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湖南师大附中2015届高三第一次月考 数学(文)


炎德· 英才大联考文科数学(附中版) 炎德· 英才大联考湖南师大附中 2015 届高三月考试卷(一) 数 学(文科) 命题:高三文科数学备课组 (考试范围:高考全部内容) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 6 页。时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.

a+i 1.已知 a 是实数, 是纯虚数,则 a=(A) 1-i A.1 B.-1 C. 2 D.- 2 2.极坐标方程 ρcos 2 θ =4sin θ 所表示的曲线是(C) A.一条直线 B.一个圆 C.一条抛物线 D.一条双曲线 3.设集合 A ={x|x>-1},B ={x|x≥1},则“x∈A 且 x?B ”成立的充要条件是(D) A.-1<x≤1 B.x≤1 C.x>-1 D.-1<x<1 4.如果函数 f (x)=sin( A.T=4π ,θ= C.T=4,θ= π 4 π 2 π x+θ)(0<θ<π )是最小正周期为 T 的偶函数,那么(B) 2 π 2

B.T=4,θ=

π D.T=4π ,θ= 4

5.已知 a,b 为两条直线,α,β 为两个平面,下列命题中正确的是(D) A.若 α∥b,β∥b,则 α∥β B.若 α∥a,α∥b,则 a∥b C.若 a⊥α,b⊥β,则 α∥β D.若 a⊥α,a⊥β,则 α∥β 6.若 ax2 +bx+c<0 的解集为{x|x<-2 或 x>4},则对于函数 f(x)=ax2 +bx+c 应有(B) A.f (5)<f (2)<f (-1) B.f (5)<f (-1)<f (2) C.f (-1)<f (2)<f(5) D.f (2)<f (-1)<f (5) 7.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则得到的这个新三角形的形状为(A) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定 【解析】设增加同样的长度为 x,原三边长为 a、b、c,且 c =a +b ,a+b>c. 新的三角形的三边长为 a+x、b+x、c+x,知 c+x 为最大边,其对应角最大.而(a+x)2 +(b+x)2 -(c+x)2 =x2 +2(a+b-c)x>0, 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,则为锐角,那么它为锐角三角形. 1 1 8.若 < <0,则下列不等式中不正确的是(C) a b A.ab<b2 B.a+b<ab C.a2 >b2 b a D. + >2 a b lg 3 lg 4 · =2; lg 2 lg 3
2 2 2

9.已知 an =logn +1 (n+2)(n∈N* ),观察下列运算:(C) a1 ·a2 =log2 3·log3 4=

a1 ·a2 ·a3 ·a4 ·a5 ·a6 =log2 3·log3 4·??·log7 8



lg 3 lg 4 lg 8 · ·??· =3;??. lg 2 lg 3 lg 7

若 a1 ·a2 ·a3 ·??·ak(k ∈N* )为整数,则称 k 为“企盼数” , 试确定当 a1 ·a2 ·a3 ·??·ak=2 014 时,“企盼数”k 为 A.22 014 +2 B.22 014 C.22 014 -2 D.22 014 -4 lg(k +2) 【解析】a1 ·a2 ·a3 ·??·ak= =2 014?lg(k +2)=lg 22 014 ?k =22 014 -2. lg 2 x 10.过点(-2,0)的直线 l 与抛物线 y= 相交于两点,且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直,则 2 直线 l 的斜率 k 等于(C) A.- C. 1 4 1 6 B.- 1 4
2

1 D. 2
2 2

x x 【解析】对抛物线 y= ,y′=x,l 的方程是 y=k (x+2)代入 y= 得:x2 -2kx-4k =0,设两个交点是 2 2
2 ? ?Δ=4k +16k >0 1 A (x1 ,y1),B(x2 ,y2),则? ,而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即 x1 x2 =-1. ∴k = 且 4 ?x1 x2 =-4k ?

满足 Δ>0. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上. 11.在 200 个产品中,一等品 40 个,二等品 60 个,三等品 100 个,用分层抽样的方法抽取一个容量 为 40 的样本,则从二等品中应抽取__12__个.

12.阅读右边的框图填空:若 a=0.80.3 ,b=0.90.3 ,c=log5 0.9,则输出的数是__b(或 0.90.3)__. 3 13.若直线 y=kx 与圆 x2 +y2 -4x+3=0 相切,则 k 的值是__± __. 3 1 14.设函数 f (x)=x(ex+1)+ x2 ,则函数 f (x)的单调递增区间为__[-1,+∞)__. 2 15.当 n 为正整数时,定义函数 N(n)表示 n 的最大奇因数.如 N(3)=3,N(10)=5,?. 记 S(n)=N(1) +N(2)+N(3)+?+N(2 ). 4n +2 则(1)S(3)=__22__;(2)S(n)=__ __. 3 【解析】由题设知,N(2n)=N(n),N(2n-1)=2n-1.又 S(0)=N(1)=1. (1)S(3)=[N(1)+N(3)+N(5)+N(7)]+[N(2)+N(4)+N(6)+N(8)] =[1+3+5+7]+[N(1)+N(2)+N(3)+N(4)] 2 2 1 2 1 0 =4 +S(2)=4 +4 +S(1)=4 +4 +4 +S(0)=22. (2)S(n)=[1+3+5+?+(2n -1)]+[N(2)+N(4)+N(6)+?+N(2n )] =[1+3+5+?+(2n -1)]+[N(1)+N(2)+N(3)+?+N(2n- 1)],
n

∴S(n)=4 ∴S(n)=4

n- 1

+S(n-1)(n≥1), +4
n- 2

n- 1

4n +2 +?+4 +4 +1= . 3
1 0

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 已知函数 f (x)= 3sin ω x·cos ω x+cos 2 ω x+1(ω>0)的最小正周期为π . (1)求 ω 的值; π (2)求当 x∈(0, ]时 f(x)的值域. 2 1+cos 2ωx 【解析】(1)f (x)= 3sin ωxcos ωx+ +1 2 = 3 1 3 sin 2ωx+ cos 2ωx+ 2 2 2

π? 3 + . 6? 2 2π ∵ω>0,∴T= =π,∴ω=2. =sin?2ωx+

?

ω

(6 分)

(2)由(1)得:f(x)=sin? ?2x+ ∵0<x≤

π? 3 + . 6? 2

π π π 7π ,∴ <2x+ ≤ , 2 6 6 6

π 1 ∴- ≤sin(2x+ )≤1, 2 6 5 ∴1≤f (x)≤ , 2 5? ∴f (x)的值域是? ?1,2?. 17.(本题满分 12 分) 某中学高三(1)班共有 50 名学生,他们每天自主学习的时间在 180 到 330 分钟之间,将全班学生的自 主学习时间作分组统计,得其频率分布如下表所示: 组序 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 (1)求表中 a、b、c 的值; (2)某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性,需用分层抽样的方法从这 50 名学生中随机抽 取 20 名作统计分析,则在第二组学生中应抽取多少人? (3)已知第一组学生中有 3 名男生和 2 名女生,从这 5 名学生中随机抽取 2 人,求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率. 【解析】(1)由表知 5+10+12+a+6=50, 则 a=17,b= 17 6 =0.34,c= =0.12. 50 50 (4 分) (7 分) 分组 [180,210) [210,240) [240,270) [270,300) [300,330) 频数 5 10 12 a 6 频率 0.1 0.2 0.24 b c (12 分)

20 (2)因为 10× =4,所以在第二组学生中应抽取 4 人. 50

(3)从 5 名学生中随机抽取 2 人有 10 种取法(可列举出来), 其中恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的情况有

6 3 6 种(也列举出来),则所求概率 P = = . 10 5

(12 分)

18.(本题满分 12 分) 如图,已知三棱锥 P -ABC 中,PC⊥平面 ABC,AB ⊥BC, PC=BC=4,AB =2,E 、F 分别是 PB 、PA 的中点. (1)求证:侧面 PAB ⊥侧面 PBC; (2)求三棱锥 P -CEF 的外接球的表面积. 【解析】(1)∵PC⊥平面 ABC,∴AB ⊥PC, 又 AB ⊥BC,则 AB ⊥侧面 PBC,AB ?侧面 PAB , 故侧面 PAB ⊥侧面 PBC. (6 分) (2)∵PC=BC=4,E 为 PB 的中点,∴CE ⊥PB , 而侧面 PAB 垂直侧面 PBC 于 PB ,∴CE ⊥EF . 由 E 、F 分别是 PB 、PA 的中点有 EF ∥AB , 则 EF ⊥侧面 PBC. 故 EC、EF 、EP 两两垂直, (9 分) 三棱锥 P -CEF 的外接球就是以 EC、 EF 、 EP 为长、 宽、 高的长方体的外接球, 易求得 EC=EP =2 2, EF =1, 其外接球的直径是 8+8+1= 17, 故所求三棱锥 P —CEF 的外接球的表面积是 4π? 17 ? =17π. ? 2 ? 19.(本题满分 13 分)
2

(12 分)

1 1 已知函数 f (x)= x3 + ax2 -(a+2)x+b(a,b∈R)在[-1,1]上是减函数. 3 2 (1)求实数 a 的取值范围; 1 29 (2)设 <a<1,若对任意实数 u、v∈[a-1,a],不等式|f(u)-f (v)|≤ 恒成立,求实数 a 的最小值. 2 12 1 1 【解析】(1)由函数 f(x)= x3 + ax2 -(a+2)x+b(a,b∈R)在[-1,1]上是减函数得: 3 2 x∈[-1,1]时,f ′(x)=x2 +ax-a-2≤0 恒成立. (3 分) ∴?
?f ′(1)=1+a-a-2≤0 ?

1 ,可得 a≥- . 2 ?f ′(-1)=1-a-a-2≤0 ?

(6 分)

1 1 (2)∵ <a<1,∴- <a-1<0,∴[a-1,a]?[-1,1], 2 2 故 f (x)在[a-1,a]上是减函数, (7 分) 1 1 ∴f max=f (a-1)= (a-1)3 + a(a-1)2 -(a+2)(a-1)+b, 3 2 1 1 f min =f (a)= a3 + a3 -a(a+2)+b. 3 2 依条件有 f max -f min ≤ 29 , 12

5 5 29 ∴f max-f min =-2a2 + a+ ≤ , 2 3 12 即 8a -10a+3≥0, 3 1 a≥ 或 a≤ , 4 2 1 3 ∵ <a<1,∴amin = . 2 4 (13 分)
2

(11 分)

20.(本题满分 13 分) x y a 如图,已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0),定点 A? ,0? ? ? (c 是双曲线的半焦距),双曲线虚轴的下端点为 a b c → → → B . 过双曲线的右焦点 F (c, 0)作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P , 若点 D 满足 2OD=OF +OP (O 为原点), 且 A 、B 、D 三点共线. (1)求双曲线的离心率; (2)若 a=2,过点 B 的直线 l 交双曲线的左、右支于 M、N 两点, 且△OMN 的面积 S△OMN=2 6,求 l 的方程. 2 a2 ? ?c,b ?. 【解析】(1)∵B (0,-b),A? , 0 ,易求得 P ?c ? ? a? → → → ∵2OD=OF +OP ,即 D 为线段 FP 的中点, ∴D? ?c, b ? . 2a?
2 2 2 2

(3 分)

又 A 、B 、D 共线.
2 2 a2 → → ? a b ? ?,AD 而AB=? - ,- b = c - , ? c ? ? c 2a?, 2 2 a2 ? ?-a ?? b ?,得 a=2b, ∴? c - · ( - b ) = ? c? ? c ??2a?

(5 分)

c ∴e= = a

b?2 1+? ?a? =

1 5 1+ = . 4 2

(6 分)

5 2 ,∴b =1, 2 x2 2 故双曲线的方程为 -y =1. ① (7 分) 4 (2)∵a=2,而 e= ∴B 点的坐标为(0,-1),设 l 的方程为 y=kx-1,② ②代入①得(1-4k 2)x2 +8kx-8=0,

1-4k ≠0 ? ?Δ=64k +32(1-4k )>0 1 由题意得:? ,得:k < . 4 8 x ·x = <0 ? ? 4k -1
2 2 2 1 2 2

2

(9 分)

设 M、N 的坐标分别为(x1 ,y1)、(x2 ,y2), 8k 则 x1 +x2 = 2 . 4 k -1 1 1 而 S△ OMN= |OB |(|x1 |+|x2 |)= |x1 -x2 | 2 2 = = 1 2 (x1 +x2 ) -4x1 ·x2 2 1 2
2 2 ? 8k ? - 32 =2 2· 1-2k =2 6, (11 分) 2 2 2 ?4k -1? 4k -1 1-4k

1 1 4 2 2 2 整理得 24k -11k +1=0,解得:k = 或 k = (舍去). 8 3 2 ∴所求 l 的方程为 y=± x-1. 4 21.(本题满分 13 分) (13 分)

?x≤4 ? 设不等式组?y≥0 所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内整点的个数为 an (横纵坐标均为整数的 * ? ?y≤nx(n∈ N )
点称为整点). (1)n=2 时,先在平面直角坐标系中作出区域 D2 ,再求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)记数列{an}的前 n 项的和为 Sn ,试证明:对任意 n∈N* S S Sn 5 恒有 2 1 + 2 2 +?+ < 成立. 2 2 S2 3 S3 (n+1) Sn +1 12

【解析】(1)D2 如图中阴影部分所示, ∵在 4×8 的矩形区域内有 5×9 个整点,对角线上有 5 个整点, 5×9+5 ∴a2 = =25. 2 (3 分)

(另解:a2 =1+3+5+7+9=25) (2)直线 y=nx 与 x=4 交于点 P (4,4n), 5×(4n+1)+5 据题意有 an = =10n+5. (6 分) 2 (另解:an =1+(n+1)+(2n+1)+(3n+1)+(4n+1)=10n+5) (3)Sn =5n(n+2). (8 分)

∵ ∴

n(n+2) n(n+2) Sn 1 1 = = · , 2 2 2< (n+1) Sn +1 (n+1) (n+1)(n+3) (n+1)(n+3) (n+1) (n+1)(n+3) S1 S2 Sn 1 1 1 + +?+ < + + ?+ 22 S2 32 S3 (n+1)2 Sn +1 2×4 3×5 (n+1)(n+3) (11 分)

1 1 ? 1?1 1 1 1 1 1 - = ? - + - + - +?+ n+1 n+3? 2 2 4 3 5 4 6 1 1 ? 5 1 1 1 - = ? + - < . ? 2 2 3 n+2 n+3? 12 (13 分)


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