当前位置:首页 >> 数学 >> 高三数学一轮总复习第四章三角函数解三角形第五节两角和与差的正弦余弦和正切公式课件理_图文

高三数学一轮总复习第四章三角函数解三角形第五节两角和与差的正弦余弦和正切公式课件理_图文

第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)= sin αcos β±cos αsin β ; cos(α?β)= cos αcos β±sin αsin β ; tan α±tan β tan(α±β)=_1_?_t_a_n__α_ta_n__β_.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α= 2sin αcos α ; cos 2α= cos2α-sin2α = 2cos2α-1 = 1-2sin2α ;
2tan α tan 2α=_1_-__ta_n_2_α_.

3.公式的常用变形

(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β);

(2)cos2α=1+c2os 2α,sin2α=1-c2os 2α; (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,

1-sin 2α=(sin α-cos α)2,

sin α±cos α=

? π? 2sin??α±4??.

4.角的变换技巧 2α=(α+β)+(α-β); α=(α+β)-β;β=α+2 β-α-2 β; α-2 β=???α+β2???-???α2+β???.

[小题体验]

1.(教材习题改编)sin 75°的值为________.

解析:sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+

cos 45°·sin 30°= 22× 23+ 22×12=

6+ 4

2 .

答案:

6+ 4

2

2.(教材习题改编)sin 75°cos 30°-sin 15°sin 150°=________.
解析:sin 75°cos 30°-sin 15°sin 150°=sin 75°cos

30°-cos

75°sin

30°=sin(75°-30°)=sin

45°=

2 2.

答案:

2 2

3.若 sin α=35,α∈???-π2,π2???,则 cos???α+54π???=________.

解析:由 α∈???-π2,π2???,sin α=35,得 cos α=45, 由两角和与差的余弦公式得

cos???α+54π???=cos

α

cos54π-sin

5π αsin 4

=-

2 2 (cos

α-sin

α)

=- 102.

答案:-

2 10

4.已知 tan???α-π6???=37,tan???π6+β???=25,则 tan(α+β)=________. 解析: tan(α+ β)=tan??????α-π6 ???+???π6 + β?????? =1t-ant???aαn-???απ6-???+π6???t·atann???π6???π6++ββ??????=1-37+37×25 25=1. 答案:1

1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍 角的相对性,要注意升次、降次的灵活运用,要注意“1”的各 种变通.
2.在(0,π)范围内,sin(α+β)= 22所对应的角 α+β 不是唯一的. 3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.

[小题纠偏] 1.已知 cos α=-35,α∈???π2,π???,则 sin???α+π3???的值是
________.
答案:4-130 3

2.若锐角α,β满足tan α+tan β= 3- 3tan αtan β, 则α+β=________. 解析:由已知可得1t-antaαn+αttaannββ= 3,即 tan(α+β)= 3. 又 α+β∈(0,π),所以 α+β=π3. 答案:π3

3.已知 cos(2α-β)=-1114,sin(α-2β)=473, 0<β<π4<α<π2.则 cos(α+β)的值为________.

解析:∵cos(2α-β)=-1114且π4<2α-β<π, ∴sin(2α-β)=5143. ∵sin(α-2β)=4 7 3且-π4<α-2β<π2, ∴cos(α-2β)=17, ∴cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)] =cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β) =-1114×17+5143×4 7 3=12. 答案:12

考点一 三角函数公式的基本应用 ?基础送分型考点——自主练透? [题组练透]
1.已知 cos θ=-153,θ∈???π,32π???,则 sin???θ-π6???的值为 ________.

解析:由cos θ=-153,θ∈???π,32π???,

得sin θ=- 1-cos2θ=-1123,

故sin???θ-π6???=sin

θcosπ6-cos

π θsin6

=-1123× 23-???-153???×12=5-2162

3 .

答案:5-2162 3

2.已知 cos???π3-2x???=-78,则 sin???x+π3???的值为 ______. 解析:因为 cos???π-???π3-2x??????=cos???2x+23π???=78,所以有 sin2???x+π3???=12???1-78???=116,从而求得 sin???x+π3???的值为±14. 答案:±14

3.(易错题)设 sin 2α=-sin α,α∈???π2,π???,则 tan 2α 的 值是________. 解析:∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α, ∴cos α=-12, 又 α∈???π2,π???,∴sin α= 23,tan α=- 3, ∴tan 2α=1-2tatannα2α=1--?-2 33?2= 3. 答案: 3

4.(2014·江苏高考)已知α∈???π2,π???,sin α= 55. (1)求sin???π4+α???的值; (2)求cos???56π-2α???的值.

解:(1)因为α∈???π2,π???,sin α= 55,

所以cos α=-

1-sin2α=-2

5

5 .

故sin???π4+α???=sin

π 4cos

α+cos

π 4sin α



22×???-2

5

5??+
?

22×

55=-

10 10 .

(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2× 55×???-2 55???=-45,cos 2α=1-

2sin2α=1-2×??
?

55???2=35,所以cos???56π-2α???=cos56πcos

2α+sin56πsin



=??-
?

23???×35+12×???-45???=-4+130

3 .

[谨记通法] 三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的 结构特征. (2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公 式求值.如“题组练透”第3题易忽视α范围.

考点二 三角函数公式的逆用与变形应用 ?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领] 1 . (2016·苏 州 测 试 ) 已 知 sin ???π3+α??? + sin α = 45 3 , 则
sin???α+76π???的值是________

解析:∵sin???π3+α???+sin α=4 53,

∴sinπ3cos α+cos

π 3sin

α+sin

α=4

5

3,

∴32sin

α+

3 2 cos

α=4 5 3,



3 2 sin

α+12cos

α=45,

故sin???α+76π???=sin

αcos76π+cos

7π αsin 6

?
=-?
?

3 2 sin

α+12cos

α???=-45.

答案:-45

2.计算cossi2n15151°0°-ssinin22105°5°的值为________.

解析:cossi2n15151°0°-sisnin22105°5°

=sin

70°sin 20° cos 310°

=cos

20°sin 20° cos 50°

=12ssinin4400°°=12.

答案:12

[由题悟法] 三角函数公式活用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创 造条件逆用公式. (2)tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α +β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,注意公式的正 用、逆用和变形使用.

[即时应用]

1.(2015·贵阳监测)已知sin

π 6

-α=

1 3

,则cos2

???π3+α???



值是________.

解析:∵sin???π6-α???=13,

∴cos???π3-2α???=cos???2???π6-α???

?
? ?

=1-2sin2???π6-α???=79,

∴cos???2???π3+α??????=cos???23π+2α???

=cosπ-???π3-2α???

=-cos???π3-2α???=-79.

答案:-7 9

2.在△ABC 中,若 tan Atan B= tan A+tan B+1, 则 cos

C 的值为________. 解析:由 tan Atan B=tan A+tan B+1,

可得1t-antaAn+AttaannBB=-1,

即 tan(A+B)=-1,又 A+B∈(0,π),

所以 A+B=34π,

则 C=π4,cos C= 22.

答案:

2 2

考点三 角的变换?题点多变型考点——纵引横联?

已知α,β均为锐角,且sin α=35,tan(α-β)=-13.

(1)求sin(α-β)的值;

(2)求cos β的值. [解] (1)∵α,β∈???0,π2???,从而-π2<α-β<π2.
又∵tan(α-β)=-13<0,∴-π2<α-β<0.

∴sin(α-β)=-

10 10 .

(2)由(1)可得,cos(α-β)=3

10 10 .

∵α为锐角,且sin α=35,∴cos α=45.

∴cos β=cos[α-(α-β)]

=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)

=45×3 1010+35×????-

10?? 10 ??

=9

10 50 .

[类题通法] 利用角的变换求三角函数值的策略 (1)当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两 个“已知角”的和或差的形式; (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与 “已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求 角”变成“已知角”.

[越变越明] [变式 1] 在母题条件下,求 sin(α-2β)的值.
解:∵sin(α-β)=- 1100,cos(α-β)=31010, cos β=95010,sin β=135010. ∴sin(α-2β)=sin[(α-β)-β]=sin(α-β)cos β- cos(α-β)sin β=-2245.

[变式2] 若母题中“sin α=35”变为“tan α=35,”其他 条件不变,求tan(2α-β)的值. 解:∵tan α=35,tan(α-β)=-13, ∴tan(2α-β)=tan???α+?α-β? ??? = 1t-antaαn+αtatann?α?α--ββ??=1+35-35×13 13=29.

[变式3]

将母题变为:已知0<β<

π 2

<α<π,且cos

???α-β2???

=-

1 9



sin???α2-β???=23,求cos α+2 β的值.

解:∵0<β<π2<α<π,

∴π4<α-β2<π,-π4<α2-β<π2,

∴sin???α-β2???=

1-cos2???α-β2???=4 95,

cos???α2-β???=

1-sin2???α2-β???= 35,

∴cosα+2 β=cos??????α-β2???-???α2-β??????

=cos???α-β2???cos???α2-β???+sin???α-β2???sin???α2-β???

=???-91???× 35+49 5×23=7275.

[破译玄机] 解答本题利用了α+2 β=???α-β2???-???α2-β???,其关键是
把“所求角”变成“已知角”.

编后语
? 老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
? ① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。
? ② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。
? ③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等,这些 用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
? ④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
? ⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面的 内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网
? ⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆,而且有利于抓住老师的思路。

2019/8/28

最新中小学教学课件

36

谢谢欣赏!

2019/8/28

最新中小学教学课件

37


友情链接:学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 酷我资料网 | 省心范文网 | 海文库 | 学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 酷我资料网 | 省心范文网 | 海文库 | 学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 酷我资料网 | 省心范文网 | 海文库 | 学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 酷我资料网 | 省心范文网 | 海文库 | 学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 酷我资料网 | 省心范文网 | 海文库 | 学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 酷我资料网 | 省心范文网 | 海文库 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:3088529994@qq.com