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离散型随机变量的均值公开课课件


A赌徒

实力相当

B赌徒

同时分别掷骰子,各押赌注32个金币 规定谁先掷出3次“6点”就算赢对方, 赌博进行了一段时间,A赌徒已掷出了2次“6点”, B赌徒也掷出了1次“6点”, 发生意外,赌博中断。

高二(1)班有45人,本学期期中考试数学平均 分为80分,高二(2)班有55人,平均分为90分,求 两班的数学平均分。 提问1:能否利用两个平均数相加除以二求平均数? 如果不能,应该怎么做?
45 ? 80 ? 55 ? 90 8550 ? ? 85.5 100 100

提问2:能否用各班的分数乘以人数所占的比例求均 值?
45 55 8550 80 ? ? 90 ? ? ? 85.5 100 100 100

18



kg

24



kg

36



kg

36 3 2 1 P 6 6 3 2 6 1 平均价格为 18 ? m ? 24 ? m ? 36 ? m 问题 2 :若在混合糖果中任取一粒糖果,用随机变量 m 千克混合糖果的总价格为 6 6 6    X表示这颗糖果的单价(元/kg),写出X的 m 3 2 1 分布列。 18× m + 24× m + 36× m 3 26 1 6 6( E? =18×P(? =18 ? =36) +24 ( ) +36×P ?) 18 ? × ?P 24 ?? =24 ? 36 ? 6 6 6 问题3: 作为顾客,买了1kg糖果要付23元,而顾客 元 =2 3 买的这1kg糖果的真实价格一定是 23元吗? kg

18 24 ? 问题1:混合后,每1kg糖的平均价格为多少?

按3:2:1的比例混合,混合糖果中每一粒糖果的质量都相等

一般地,若离散型随机变量的概率分布为

?
P

x1 p1

x2 p2

x3 ? ? ? xn ? ? ? p3 ? ? ? pn ? ? ?
???

则称 E? ? x1? p1 ? x2 ? p2? 平均水平.

为 ? 的数学期望或均值,它反映了随机变量取值的

? xn ? pn? ? ? ?

问题4:离散型随机变量? 的期望与? 可能取值 的算术平均数相同吗?
期望的计算是从概率分布出发,因而它是概率 意义下的平均值。随机变量 ξ 取每个值时概率不 同导致了期望不同于初中所学的算术平均数。

问题5:随机变量 ? 的期望 ? 与 可能取值的算术平均 数何时相等? 例1:随机抛掷一个骰子,求所得骰子的点数 ? 的期望。

?
p
?

1
1 6

2
1 6

3
1 6

4
1 6

5
1 6

6
1 6

1 1 1 7  E? = 1× + 2 × + ... + 6 × = 6 6 6 2 1 + 2 + ...+ 6 7 ξ可能取值的算术平均数 为 = 6 2

变式:将所得点数的2倍加1作为得分数,即Y=2X+1, 试求Y的期望?
Y 3 1 6 5 1 6 7 1 6 9 1 6 11 1 6 13 1 6

P

所以随机变量Y的均值为 E(Y) =3× 1/6+5× 1/6 +7×1/6+9× 1/6+11× 1/6+13× 1/6=8 =2E(X)+1 合情猜想:如果ξ是随机变量,a,b是常数, 随机变量η=aξ+b,则 .

aEξ+b E(aξ+b) = _ _______.

A赌徒赢的概率
32个金币 A已掷出了2次“6点”
?64 赢 ξ 1 ? ?1 ?0  输

32个金币 B也掷出了1次“6点” ?64 赢 1 ξ 2 ? ? P ?0  输 1 ?

2



2

1 败 2 1 1 3 P (A ) ?P ? ? 1 ? P 2 ? 2 4 4

A的胜败


1 2

1 1 1 P2 ? ? ? 2 2 4

1 P (B )= 1- P (A )= 4

例3:(2012高考湖北理)根据以往的经验,某工程 施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如 下表:
降水量X
工期延误天数Y X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900

0

2

6

10

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于 300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:工期延误天数 Y 的均值。

解:由已知条件和概率的加法公式有:
P( X ? 300) ? 0.3,

P(300 ? X ? 700) ? P( X ? 700) ? P( X ? 300) ? 0.7 ? 0.3 ? 0.4 . P(700 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 700) ? 0.9 ? 0.7 ? 0.2
P( X ? 900) ? 1 ? P( X ? 900) ? 1 ? 0.9 ? 0.1

所以Y 的分布列为:

Y
P

0 0.3

2 0.4

6 0.2

10 0.1

于是 E (Y ) ? 0 ? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 6 ? 0.2 ? 10 ? 0.1 ? 3

故工期延误天数Y的值为3

.

归纳求离散型随机变量期望的步骤: ①确定离散型随机变量可能的取值。 ②写出分布列,并检查分布列的正确与否。

③求出期望。

1.甲、乙两名射手一次射击中的得分为两个相互独立的 ? 的分布列为 随机变量 ? 与 ? ,且 ?,

?
P

1

2

3

?
P

1

2

3

0.3 0.1 0.6

0.3 0.4 0.3

甲、乙两人谁的射击水平高?

2.一次小测验由3道题目构成,每道题10分,学生甲做 对题目个数的分布列为
ξ
P

0
0.1

1
0.5

2
0.3

3
0.1

(1) (2) (3)

甲做对题目个数的期望 E (?)=0 ? 0.1+1? 0.5+2 ? 0.3+3 ? 0.1=1.4 写出学生甲得分η的分布列 甲得分的期望

E (?)=0 ? 0.1+10 ? 0.5+20 ? 0.3+30 ? 0.1=14

概念

期望的概念

注意

区别期望与相应数值的 算术平均数。 求期望的三个步骤

步骤

思考探究

姚明的投篮命中率为0.8,假设他每次命中 率相同,他在某次训练中连续投篮,求他投20次 平均投中次数是多少?


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