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高中数学2.2直线、平面平行的判定及其性质课件新人教A版必修2


2.2.1 直线与平面平行的判定 观察长方体,你能发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中,线段 A′B 所在的直线与长方体 ABCD—A′B′C′D′的侧面 C′D′DC 所在平面的位置关系吗? 问题1:空间直线和平面有哪些位置关系? 直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行. 问题2:直线a在平面α外,是不是能够断定a∥α呢? 不能!直线a在平面α外包含两种情形:一是a与α相交,二是a与α平行 , 因此,由直线a在平面α外,不能断定a∥α. 问题3:若平面外一条直线平行平面内一条直线,那么平面外的直线与平 面的位置关系可能相交吗? 不可能相交,则该直线与平面平行. 问题4:如何判定直线和平面平行? 1、直线与平面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 进一步指出线面平行判定定理的符号语言和图形语言。 符号语言为: . 图形语言为:如图. 问题5:如何证明直线与平面平行的判定定理? 证明:∵a∥b,∴a、b 确定一个平面,设为 β. ∴a ? β,b ? β. ∵a ? α,a ? β,∴α 和 β 是两个不同平面. ∵b ? α 且 b ? β, ∴α∩β=b.假设 a 与 α 有公共点 P, 则 P∈α∩β=b,即点 P 是 a 与 b 的公共点,这与已知 a∥b 矛盾. ∴假设错误.故 a∥α. 例1、求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面. 已知空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点. 求证:EF∥面BCD. 证明:如图,连接 BD, EF∥面 BCD.所以,EF∥面 BCD. 例 2、如图,已知 AB、BC、CD 是不在同一平面内的三条线段,E、F、G 分别为 AB、BC、 CD 的中点. 求证:AC∥平面 EFG,BD∥平面 EFG. 证明:连接 AC、BD、EF、FG、EG. 在△ ABC 中, ∵E、F 分别是 AB、BC 的中点,∴AC∥EF. 又 EF ? 面 EFG,AC ? 面 EFG, ∴AC∥面 EFG. 同理可证 BD∥面 EFG. 例 3、设 P、Q 是边长为 a 的正方体 AC1 的面 AA1D1D、面 A1B1C1D1 的中心,如图, (1)证明 PQ∥平面 AA1B1B; (2)求线段 PQ 的长. (1)证法一:取 AA1,A1B1 的中点 M,N,连接 MN,NQ,MP, ∵MP∥AD,MP= 1 1 AD ,NQ∥A1D1,NQ= A1 D1 , 2 2 ∴MP∥ND 且 MP=ND. ∴四边形 PQNM 为平行四边形. ∴PQ∥MN. ∵MN ? 面 AA1B1B,PQ ? 面 AA1B1B, ∴PQ∥面 AA1B1B. 证法二:连接 AD1,AB1,在△ AB1D1 中,显然 P,Q 分别是 AD1,D1B1 的中点, 1 AB1 . 2 ∵PQ ? 面 AA1B1B,AB1 ? 面 AA1B1B, ∴PQ∥AB1,且 PQ= ∴PQ∥面 AA1B1B. (2)解:方法一:PQ=MN= A1 M 2 ? A1 N 2 ? 2 a. 2 方法二:PQ= 1 2 AB1 ? a. 2 2 [变式演练,深化提高] 1、如图在△ ABC 所在平面外有一点 P,M、N 分别是 PC 和 AC 上的点,过 MN 作平面平 行于 BC,画出这个平面与其他各面的交线,并说明画法. 证明:如图, . 所以,BC∥平面 MNEF. 2、已知M、N分别是△ADB

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