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第八章 第九节 圆锥曲线的综合问题(理)_图文

圆锥曲线的综合问题[理]

掌握与圆锥曲线有关的最值、定值、参数范围 等问题.

[理 要 点]

一、直线与圆锥曲线的位置关系
判定直线与圆锥曲线的位置关系时,通常是将直线方程 与曲线方程联立,消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程: ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). 若a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有:

Δ>0?直线与圆锥曲线 相交;
Δ=0?直线与圆锥曲线 相切; Δ<0?直线与圆锥曲线 相离 . 若a=0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点.

二、圆锥曲线的弦长问题 设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点,A(x1,y1), B(x2,y2),则弦长|AB|=

1+k2|x1-x2| 或

1 1+ 2|y1-y2| . k

[究 疑 点] 1.由直线与圆锥曲线的位置关系知,直线与双曲线有

且只有一个交点的充要条件是什么?抛物线呢?
?Δ=0 ? 提示:与双曲线有且只有一个公共点?? ?a≠0 ?

或l与渐

近线平行;与抛物线有且只有一个公共点?Δ=0或l平行 于对称轴.

2.过抛物线外一点有多少条直线与抛物线有一个公共点? 若点在抛物线内呢? 提示:若点在外有三条(两条切线一条平行于对称轴),

若点在内有一条(平行于对称轴).

[题组自测] x2 y2 1.直线y=kx-k+1与椭圆 + =1的位置关系为( 9 4 A.相交 C.相离 B.相切 D.不确定

)

解析:由于直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1), (1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交. 答案: A

2.过点(-2,0)的直线l和抛物线C:y2=8x有且只有一个

公共点,则直线l的斜率取值集合是
A.{-1,0,1} C.{0,1} B.{-1,0} D.{-1,1}

(

)

解析:设直线 l 的方程为 y=k(x+2),
?y2=8x ? 联立? ?y=k?x+2? ?

①,k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,②

(1)当 k=0 时,x=0,从而 y=0,方程组①有一组实数解, 从而直线 l 与抛物线 C 有一个公共点; (2)当 k≠0 时,令判别式 Δ=(4k2-8)2-16k4=-64k2+64= 0,可解得 k=± 1,此时方程②有两个相等的实数解,代入方 程组①中的第二个方程知,相应的方程组①仅有一组实数 解,从而直线 l 与抛物线 C 有一个公共点.综上知直线 l 的

答案:A 斜率取值集合是{-1,0,1}.

1 3.已知抛物线 C 的方程为 x = y,过 A(0,-1),B(t,3) 2
2

两点的直线与抛物线 C 没有公共点, 则实数 t 的取值 范围是 A.(-∞,-1)∪(1,+∞) 2 2 B.(-∞,- )∪( ,+∞) 2 2 C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) ( )

4 解析:直线AB的方程为y= t x-1,与抛物线方程x2= 1 2 1 2 y联立得x - t x+ =0,由于直线AB与抛物线C没有 2 2 公共点, 4 所以Δ= 2-2<0,解得t> 2或t<- 2. t

答案: D

4.(2011· 宝鸡质检)已知平面上的动点 P(x,y)及两定点 A(-2,0), 1 B(2,0),直线 PA,PB 的斜率分别是 k1,k2,且 k1·2=- . k 4 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知直线 l:y=kx+m 与曲线 C 交于 M,N 两点,且直线 1 BM、BN 的斜率都存在,并满足 kBM·BN=- ,求证:直线 l k 4 过原点.

y y 1 解:(1)由题意得 · =- (x≠± 2), 4 x+2 x-2 即x2+4y2-4=0. 所以点P的轨迹C的方程为 x2 2 +y =1(x≠± 2). 4 (2)设M(x1,y1),N(x2,y2), ?y=kx+m ? 2 联立方程?x , 2 ? 4 +y =1 ? 得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.

-8km 4m2-4 所以x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 4k +1 4k +1 所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= m2-4k2 . 4k2+1 1 y1 y2 1 又kBM·BN=- ,即 k · =- , 4 4 x1-2 x2-2 即x1x2-2(x1+x2)+4+4y1y2=0. 代入并整理得m(m+2k)=0,即m=0或m=-2k, 当m=0时,直线l恒过原点; 当m=-2k时,直线l恒过点(2,0),但不符合题意. 所以直线l恒过原点.

[归纳领悟] 判断直线与圆锥曲线的位置关系时只需联立消元, 消元后要注意方程的二次项系数是否含参数,若含参数 需讨论,同时充分利用根与系数的关系求出x1+x2,x1x2 后进行整体运算变形.

[题组自测] 1.已知直线l与抛物线y2=8x交于A、B两点,且l经过 抛物线的焦点F,A点的坐标为(8,8),则线段AB的 中点到准线的距离是 ________.

解析:由 y2=8x 知 2p=8,p=4. 设 B 点坐标为(xB,yB),由 AB 直线过焦点 F, 4 ∴直线 AB 方程为 y= (x-2), 3 把点 B(xB,yB)代入上式得: 4 4 y2 B yB= (xB-2)= ( -2), 3 3 8 1 解得 yB=-2,∴xB= , 2 1 8+ 2 25 ∴线段 AB 中点到准线的距离为 +2= . 2 4

25 答案: 4

x2 y2 2. (2011·重庆八校联考)已知椭圆 2+ 2 =1(a>b>0) b a 2 的离心率为 ,且 a2=2b. 2 (1)求椭圆的方程; (2)若直线 l:x-y+m=0 与椭圆交于 A、B 两点, 且线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上,求 m 的值.

?c ? = 2, ?a 2 解:(1)由题意得?a2=2b, ? ?a2=c2+b2 ? y2 故椭圆的方程为x2+ =1. 2

?a= 2, ? ,解得?b=1, ?c=1, ?

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).联 y2 ? 2 ?x + =1 2 立直线与椭圆的方程得? ,即3x2+ ?x-y+m=0 ?

x1+x2 m 2mx+m -2=0,所以x0= =- ,y0=x0 2 3
2

2m m 2m +m= ,即M(- , ),又因为M点在圆x2+ 3 3 3 m 2 2m 2 y =5上,所以(- ) +( ) =5,解得m=± 3. 3 3
2

x2 y2 3.(2011· 济南诊断)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心 a b 1 率 e= ,且椭圆经过点 N(2,-3). 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求椭圆以 M(-1,2)为中点的弦所在直线的方程.

解:(1)由椭圆经过点N(2,-3), 22 ?-3? 得 2+ 2 =1, a b
2

c 1 又e=a= ,解得:a2=16,b2=12. 2 x2 y2 所以椭圆C的方程为 + =1. 16 12 (2)显然M在椭圆内,设A(x1,y1),B(x2,y2)是以M 为中点的弦的两个端点,
2 2 x1 y2 x2 y2 1 2 则 + =1, + =1. 16 12 16 12

?x2-x1??x2+x1? ?y2-y1??y2+y1? 相减得: + =0. 16 12

12?x1+x2? 3 整理得:kAB=- = , 16?y1+y2? 8 3 则所求直线的方程为:y-2= (x+1), 8 即:3x-8y+19=0.

[归纳领悟] 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点 x2 y2 差法”求解.在椭圆 2 + 2 =1中,以P(x0,y0)为中点的 a b b2x0 x2 y2 弦所在直线的斜率k=- 2 ;在双曲线 2- 2=1中,以 a y0 a b b2x0 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k= 2 ;在抛物线 a y0 y2=2px(p>0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 p k= . y0

[题组自测] y2 1.(2011· 泰安一模)P为双曲线x2- =1右支上一点,M、N 15 分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM| -|PN|的最大值为________.

解析:已知两圆圆心(-4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线 y2 x2- =1的两焦点. 15 当|PM|最大,|PN|最小时,|PM|-|PN|最大,|PM|最大值为 P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之和,同样|PN|最小=|PF2| -1,从而(|PM|-|PN|)max=|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|- |PF2|+3=2a+3=5.

答案:5

x2 y2 2.过原点的直线l与双曲线 - =1有两个交点,则 4 3 直线l 的斜率的取值范围是____________.
x2 y2 解析:设l:y=kx,代入 - =1中, 4 3 1 2 k2 2 得 x - x =1, 4 3 1 k2 2 3 3 即( - )x -1=0,由Δ>0知,- <k< . 4 3 2 2

3 3 答案:(- , ) 2 2

3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的
最小值是__________.
解析: 设直线 4x+3y+m=0 与 y=-x2 相切, 则联立 4 两方程知 3x -4x-m=0.令 Δ=0,有 m=- , 3
2

∴两直线间距离为 4 答案: 3

? ? 4?? ?-8-?- ?? ? ? 3??

42+32

4 = . 3

4.(2010· 温州十校模拟)如图,已知在平面 直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中 心在坐标原点,左焦点为F(- 3, 1 0),且右顶点为D(2,0).设点A的坐标是(1, ). 2 (1)求该椭圆的标准方程; (2)过坐标原点O的直线交椭圆于点B、C,求△ABC面积 的最大值.

解:(1)由题意知a=2,c= 3,故b=1, 又椭圆的焦点在x轴上, x2 2 ∴椭圆的标准方程为 +y =1. 4 (2)当BC垂直于x轴时,|BC|=2,S△ABC=1; 当BC不垂直于x轴时,设直线BC的方程为y=kx, x2 2 4 2 代入 +y =1,得x = , 4 1+4k2

设B(x1,y1),C(x2,y2),|BC|= 4 1+k2 , 1+4k2

?x1-x2?2+?y1-y2?2 =

1 |k- | |2k-1| 2 又点A到直线BC的距离d= 2= 2, 1+k 2 1+k |2k-1| 1 ∴S△ABC= |BC|· d= 2= 2 1+4k 4k 1- 2 , 4k +1

1+4k2 1 ∵当k>0时, = +k≥1, 4k 4k

1+4k2 当k<0时, ≤-1, 4k 4k 故易知-1≤ ≤1,得(S△ABC)max= 2 ,此时k 1+4k2 1 =- . 2

本题中第2问条件若变为“若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭 圆C交于不同的两点B、C且线段BC的垂直平分线恒过点 A(0,-1)”,求m的范围.

?y=kx+m ? 2 解:由 ?x +y2=1 ?4 ? -1)=0

,∴(4k2+1)x2+8kmx+4(m2

∵l与椭圆交于两点,∴Δ>0即m2<4k2+1 设B(x1,y1),C(x2,y2) 8km 2m 则x1+x2=- 2 ,y1+y2= 2 4k +1 4k +1



? 4km m ? ? ? ∴BC的中点Q?-4k2+1,4k2+1? ? ?

又线段BC的垂直平分线恒过点A(0,-1) ∴AQ⊥BC,即3m=4k2+1 ② 由①②知,m2<3m且3m>1, 1 ∴ <m<3. 3

[归纳领悟]
1.求参数范围的方法 据已知条件建立等式或不等式的函数关系,再求参数 范围. 2.求最值问题的方法 (1)几何法 题目中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用图象

来解决.

(2)代数法 题目中给出的条件和结论几何特征不明显则可以建立 目标函数,再求这个函数的最值,求最值的常见方法 是基本不等式法,单调性法等.

[题组自测] 1.(2010· 金华十校)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为 60° 的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点, |AF| 则 的值等于 |BF| A.5 C.3 B.4 D.2 ( )

解析:记抛物线y2=2px的准线为l,作AA1⊥l,BB1⊥ l,BC⊥AA1,垂足分别是A1、B1、C,则有cos60° = |AC| |AA1|-|BB1| |AF|-|BF| 1 |AF| = = = ,由此得 =3. |AB| |AF|+|BF| |AF|+|BF| 2 |BF|
答案:C

2.在抛物线y2=4x上有两点A,B,点F是抛物线的焦点,
??? ? ? ?? ? ??? ? O为坐标原点,若 F O +2 F A +3 F B =0.

试证明直线AB与x轴的交点为定点.
y2 y2 1 2 证明:依题意,设点A( ,y1)、B( ,y2),则点F(1,0), 4 4 y1-y2 y2 4 1 直线AB的方程是y-y1= 2 2 (x- ),即y-y1= 4 y1-y2 y1+y2 4 y2 1 (x- ), 4

??? ? ? ?? ? ??? ? 由 F O +2 F A +3 F B =0,

y1y2 y1y2 令y=0得x=- ,即直线AB与x轴的交点的横坐标是- . 4 4

y2 y2 1 2 得(-1,0)+2( -1,y1)+3( -1,y2)=(0,0), 4 4

?-1+2?y1-1?+3?y2-1?=0 ?2y2+3y2=24 ? ? 1 2 4 4 ? 得? ,即 , ?2y1+3y2=0 ? ?2y1+3y2=0 ?
2 2

y1y2 6 16 2 y2= ,- = , 5 4 5 6 即直线AB与x轴的交点的横坐标是 . 5 6 即与x轴交于定点( ,0) 5

x2 y2 3.(2010· 福州质检)已知椭圆C: 2 + 2 =1(a>b>0)经过点 a b 3 (0,1),离心率e= . 2 (1)求椭圆C的方程; (2)设直线x=my+1与椭圆C交于A,B两点,点A关于x轴 的对称点为A′.试问:当m变化时,直线A′B与x轴是否 交于一个定点?若是,请写出定点的坐标,并证明你的 结论;若不是,请说明理由.

?b=1, ? ?c 3 ? = , 解:(1)依题意可得 ?a 2 ?a2=b2+c2, ? 解得a=2,b=1. x2 2 所以椭圆C的方程是 +y =1. 4 x2 2 ? ? +y =1, (2)由? 4 ?x=my+1, ? 得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0.

记A(x1,y1),B(x2,y2), 2m 3 则A′(x1,-y1),且y1+y2=- 2 ,y1y2=- 2 . m +4 m +4 3 特别地,令y1=-1,则x1=0,m=1,y2= . 5 8 3 此时A′(0,1),B( , ),直线A′B:x+4y-4=0与x 5 5 轴的交点为S(4,0). 若直线A′B与x轴交于一个定点,则定点只能为 S(4,0).

以下证明对于任意的m,直线A′B与x轴交于定点 S(4,0). 事实上,经过点A′(x1,-y1),B(x2,y2)的直线方程为 y+y1 x-x1 = . y2+y1 x2-x1 x2-x1 x2-x1 令y=0,得x= y +x1.只需证明 y +x1=4, y2+y1 1 y2+y1 1 m?y2-y1?y1 即证 +my1-3=0, y2+y1 即证2my1y2-3(y1+y2)=0.

-6m -6m 因为2my1y2-3(y1+y2)= 2 - 2 =0, m +4 m +4 所以2my1y2-3(y1+y2)=0成立. 这说明,当m变化时,直线A′B与x轴交于定点S(4,0).

[归纳领悟] 1.求定值问题常见的方法有两种: (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从

而得到定值.
2.定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后 利用条件建立b、k等量关系进行消元,借助于直线系的 思想找出定点.

(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.

一、把脉考情 从近两年的高考试题来看,直线与圆锥曲线的位置关

系,弦长、中点弦、最值范围、定点定值的探索与证明,
是高考的热点问题,难度较大. 考查形式以解答题为主,注重考查函数与方程转化与 化归,分类讨论等思想方法,预测2012年仍为命题的重点, 要加强训练.

二、考题诊断 1.(2010· 安徽高考)已知椭圆E经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1, 1 F2在x轴上,离心率e= . 2 (1)求椭圆E的方程; (2)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程.

x2 y2 解:(1)设椭圆E的方程为 2+ 2=1. a b 1 c 1 由e= ,即a= ,得a=2c,得b2=a2-c2=3c2. 2 2 x2 y2 ∴椭圆方程可化为 2+ 2=1. 4c 3c 1 3 将A(2,3)代入上式,得 2+ 2=1,解得c=2, c c x2 y2 ∴椭圆E的方程为 + =1. 16 12

(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),所以直线AF1的方程为:y= 3 (x+2),即3x-4y+6=0, 4 直线AF2的方程为:x=2. 由点A在椭圆E上的位置知,直线l的斜率为正数. |3x-4y+6| 设P(x,y)为l上任一点,则 =|x-2|. 5 若3x-4y+6=5x-10,则x+2y-8=0(因其斜率为负,舍去). 于是,由3x-4y+6=-5x+10,得2x-y-1=0, 所以直线l的方程为:2x-y-1=0.

2.(2010· 福建高考)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点

A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程; (2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公 共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.

x2 y2 解:(1)依题意,可设椭圆C的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b ?4 9 ? 2+ 2=1, 且有:?a b ?a2-b2=4. ? 解得b2=12或b2=-3(舍去). 从而a2=16. x2 y2 所以椭圆C的方程为 + =1. 16 12

3 (2)假设存在符合题意的直线l,设其方程为y= x+t. 2 ? 3 ?y=2x+t, 由? 2 x y2 ? + =1 ?16 12

得3x2+3tx+t2-12=0.

因为直线l与椭圆C有公共点, 所以Δ=(3t)2-4×3(t2-12)≥0, 解得-4 3≤t≤4 3,

另一方面,由直线OA与l的距离d=4可得

|t| =4, 9 +1 4

从而t=± 13. 2 由于± 13?[-4 3,4 3], 2 所以符合题意的直线l不存在.

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