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《两条直线的交点坐标》ppt课件 (1)


3.3.1

两条直线的交点坐标

知识探究(一):两条直线的交点坐标

思考1:若点P在直线l上,则点P的坐标 (x0,y0)与直线l的方程Ax+By+C=0有什么 关系? Ax0+By0+C=0

思考2:直线2x+y-1=0与直线2x+y+1=0, 直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的位置 关系分别如何?

思考3:能根据图形确定直线3x+4y-2=0与 直线2x+y+2=0的交点坐标吗?有什么办 法求得这两条直线的交点坐标?
y P o x

思考4:一般地,若直线l1:A1x+B1y+C1=0 和l2:A2x+B2y+C2=0相交,如何求其交点 坐标?
几何元素及关系 点A 直线l 代数表示 A (a, b)

L:Ax+By+C=0 Aa+Bb+C=0
点A的坐标是方程组的解

点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A

?A1x ? B1y ? C1 ? 0 ? ?A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

(二)讲解新课:
两条直线的交点: 如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0 相交,由于交点同时在两条直线上,交点坐标一定 A1x+B1y+C1=0 是它们的方程组成的方程组 A x+B y+C =0 2 2 2 A x+B1y+C1=0 的解;反之,如果方程组 1 A2x+B2y+C2=0 只有一个解,那么以这个解为坐标的点就是直线 A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。

思考5:对于两条直线 l1 : A1x ? B1y ? C1 ? 0 和 l 2 : A2x ? B2y ? C2 ? 0 ,若方程组
?A1x ? B1y ? C1 ? 0 ? ?A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

有惟一解,有无数组解,无解,则两直 线的位置关系如何?

二元一次方程组的解与两条直线的位置关系

?l1 , l2相交 ? 唯一解 ? ? A1x ? B1 y ?C1?0? ? ? ?l1 , l2重合 ? 无穷多解 ? A2 x ? B2 y ?C 2?0 ? ?l , l ? ? 无解 ? 1 2平行
(代数问题) (几何问题)

例1:求下列两条直线的交点: l1:3x+4y-2=0;l2:2x+y+2=0.
解:解方程组

M -2

y 2

3x+4y-2 =0 2x+y+2 = 0



x= -2 y=2

0
l1 l2

x

∴l1与l2的交点是M(- 2,2)

例2:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程 : l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.
x= 2 x-2y+2=0 得 y=2 解:解方程组 2x-y-2=0 ∴l1与l2的交点是(2,2) 设经过原点的直线方程为 y=k x 把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程为 x-y=0

判断两直线的位置关系 分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交 点.

(1)l1:2x-y=7 和 l2:3x+2y-7=0;
(2)l1:2x-6y+4=0 和 l2:4x-12y+8=0; (3)l1:4x+2y+4=0 和 l2:y=-2x+3.

思维突破:可依据方程组解的情况来判断两直线的位置关
系.

? ?2x-y-7=0 解:(1)方程组? ? ?3x+2y-7=0

? ?x=3 的解为? ? ?y=-1



因此直线 l1 和 l2 相交,交点坐标为(3,-1).
? ?2x-6y+4=0 (2)方程组? ? ?4x-12y+8=0

有无数组解,

这表明直线 l1 和 l2 重合.
? ?4x+2y+4=0 (3)方程组? ? ?2x+y-3=0

无解,

这表明直线 l1 和 l2 没有公共点,故 l1∥l2.

练习1:下列各对直线是否相交,如果相交,求出交点的

坐标,否则试着说明两线的位置关系: ? (1)l1:x-y=0, l2:x+3y-10=0; ? (2)l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0; ? (3)l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0;
解:(1)x=5/2,y=5/2,两直线有交点(5/2,5/2) (2)方程组无解,两直线无交点。 l1‖l2 (3)两方程可化成同一个方程,两直线有无数个交 点。 l1与l2重合

1. 两直线交点的求法---联立方程组。 2. 两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。 3. 共点直线系方程及其应用


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