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四川省雅安市天全中学2015-2016学年高二数学11月月考试题 文


2015-2016 学年度上期天全中学 11 月考 数学试卷(文科)
考试时间:120 分钟; 第 I 卷(选择题) 一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.下列命题中,正确的是( ) A.经过两条相交直线,有且只有一个平面. B.经过一条直线和一点,有且只有一个平面. C.若平面 ? 与平面 ? 相交,则它们只有有限个公共点. D.若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. 2.已知三条直线 m, n, l ,三个平面 ? , ? , ? 。下面四个命题中,正确的是( )

A.

? ?? ? ? ? ? // ? ? ???

B.

m // ? ? ??l ? ? l ? m?

C.

m // ? ? ? ? m // n n // ? ?

D.

m??? ? ? m // n n ?? ?
) . C. 90 ,不存在
?

3. 直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是( A. 45? ,1 B. 1, 1

D. 180 ,不

?

存在 4.下列结论正确的是(

)

A.当 x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ? C.当 x ? 2 时, x ?

1 ?2 lg x

B.当 x ? 0 时, x ?

1 ?2 x
1 无最大值 x


1 的最小值为 2 x
2 2

D.当 0 ? x ? 2 时, x ?

5.设直线过点 (0, a ) ,其斜率为 1, 且与圆 x ? y ? 2 相切,则 a 的值为 ( A. ? 2
2 2

B. ?2 B. ? 0, ?1?
2

C. ?2 2 C. ?1,0?
2

D. ?4

6.已知圆的方程为 x ? y ? 2 x ? 0 ,则圆心坐标为 ( ) A. ? 0,1? D. ? ?1,0? ) D.以上都有可能
2

7.若直线 ax ? by ? 1与圆 x ? y ? 1相交,则 P (a, b) ( A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内
2

8. 已知点 P( x, y) 在直线 2 x ? y ? 5 ? 0 上,那么 x ? y 的最小值为( A. 5 B. 2 5 C. 5

) D. 2 10

1

9.点 P(4, ?2) 与圆 x2 ? y 2 ? 4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( A. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 C. ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 4

).

B. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 D. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

10.已知圆 C: ( x ? a)2 ? ( y ? 2)2 ? 4(a ? 0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 ,直线 l 被圆 C 截得的 弦长为 2 3 ,则 a ? ( A. 2 ) B. 2 ? 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 1

11.如图,四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面 ABCD 是边长为 3 的正方形,侧棱

AA1 长为 4,且 AA1 与 A1B1 , A1D1 的夹角都是 60? ,则 AC1 的长等于(
A. 10 B.

) .

58

C .

10

D .

34

12. 已知直线 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 恒过定点 A,点 A 也在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上, 其中 m、n 均 为正数,则 A.2

1 2 ? 的最小值为( m n
B.4

) C. 6 第 II 卷(非选择题) D. 8

二、填空题(每题5分,共20分) 13.长方体棱长分别为 3, 4, 5 ,则其外接球的表面积是 ___ __________.

E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 14.已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 2 AB ,
与 CD1 所成角的余弦值为 15. 过点 P(2,3), 并且在两轴上的截距相等的直线方程为 16.某几何体的三视图如图 1 所示,则它的体积为____________ 17.给出下列命题: ①存在实数 ? ,使 sin ? cos ? ? 1 ; ②函数 y ? sin( ③直线 x ? .

3? ? x) 是偶函数; 2 5? ) 的一条对称轴; 4

?
8

是函数 y ? sin(2 x ?

④若 ? , ? 是第一象限的角,且 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? . 其中正确命题的序号是__ _____.

三、解答题(共 70 分)

2

17.(本小题满分 10 分)已知 ?OAB 的顶点 O (0, 0) 、 A(2, 0) 、 B(3, 2) , OA 边上的中线所 在直线为 l . (I)求 l 的方程; (II)求点 A 关于直线 l 的对称点的坐标.

3

18. (本小题满分 12 分) 如图, 空间四边形 ABCD 中,E , F , G, H 分别是 AB, BC, CD, AD 的中点,且 AB ? AD , BC ? CD . (1)求证: BD // 平面 EFGH ; (2)求证:四边形 EFGH 是矩形.
E D F B G C

A

H

19. (本小题满分 12 分) 已知两直线 l 1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和 l2:2x ? my ?1 ? 0 . 试确定 m, n 的值,使 (1) l1 与 l2 相交于点 P(m, ?1) ; (2) l1 ∥ l2 ; (3) l1 ? l2 ,且 l1 在 y 轴上的截距为-1.

20. (本小题满分 12 分) 如图, 正方体 ABCD ? A E 为 AB 中点, F 为正方形 BCC1B1 1B 1C1D 1 中, 的中心. (1)求直线 EF 与平面 ABCD 所成角的正切值; (2)求异面直线 A1C 与 EF 所成角的余弦值.
D A1 D1 C1

B1

F

C

A

E

B

4

2 21. (本小题满分 12 分)已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直 2

线 l 交圆 C 于 A、B 两点. (1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 最短时,写出直线 l 的方程; (3)当直线 l 的倾斜角为 45?时,求弦 AB 的长.

22. (本小题满分 12 分) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=6,AC=3,D,E 分别是 AC,AB 上的 点,且 DE∥BC,DE=4,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (1)求证: AC ? 平面 BCDE ; 1 (2)过点 E 作截面 EFH // 平面 ACD ,分别交 CB 于 F, A 1B 于 H,求截面 EFH 的面积。 1
A
A1

D C

E

D

图2

图 1 B

E B

C

5

一.

天全中学高二数学上期 11 月考参考答案(文) ADCBB, CBCAC, CD 14.

二.13. 50 ? 16. 57 ?

3 10 10

15. 3x ? 2 y ? 0, x ? y ? 5 ? 0.

17. (2)(3)

17.解:(I)线段 OA 的中点为 (1, 0) ,于是中线方程为 y ? x ? 1 ;

?b ? 0 ? ?1 ? ?a ? 1 ?a ? 2 (II)设对称点为 A?(a, b) ,则 ? ,解得 ? ,即 A?(1,1) . b 2 ? a b ? 1 ? ? ? ?1 ? ?2 2
18、证明: (1) (本小问 4 分)∵E,H 分别为 AB, DA 的中点. ∴EH∥BD,又 BD ? 平面 EFGH, EH ? 平面 EFGH,

? BD ? 平面 EFGH;……4 分
(2)(本小问 8 分)取 BD 中点 O,连续 OA,OC. ∵ AB=AD,BC=DC.∴AO⊥BD,CO⊥BD, 又 AO∩CO=0.∴BD⊥平面 AOC. ∴BD⊥AC. ……3 分 ∵E,F,G,H 为 AB,BC,CD,DA 的中点. ∴EH∥BD,且 EH=

1 1 BD;FG∥BD,且 FG= BD,EF∥AC. 2 2

∴EH∥FG,且 EH=FG.∴四边形 EFGH 是平行四边形.……3 分 ∵AC⊥BD,又 EF∥AC,EH∥BD.∴EF⊥EH.∴四边形 EFGH 为矩形……2 分 19.解 (1)由题意得 2 ? ?m -8+n=0
? ?2m-m-1=0 ?

,解得 m=1,n=7. ----------4 分

(2)当 m=0 时,显然 l1 不平行于 l2; m 8 n 当 m≠0 时,由 = ≠ , 2 m -1
?m·m-8×2=0, ? 得? ? ?8×(-1)-n·m≠0,

∴?

?m=4, ? ? ?n≠-2,

或?

?m=-4, ? ? ?n≠2.

即 m=4,n≠-2 时或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2.-----------8 分 (3)当且仅当 m·2+8·m=0,即 m=0 时,l1⊥l2.又- =-1,∴n=8. 8 即 m=0,n=8 时,l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1.------------12 分 20、解: (1) (本小问 6 分)解法一: ( 1)取 BC 中点 H,连结 FH,EH,设正方体棱长为 2. ∵F 为 BCC1B1 中心,E 为 AB 中点.∴FH⊥平面 ABCD,FH=1,EH= 2 .

n

6

∴∠FEH 为直线 EF 与平面 ABCD 所成角,且 FH⊥EH. ∴tan∠FEH=

FH 1 2 = = .……6 分 EH 2 2

(2) (本小问 6 分)取 A1C 中点 O,连接 OF,OA,则 OF∥AE,且 OF=AE. ∴四边形 AEFO 为平行四边形.∴AO∥EF. ∴∠AOA1 为异面直线 A1C 与 EF 所成角.∵A1A=2,AO=A1O= 3 . ∴△AOA1 中,由余弦定理得 cos∠A1OA= 21.
2 (1) 已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 的圆心为 C(1,0) ,因直线过点 P、C,所以直线 l 的斜率 2

1 .……6 分 3

为 2, 直 线 l 的 方 程 为 2x-y-20.-----------------------------------------4 分 (2) 当 弦 AB 最 短 时 , l ⊥ PC,

y=2(x-1),



直 线 l 的 方 程 为 y?2? ?

1 ( x ? 2) , 即 2

x+2y-6=0-----------8 分 (3) 当直线 l 的倾斜角为 45? 时,斜率为 1,直线 l 的方程为 y-2=x-2 ,即 x-y=0 圆心 C 到直线 l 的距离为

1 ,圆的半径为 3, 2

弦 AB 的长为 34 .---------------------------------12 分 22.证明:: (1)(本小问 6 分)? CD ? DE , A1 D ? DE, ? DE ? 平面 A1CD . 又? AC ? 平面 A1CD , ? AC ? DE . 1 1 又 A1C ? CD , ? AC ? 平面 BCDE 1 ……6 分

(2) (本小问 6 分) 过点 E 作 EF∥CD 交 BC 于 F, 过点 F 作 FH∥ A1C 交 A1 B 于 H,连结 EH.则截面 EFH ? 平面 ACD 1 。因为四边形 EFCD 为矩形,
1 3 AC ? . 所以 EF=CD=1,CF=DE=4,从而 FB=2,HF= 3 1 3 ? A1C ? 平面 BCDE ,

FH∥ A1C ,?HF ? 平面 BCDE ,? HF ? FE.

? S? HFE ?

3 . ……6 分 6

7


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