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执信中学2011-2012学年高二上学期期末考试(数学文)

执信中学 2011-2012 学年高二上学期期末考试试题 (数学文)
第一部分 选择题 (共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ? x | ?2 ? x ? 3? , B ? ? x | ?1 ? x ? 4? ,那么集合 A ? B 等于( A. ? x | ?2 ? x ? 4? B. ? x | 3 ? x ? 4?
x

* )

C. ? x | ?2 ? x ? ?1?

D. ? x | ?1 ? x ? 3? )

2. 若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 的反函数, f (4) ? 2 , f ( x) ? 且 则 ( * A. log 1 x
2

B. log 2 x

C. log 4 x

D. log 1 x
4

开始

3.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是( A. 63 B.31 C.27

* ) D.15

S ?0 i ?1


4. 在△ABC 中, (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c ) ,则 A ? ( * ) A. 30? B. 60? C. 120? D. 150?

S ? 50


5.到椭圆

x2 y 2 ? ? 1 左焦点的距离与到定直线 x ? 2 8 4

输出 i

S ? S 2 ?1

距离相等的动点轨迹方程是( * ) A. y ? 4 x
2

B. y ? ?4 x
2

结束

i ? 2i ? 1

C. y ? 8 x
2

D. y ? ?8 x
2

6. 一个锥体的主视图和左视图如图所示, 下面选项中,.... 不可能是该锥体的俯视图的是 ( * )

7.已知等差数列 ?an ?中 a2 ? 6, a5 ? 15 ,若 bn ? a2 n ,则数列 ?bn ?的前 5 项和等于( * A. 186 B. 90 C. 45 D. 30



8. 使“ lg m ? 1 ”成立的一个充分不必要条件是 ( * ) A. m ? (0,??) B. m ? ? ??,10 ? C. m ? ? 0,10 ? D. m ? ?1, 2?

1

?x ? 1 ? 9. 设 x, y ? R 且满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值等于( * ) ?y ? x ?
10.若函数 y ? f ? x ? 函数 g ? x ? ? ? 1 A. 2 B. 3

?lg x ? ?? x ?

? x ? R ? 满足 f ? x ? 2 ? ? f ? x ? 且 x ? ? ?1,1? 时, f ? x ? ? 1 ? x 2 , ? x ? 0? ,则函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ?5,5? 内的零点的 ? x ? 0?
C. 8 D. 10

C. 5

D. 9

个数为( * ) A. 5 B. 7

第二部分

非选择题 (共 100 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. 命题“ ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是:___***_____;
2

12. 平面向量 a 、 b 的夹角为 60? , a ? ? 2,0 ? , b ? 1 , 则 a ? 2b ? ___***_____; 13. 已知圆 C 的圆心为 (0,-1) ,直线 3 x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且

?

?

?

?

?

?

AB ? 6 ,则圆 C 的方程为___***_____;
14. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 .. ..

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的焦点与顶点,若双曲线 .. .. a 2 b2

的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为___***_____ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分12分) 已知函数 f ? x ? ? sin

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期;

3x x 3x x cos ? cos sin ? 2cos 2 x ? 1? x ? R ? . 2 2 2 2

(Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间.

16. (本小题满分 12 分) 某车间将 10 名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件,在单位时间内每个技工加工零
2

件 若干,其中合格零件的个数如下表: 1号 2号 3号 4号 5号 甲组 4 5 7 9 10 5 6 7 8 9 乙组 (Ⅰ)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差,并由此比较两 组技工的技术水平; (Ⅱ)质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取 1 名技工,对其加工的零件进行检测,若 两人完成合格零件个数之和超过 12 件,则称该车间“质量合格”,求该车间“质量合格” 的概率.

18. (本小题满分 14 分) 已知椭圆的方程为:

x2 y2 ? ?(a ? b ? 0) ,其中 a 2 ? 4c ,直线 l: 3x ? 2 y ? 0 与椭圆 1 a2 b2

的交点在 x 轴上的射影恰为椭圆的焦点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆在 x 轴上方的一个交点为 P , F 是椭圆的右焦点,试探究以 PF 为直径 的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.

3

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 定义域为 R 且同时满足: ① f ( x) 图像向左平移 1 个单位后所得函数为 偶函数;②对于任意大于 1 的不等实数 a、b ,总有

(Ⅰ) f ( x) 的图像是否有对称轴?如果有, 写出对称轴方程, 并说明在区间 (??,1) 上 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设 g ( x) ?

f ? a ? -f ? b ? ? 0 成立. a ?b

1 1 ,如果 f (0) ? 1 ,判断 g ? x ? ? 0 是否有负实根并说明理由; ? . f ( x) 2 ? x

(Ⅲ)如果 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 2 ? 0 ,比较 f (? x1 ) 与 f (? x2 ) 的大小并说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2
n?2

?4

? n ? N ? ,函数 f ( x) 对任意的 x ? R 都有
*

1 2 n ?1 ) ? f (1) . f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 ,数列 ?bn ? 满足 bn ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ?? ? f ( n n n (Ⅰ)分别求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式;
(Ⅱ)若数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? n , Tn 是数列 ?cn ? 的前 n 项和,是否存在正实数 k ,使不 b 等式 k n 2 ? 9n ? 26 Tn ? 4ncn 对于一切的 n ? N * 恒成立?若存在请指出 k 的取值 范围,并证明;若不存在请说明理由.

?

?

4

参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 D 6 C 7 B 8 D 9 B 10 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0
2

12. 2 3

13. x ? ( y ? 1) ? 18
2 2

14.

2 2

16. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)依题意, x甲 ?

1 (4 ? 5 ? 7 ? 9 ? 10) ? 7 5

1 ……………………………… 2 分 x乙 ? (5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9) ? 7 5 1 26 2 ……… 3 分 s甲 ? [(4 ? 7) 2 ? (5 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (9 ? 7) 2 ? (10 ? 7) 2 ] ? ? 5.2 5 5 1 2 s乙 ? [(5 ? 7) 2 ? (6 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (8 ? 7) 2 ? (9 ? 7) 2 ] ? 2 5
2 2 因为 x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙

…………… 4 分

所以,两组技工的总体水平相同,甲组技工的技术水平差异比乙组大 …………… 6 分 (Ⅱ)记该车间“质量合格”为事件 A,则从甲、乙两组中各抽取 1 名技工完成合格零件个数 的基本事件为: (4,5)(4,6)(4,7)(4,8)(4,9)(5,5)(5,6)(5,7)(5, , , , , , , , , 8)(5,9)(7,5)(7,6)(7,7)(7,8)(7,9)(9,5)(9,6)(9,7)(9, , , , , , , , , , , 8)(9,9)(10,5)(10,6)(10,7)(10,8)(10,9)共 25 种 ………… 8 分 , , , , , , 事件 A 包含的基本事件为: (4,9)(5,8)(5,9)(7,6)(7,7)(7,8)(7,9) , , , , , , , (9,5)(9,6)(9,7)(9,8)(9,9)(10,5)(10,6)(10,7)(10,8) , , , , , , , , , (10,9)共 17 种 ……………………………… 10 分
5

所以 P ( A) ?

17 25

……………………………… 11 分

答:该车间“质量合格”的概率为

17 25

……………………………… 12 分

17.(本小题满分14分) 【解析】 (Ⅰ)证明:方法一: 取AB中点G ,连结 CG, ∵ D、E 分别为 B1 A 、C1C 的中点 ∴ DG ? EC 且 DG ? EC

?? DGCE ? DE ? GC ……………………………… 2 分 ? DE ? 平面 ABC , GC ? 平面 ABC ……………………………… 4 分 ? DE ? 平面 ABC 方法二: 取BB1中点G ∵ D、E 分别为 B1 A 、 C1C 的中点 ∴ DG ? AB 且 GE ? BC ……………………………… 1 分 ? DG ? 平面 ABC , AB ? 平面 ABC ? DG ?平面 ABC ? GE ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ? GE ? DG ? G ? GE ?平面 ABC ∴平面 DGE ? 平面 ABC ……………………………… 3 分 ∵ DE ? 平面 DGE ? DE ? 平面 ABC ……………… 4 分 ? (Ⅱ) ∵ AB ? AC ? 2 ?BAC ? 90 ∴ BC ? 2 2 ∴在 ? B1 FE 中 B1 E ? 3 B1 F = 6 EF ? 3
∴ B1 E 2 ? B1 F 2 ? EF 2 即 B1 F ? FE ……………………… 6 分 又∵ AF ? BC. AF ? BB1 ∴ AF ? 平面 BB1C1C

BB1 ? BC ? B ∴ AF ? B1 F ……………………8 分
…………………… 9 分 ∴ AF ? EF ∴ EF ? 平面 B1 FA …………………… 11 分

AF ? EF ? F
∵ EF ? B1 F

∴ B1 F ? 平面 AFE

(Ⅲ) 方法一: ∵ AF ? 平面 BB1C1C

AF ? B1 F ? F

∴ EF ? 3 为三棱锥 E ? AB1 F 的高

? AF ? 面 BCB1C1 ,? AF ? EF 1 1 S? AB1F ? ?AF ?B1 F ? ? 2 ? 6 ? 3 2 2 1 1 VE ? AB1F ? S? AB1F ?EF ? ? 3 ? 3 ? 1 3 3 方法二: VE ? AB1F ? VB1 ? AEF
? B1 F ? 平面 AFE ? B1 F 为三棱锥 B1 ? AEF 的高

……………………… 12 分 ……………………… 14 分 ……………………… 10 分 ………………… 11 分

? AF ? 面 BCB1C1

? AF ? EF

1 1 6 ……………………………… 12 分 S? AEF ? ?AF ?EF ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2 1 1 6 ………………………… 14 分 VE ? AB1F ? VB1 ? AEF ? S? AEF ?B1 F ? ? ? 6 ? 1 3 3 2 方法三: ……………………… 10 分 VE ? AB1F ? VA? B1EF

6

? AF ? 面 BCB1C1
? B1 F ? 平面 AFE

? AF 为三棱锥 A ? B1 EF 的高

…………………… 11 分

? B1 F ? EF
………………………… 12 分 ………………………… 14 分

1 1 3 2 S? B1EF ? ?B1 F ?EF ? ? 6 ? 3 ? 2 2 2 1 1 3 2 VE ? AB1F ? VA? B1EF ? S? B1EF ?AF ? ? ? 2 ?1 3 3 2

18. (本小题满分 14 分) 【解析】 (Ⅰ)方法一:设椭圆的左右焦点分别为 F1 (?c, 0) 、 F2 (c, 0) ,直线 3 x ? 2 y ? 0 与

3c ), 2 根据椭圆的定义得: | MF1 | ? | MF2 |? 2a ,
椭圆的一个交点坐标是 M(c, 即 [c ? (?c)] ? (
2

………………………… 2 分

3c 2 3c ) ? (c ? c) 2 ? ( ) 2 ? 2a ,即 4c ? 2a , ………………… 4 分 2 2

a2 又 …………………… 6 分 ? 4 , a 2 ? b 2 ? c 2 ,联立三式解得 a ? 2, b ? 3 , c ? 1 c x2 y2 所以椭圆的方程为: ……………………………… 7 分 ? ?1 4 3 方法二:设椭圆的左右焦点分别为 F1 (?c, 0) 、 F2 (c, 0) ,直线 3 x ? 2 y ? 0 与椭圆的一个交 3c 点坐标是 M(c, ) ,……………… 2 分 2 9 2 c c2 3c 将点 M(c, ) 坐标代入椭圆的方程得 ? 4 2 ?1 4c 4c ? c 2 化简整理得 c 2 ? 17c ? 16 ? 0 ………………………… 4 分 解得 c ? 1 或 c ? 16 ? a ? 2 或 a ? 8 (此时 a ? c ,舍去) a 2 ? 4c ? 4 或 64 ………………………… 6 分 ? a ? 2, b ? 3, c ? 1 x2 y2 所以椭圆的方程为: ? ?1 4 3
………………………… 7 分

3 2 3 3 2 9 ? 3? 则以 PF 为直径的圆方程是 ( x ? 1) 2 ? ( y ? ) ? ,圆心为 ?1, ? ,半径为 …… 9 分 4 4 16 ? 4? 2 2 以椭圆长轴为直径的圆的方程是 x ? y ? 4 ,圆心是 ?0,0 ? ,半径是 2 ………… 11 分
(Ⅱ)由(1)可知,直线与椭圆的一个交点为 P (1, ) , F (1,0) 两圆心距为 12 ? ? ? ?

?3? ?4?

2

5 3 ? 2 - ,所以两圆内切. 4 4

…………………………… 14 分

19、(本小题满分 14 分) 【解析】(Ⅰ)由条件①得 f (x) 的图像关于直线 x ? 1 对称

……………………… 2 分

由条件②得 a ? b ? 1 时, f (a ) ? f (b) 恒成立, b ? a ? 1 时, f (b) ? f (a ) 恒成立, …………………………… 4 分 ? f (x) 在 (1,??) 上单调递增

7

又? f (x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,? f (x) 在 (??,1) 上单调递减 (Ⅱ)方法一:若 g ( x) ? 0 有负根 x 0 ,则 g ( x 0 ) ?

……… 5 分

1 1 ? ? 0, f ( x0 ) 2 ? x0
…………………………… 6 分

? f ? 0 ? ? 1 , f (x) 在 (??,1) 上单调递减
? x0 ? 2 ? 1 ,? x0 ? 3 与 x0 ? 0 矛盾
方法二:若 g ( x) ? 0 有负根 x 0 ,则 g ( x 0 ) ?

? f ( x0 ) ? x0 ? 2

? f ( x0 ) ? 1

……………… 8 分

故 g ( x) ? 0 无负实根 ………… 10 分

1 1 ? ?0 f ( x0 ) 2 ? x0
…………………………… 6 分

? f ( x0 ) ? x0 ? 2 ? f (0) ? 1 , f (x) 在 (??,1) 上单调递减
结合图像如右图所示

知 y ? f ? x ? 与 y ? x ? 2 的图象在 y 轴左侧无交点, g ( x) ? 0 无负实根 故

………………………… 8 分 ……… 10 分

(Ⅲ)解:点 (? x1 , f (? x1 )) 与点 (2 ? x1 , f (2 ? x1 )) 为 f (x) 上关于直线 x ? 1 对称的两点 …………………………… 11 分 ? x1 ? x2 ? 2 ? 0 ,? 2 ? x1 ? 2 ? ? x 2 …………………………… 12 分
?

又? f (x) 在 (1,??) 上单调递增,? f ( ? x2 ) ? f ( 2 ? x1 ) ? f ( ? x1 )

…… 14 分

20. (本小题满分 14 分) 【解析】 (Ⅰ) n ? 1,

n ? 2,

an ? S n ? S n ?1 ? ? 2n ? 2 ? 4 ? ? ? 2n ?1 ? 4 ? ? 2n ?1

a1 ? S1 ? 21? 2 ? 4 ? 4

…………………………… 1 分

n ? 1 时满足上式,故

an ? 2n ?1
1 n

?n ? N ?
*

……………………………2 分 ……………………………3 分 ① ② …………………………… 5 分 ………………………………6 分 ①

n ?1 ) ?1 n 1 2 n ?1 ∵ bn ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ?? ? f ( ) ? f (1) n n n n ?1 n?2 ∴ bn ? f (1) ? f ( )? f( ) ?? ? f (1) ? f (0) n n n ?1 ∴①+②,得 2bn ? n ? 1 ? bn ? 2 n b (Ⅱ)∵ cn ? an ? n ,∴ cn ? ? n ? 1??2
∵ f ( x) ? f (1 ? x) =1∴ f ( ) ? f ( ∴ Tn ? 2?2 ? 3?2 ? 4?2 ? ? ? ? n ? 1??2 ,
1 2 3 n

2Tn ?
即 Tn ? n?2n ?1

2?22 ? 3?23 ? 4?24 ? ? ? n?2 n ? ? n ? 1??2 n ?1 , ②
2 3 n n ?1

2 ①-②得 ?Tn ? 4 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? n ? 1??

…………………………8 分 ………………………… 9 分

要使得不等式 k n 2 ? 9n ? 26 Tn ? 4ncn 恒成立,

?

?

8

9


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