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2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式


2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式

问题1、求两点A(0,2),B(0,-2)间 的距离
y 3

2

A
1

x1 = x2, y1 ≠ y2

-2

-1 -1

1

2

3

x

| AB |?| y2 ? y1 |

-2

B

问题2、求两点A(—2,0),B(3,0) 间的距离
y 3

2

x1≠x2, y1=y2
B

1

A
-2
-1 -1

1

2

3

x

| AB |?| x2 ? x1 |

-2

问题3:O,A两点间距离公式d(O,A)
|x|
y A(x,y)

|y|

O(0,0)

x

| OA |? x ? y
2

2

数形结合

一.两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?

y y2

P2(x2, y2)

| P2Q |?| y2 ? y1 |
y1
P1(x1,y1)

Q(x2,y1)
x2 x

O

x1

| PQ |?| x2 ? x1 | 1

y

| PQ |?| x2 ? x1 | 1

P2(x2,y2)

| PQ |?| y2 ? y1 | 2

P1(x1,y1)

Q(x2,y1)
x

O d(p1,p2)=| PP 1 2
2

|? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y 1 )

2

两个坐标的差 即两个变量 Δx=x2-x1 Δy=y2-y1

d ? ?x ? ?y
2

2

两点间的距离公式:
d(p1,p2)= | P1P2 |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )
2 2

特别的: (1) x1≠x2, y1=y2 (2) x1 = x2, y1 ≠ y2

| P1 P2 |?| x2 ? x1 |
| P1 P2 |?| y2 ? y1 |

(3) 原点O与任一点P( x, y )的距离 :

? x2 ? y 2 | OP |

例1. 解.

已知A(2,-4),B(-2,3),求d(A,B).

Δx=x2-x1= -4

Δy=y2-y1=7

d ? ?x 2 ? ?y 2 d(A,B)=
例2. 证明: 求证△ABC是等腰三角形

? 65

已知点A(1,2),B(3, 4), C(5, 0),

d(A,B)= 8 d(A,C)= 20

d(B,C)= 20 又A,B,C不共线 所以△ABC是等腰三角形

例3.证明平行四边形四条边的平方和和等于两条 对角线的平方和。 证明:以A为原点,AB为x轴 y D (b,c) C (a+b,c) 建立直角坐标系。 第一步:建立坐 则四个顶点坐标分别为 标系,用坐标表 A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c) 示有关的量。 2 2 x | AB | ? a | CD |2 ? a 2 A (0,0) B (a,0) | AD |2 ? b2 ? c2 | BC |2 ? b2 ? c2 第二步:进行有 2 2 2 2 2 2 | BD | ? (b ? a关代数运算 ) ?c | AC | ? (a ? b) ? c

运算结果翻译成 几何关系。 因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。

| AB |2 ? | CD |2 ? | AD |2 ? | BC |2 ? 2(a2 ? b2 ? c2 ) 2 2 2 2 2 | AC | ? | BD | ? 2(a ? b ? c ) 第三步:把代数 2 2 2 2 2 2 | AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ?| AC | ? | BD |

坐标法

四.中点坐标公式

线段AB中点P的坐标

x1+ x2 x= 2 y1+ y2 y= 2

例4. 已知:平行四边形ABCD顶点坐标: A(-3,0),B(2,-2),C(5,2) 求:顶点D的坐标.

解:设D的坐标为(x ,y)

代入中点坐标公式
x=0 y=4

所以

D的坐标为(0,4)

课堂小结
? 1、向量的定义 ? 2、向量的坐标 ? 3、向量的位移和 ? 4、数轴上两点间的距离公式 ? 5、平面两点间的距离公式 6、中点坐标公式


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