”是“l⊥α ”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,则 AC 的长为( ). 2 3 A. 2a B. a C. a D.a 2 2 3.(2012 北京模拟)已知如图,六棱锥 P?ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC.则下列结论 不正确的是( ).


【知识梳理】





1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义: 如果直线 l 和平面 α 内的__________一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 α 垂直,记 作__________. (2)直线与平面垂直的判定方法: ①判定定理:一条直线与一个平面内的两条__________都垂直,那么这条直线就垂直于这个 平面. ②结论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.用符 ? a∥b ? ? ? __________. 号可表示为: ? a⊥α ? (3)直线与平面垂直的性质: ①由直线和平面垂直的定义知:直线垂直于平面内的__________直线. a⊥α ? ? ? ? _______. ②性质定理:垂直于同一平面的两条直线平行.用符号可表示为: ? b⊥α ? ③垂直于同一直线的两平面平行,即 a⊥α ,a⊥β ? α ∥β . (4)斜线与平面所成的角. 斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做斜线和平面所成的角. 2.二面角的平面角 以二面角棱上的任一点为端点,在两个半平面内分别作与棱________的射线,则两射线所成 的角叫做二面角的平面角. 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义: 两平面相交,如果它们所成的二面角是__________,就说这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条__________,那么这两个平面互相垂直.简述为“线 ? l⊥β ? ? ? __________. 面垂直,则面面垂直”,记为: ? l? α ? (3)平面与平面垂直的性质:

A.CD∥平面 PAF B.DF⊥平面 PA F C.CF∥平面 PAB D.CF⊥平面 PAD 4.设 α ,β ,γ 为彼此不重合的三个平面,l 为直线,给出下列命题: ①若 α ∥β ,α ⊥γ ,则 β ⊥γ ; ②若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,且 α ∩β =l,则 l⊥γ ; ③若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则直线 l 与平面 α 垂直; ④若 α 内存在不共线的三点到 β 的距离相等,则平面 α 平行于平面 β . 上面命题中,真命题的序号为__________(写出所有真命题的序号). 5.(2011·大纲全国)已知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1、CC1 上,且 B1E=2EB,CF =2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值为________.

【我的疑惑】 ___________________________________________________________________________________

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【质疑探究一】直线与平面垂直的判定与性质





【质疑探究二】平面与平面垂直的判定与性质 【例 2】 (2012 课标全国高考)如图,三棱柱 ABC?A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC 1 = AA1,D 是棱 AA1 的中点. 2 (1)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

【例 1】在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°,E 为 BB1 的中 点,∠A1DE=90°,求证:CD⊥平面 A1ABB1.

【拓展提升 1】 如图所示,在四棱锥 P?ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB= BC,E 是 PC 的中点.求证: (1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE.

【拓展提升 2】 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形,MA⊥平面 ABCD,PD∥MA,E,G,F 分别为 MB,PB,PC 的中点,且 AD=PD=2MA. (1)求证:平面 EFG⊥平面 PDC; (2)求三 棱锥 P? MAB 与四棱锥 P?ABCD 的体积之比.

方法提炼:证明直线和平面垂直的常用方法: (1)利用判定定理; (2)利用面面垂直的性质定理; (3)利用结论:a∥b,a⊥α ? b⊥α ; (4)利用结论:a⊥α ,α ∥β ? a⊥β .

方法提炼 1.证明平面与平面垂直,主要方法是判定定理,通过证明线面垂直来实现,从而把问题再转化 成证明线线垂直加以解决. 2.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是解决有关垂直证明题的指导思想,其中线线垂 直是最基本的,在 转化过程中起穿针引线的作用,线面垂直是纽带,可以把线线垂直与面面垂 直联系起来.
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1.已知 α ,β 为不重合的两个平面,直线 m ? α ,那么“m⊥β ”是“α ⊥β ”的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.下列命题中错误的是( ). A.如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β ,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α ⊥平面 γ ,平面 β ⊥平面 γ ,α ∩β =l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β

4.(2012 北京高考)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线 段 CD 上的一点.将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图 2. (1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由.

3.如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB= 2,CE=EF=1. (1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:CF⊥平面 BDE.

图1

图2

【我的收获】_____________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

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