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05-第五章 平面向量


2005 届中山市东升高中?高三数学 § 5.1

第一轮总复习

讲义?代数?平面向量

05--

1

向量的概念、向量的加法、减法、实数与向量的积

〖复习要求〗1、理解有关向量的概念,掌握向量加减法作图。2、掌握实数与向量的运算法则及运算律,理解两个 向量共线的充要条件 3、了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。4、 培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。 〖双基回顾〗 1、基本概念 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2、加法与减法的代数运算 ????? ????? ? ? ??????? ? ????? ? (1) A1 A2 ? A2 A3 ? ? ? An ? 1 An ? A1 An . (2)若 a=( x 1 , y 1 ),b=( x 2 , y 2 )则 a ? b=( x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) . 向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。 以向量 AB = a 、 AD = b 为邻边作平行四边形 ABCD,则两条对角线的向量 AC = a + b , BD = b - a , DB = a - b 有︱ a ︱-︱ b ︱≤︱ a ? b ︱≤︱ a ︱+︱ b ︱. 向量加法有如下规律: a + b = b + a (交换律);
a +0= a a +(- a )=0. a +( b +c)=( a + b )+c



(结合律);

3、实数与向量的积:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量。 (1)︱ ? a ︱=︱ ? ︱?︱ a ︱; (2) 当 ? >0 时, ? a 与 a 的方向相同;当 ? <0 时, ? a 与 a 的方向相反;当 ? =0 时, ? a =0. (3)若 a =( x 1 , y 1 ) ,则 ? ? a =( ? x 1 , ? y 1 ) . 两个向量共线的充要条件: (1) 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ? ,使得 b= ? a . (2) 若 a =( x 1 , y 1 ),b=( x 2 , y 2 )则 a ∥b ? x 1 y 2 ? x 2 y 1 ? 0 . 平面向量基本定理: 若 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 ? 1 , ? 2 ,使 得 a = ? 1 e1+ ? 2 e2. 一、知识点训练: 1、两向量共线是两向量相等的_______ A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 ? ? ? ? ? ? ? ? 2、当 a ? b ? 0 , 且 a , b 不共线时, a ? b 与 a ? b 的关系是______ A 平行 B 垂直 C 相交但不垂直 D 相等 ? ? ? ? ? ? ? ? 3、给出以下四个命题:(1)若两非零向量 a , b ,使得 a ? ? b ( ? ? R ) ,那么 a // b ;(2)若两非零向量 a // b ,则 ? ? ? ? ? ? a ? ? b ( ? ? R ) ;(3)若 ? ? R ,则 ? a // a ;(4)若 ? , ? ? R , ? ? ? ,则 ( ? ? ? ) a 与 a 共线。其中正确命题的个数是_____ A 1 B 2 C 3 D 4 ? ? 4、向量 a ? ( x ,1) 与 b ? ( 4 , x ) 共线且方向相同,则 x =_______ 5、设平行四边形 ABCD 的对角线交于 O,交 AD ? ( 3 , 7 ), AB ? ( ? 2 ,1) ,则 OB =________ 二、典型例题分析: 1、G 是 ? ABC 的重心,求证: GA ? GB ? GC ? 0
? ? ?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? 2、若非零向量 ? , ? 满足 ? ? ? ? ? ? ? ,求 ? 与 ? 所成角的大小。

3、已知 A ( ? 2 ,3 ), B ( 3 , ? 1), C ( ? 3 , ? 4 ) ,且 CM ? 3 CA , CN ? 2 CB ,求 M,N 的坐标和 MN

?

?

?

?

?

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2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4、已知向量 a ? (1, 2 ), b ? ( x ,1), ? ? a ? 2 b , v ? 2 a ? b 且 ? // v ,求 x

5、如图:已知 ABCD 是正方形,BE//AC,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于 F,求证:AF=AE。

三、课堂练习: 1.如图,已知四边形 ABCD 是梯形,AB∥CD,E、F、G、H 分别是 AD、BC、AB 与 CD 的中点,则 EF 等于 A. AD ? BC B. AB ? DC ) ( C )

C. AG ? DH D. BG ? GH 2.下列说法正确的是 ( B A.方向相同或相反的向量是平行向量 B.零向量的长度为 0 C.长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量是在同一条直线上的向量 3.在△ABC 中,D、E、F 分别 BC、CA、AB 的中点,点 M 是△ABC 的重心,则
MA ? MB ? MC 等于

( B. 4 MD
?1

C )

A. O 4. e 1 , e 2 不共线,当 k=

C. 4 MF 120°

D. 4 ME .

时, a ? k e 1 ? e 2 , b ? e 1 ? k e 2 共线.

5.非零向量 a , b满足 | a |? | b |? | a ? b | ,则 a , b 的夹角为

6.在四边形 ABCD 中,若 AB ? a , AD ? b , 且 | a ? b |? | a ? b | ,则四边形 ABCD 的形状是 菱形 . §5.2 向量的数量积 〖复习要求〗1、掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题, 掌握向量垂直的充要条件。2、培养学生的化归思想、数形结合思想和分析问题、解决问题的能力。 〖双基回顾〗 (1) .向量的夹角: 已知两个非零向量 a 与 b,作 OA = a , OB =b,则∠AOB= ? ( 0 0 ? ? ? 180 0 )叫做向量 a 与 b 的夹角。 (2) .两个向量的数量积: 已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 ? ,则 a ?b=︱ a ︱?︱b︱cos ? . 其中︱b︱cos ? 称为向量 b 在 a 方向上的投影. (3) .向量的数量积的性质: 若 a =( x 1 , y 1 ),b=( x 2 , y 2 )则 e? a = a ?e=︱ a ︱cos ? cos ? =
a?b a ? b

(e 为单位向量);
x1 ? y 1
2 2

a ⊥b ? a ?b=0 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ( a ,b 为非零向量);︱ a ︱= a ? a ?

;

=
2

x1 x 2 ? y 1 y 2 x1 ? y 1 ?
2


2

x2 ? y2
2

(4) .向量的数量积的运算律:
a ?b=b? a ;( ? a )?b= ? ( a ?b)= a ?( ? b);( a +b)?c= a ?c+b?c. 一、知识点训练: ? ? ? ? ? ? 1、对于任意向量 a , b , a ? b 与 a ? b 的大小关系是______

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? ? ? ? ? ? ? B a ? b >a a ? b <a ?b ? ? ? 2、已知 a ? 1, b ? 2 ,且 ( a ?

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3

A

? ?b

? ? ? ? D 无法确定 a ? b ? a ?b ? ? ? ? b ) 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为_______

C

A 60° B 90° C 45° D 30° ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3、设 a , b , c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则(1) ( a ? b ) c ? ( c ? a ) b ? 0
? ? ? ? (2) a ? b ? a ? b
?

(3) ( b ? c ) a ? ( c ? a ) b 不与 c 垂直
?
2

? ? ?

? ? ?

?

? ? ? (4) ( 3 a ? 2 b ) ? ( 3 a ? 2 b ) ? 9 a

? ? 4b

2

中,是真命题的有____

A (1)(2) B (2)(3) C (3)4) D (2)4) ? ? ? ? ? 4、已知 a ? ( 3 , 4 ), b ? a 且 b 起点为(1,2),终点为 ( x , 3 x ) ,则 b =____ 5、已知 a ? ( ? , 2 ), b ? ( ? 3 ,5 ) ,且 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是______ A ? ? 10 B ? ? 10 C ? ? 10 D
3 3 3
? ?

?

?

? ?

10 3

二、典型例题分析: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1、判断下列各命题正确与否;(1)若 a ? 0 , a ? b ? a ? c ,则 b ? c ;(2)若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立; (3) ( a ? b ) c ? a ( b ? c ) 对任意向量 a , b , c 都成立;(4)对任一向量 a ,有 a 2 ? a
? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

2

2、三角形 ABC 中,A(-5,1),B(-1,7),C(1,2),求: (1)BC 边上的中线 AM 的长。(2)∠CAB 的平分线 AD 的长。 (3)cos∠ABC 的值。

3、已知点 A(1,2)和 B(4,-1),问能否在 y 轴上找到一点 C,使∠ACB=90°,若不能,说明理由,若能,求出 C 点 坐标。

4、设 OA ? ( 3 ,1), OB ? ( ? 1, 2 ), OC ? OB , BC // OA ,求满足 OD ? OA ? OC 的 OD 的坐标(O 为原点)

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

5、a、b 为非零向量,当 a + tb(t?R)的模取最小值时, (1) 求 t 的值; (2)求证:b 与 a + tb 垂直

三、课堂练习: 1.设 k∈R,下列向量中,与向量 Q ? (1, ? 1) 一定不平行的向量是 A. b ? ( k , k ) B. c ? ( ? k , ? k ) C. d ? ( k ? 1, k ? 1)
2 2 2 2

( D. e ? ( k ? 1, k ? 1)



2.已知点 A1、A2、A3、A4 的坐标分别为 ( x 1 , y 1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) 、 ( x 3 , y 3 ) 、 ( x 4 , y 4 ) 则 A1 A 2 的 坐标与 A 2 A 3 的坐标及 A 3 A 4 的坐标这和等于 ( )

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4

A. 4-x1,y4-y1) B. 1-x4,y1-y4) C. 3-x2,y3-y2) D. 2-x4,y2-y3) (x (x (x (x 3.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0)(3,0)(1,-5) , , ,则第四个点的坐 标为 ( A. (1,5)或(5,-5) B. (1,5)或(-3,-5) C. (5,-5)或(-3,-5) D. (1,5)或(-3,-5)或(5,-5) 4.三点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3)共线的主要条件是 ( A.x1y2-x2y1=0 B. 2-x1) 3-y1)=(x3-x1) 2-y1) (x (y (y C.x1y3-x3y1=0 D. 2-x1) 3-x1)=(y2-y1) 3-y1) (x (x (y
2





5.下列各组向量中:① e 1 ? ( ? 1, 2 ) , e 2 ? ( 5 , 7 ) ② e 1 ? ( 3 , 5 ) , e 2 ? ( 6 ,10 ) ; ③ e 1 ? ( 2 , ? 3 ) , e ? ( 1 , ? 3 ) . 有一组能 2 ;
4

作为表示它们所在平面内所有向量的基底,正确的判断是 A.① B.①③ C.②③

( ) D.①②③

6.已知 a ? ( 3 , 2 ) , b ? ( 2 , ? 1) ,若 ? a ? b与 a ? ? b 平行,则λ = ±1 . (附 1~5 答案:C A D B A) §5.3 两点间的距离公式、线段的定比分点与图形的平移 〖复习要求〗1、掌握两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式,并能熟练应用。2、掌握平移公式。3、 培养学生用化归思想解决问题的能力。 〖双基回顾〗 1、P 分有向线段 P1 P2 所成的比 设 P1、P2 是直线 l 上两个点,点 P 是 l 上不同于 P1、P2 的任意一点,则存在一个实数 ? 使 P1 P = ? P P2 , ? 叫做点 P 分有向线段 P1 P2 所成的比。 当点 P 在线段 P1 P2 上时, ? >0;当点 P 在线段 P1 P2 或 P2 P1 的延长线上时, ? <0; 2、分点坐标公式:若 P1 P = ? P P2 ; P1 , P , P2 的坐标分别为( x 1 , y 1 ),( x , y ),( x 2 , y 2 ) ;
x1 ? ? x 2 1? ? y1 ? ? y 2 1? ? x1 ? x 2 2 y1 ? y 2 2

? ? 则? ? ?

x? y?

? ? ( ? ≠-1) 中点坐标公式: ? , ? ?

x? y?



3、平移公式: 一、知识点训练: 1、已知 A(-1,1),B(3,5),点 P 分有向线段 AB 所成的比为 ? ? ? 2 ,则点 P 的坐标为____ A (7,-9) B (-7,9) C (7,9) D (-7,-9) ? 2、把函数 y ? x 的图象 F 按 a ? ( 0 , 4 ) ,平移到 F/,则 F/的函数式为____ A y ? x?4 B y ? x?2 C y ? 4?x D y ? x?4 3、设 A、B、C 三点共线,且它们的纵坐标分别为 2,5,10,则 A 点分 BC 所得的比为_____ A 3
8
?

?

B 8 C ? 3 D
3

-8

8 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 4、已知 OA ? a , OB ? b ,C 为 AB 上距 A 较近的一个三等分点,D 为 CB 上距 C 较近的一个三等分点,则用 a , b 表

示 OD 的表达式为_____ A
? ? 4 a ? 5b 9 ? 16

?

B 9a ? 7b

?

C 2a ? b D
3

?

?

? ? 3a ? b 4
?

二、典型例题分析: 1、已知点 A ( ? 1, ? 4 ) ,B(5,2),线段 AB 上的三等分点依次为 P1 , P2 ,求 P1 , P2 点的坐标以及 A、B 分 P1 P2 所成的比。

2、求证:三角形三条中线交于一点,且交点与各顶点的距离等于所在中线长的 2 。
3

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3、函数 y ? 3 2 x ? 5 的图象按向量 a 平移后,图象的解析式为 y ? 3 2 x ,求向量 a 。

?

?

4、设函数 f ( x ) ? x ? 1 。

x?2 (1) 试根据函数 y ? 1 的图象作出 f ( x ) 的图象,并写出交换过程; x

(2) f ( x ) 的图象是中心对称图形吗? (3) 指出 f ( x ) 的单调区间。

5、如图, A D , B E , C F 是 ? A B C 的三条高,求证: A D , B E , C F 相交于一点。 证:设 B E , C F 交于一点 H , A B ? a , A C ? b , A H ? h ,
???? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? 则 BH ? h ? a, C H ? h ? b, BC ? b ? a ???? ???? ???? ??? ? ∵ BH ? AC , CH ? AB ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ ?(h ? a ) ? b ? 0 得 (h ? a ) ? b ? (h ? b) ? a , ? ? ? ? ?(h ? b) ? a ? 0 ? ???? ? ???? ? ? ? 即 h (b ? a ) ? 0 , ∴ A H ? B C , ??? ? ? ???? ? ???? ? ?

A E F H

又∵点 D 在 A H 的延长线上, ∴ A D , B E , C F 相交于一点。 三、课堂练习: ? ? ? ? ? ? 1、向量 a , b 满足 a ? 8 , b ? 12 ,则 a ? b 的最大值和最小值是______ 2、若点 P 分 AB 所成的比是 ? ( ? ? 0 ) ,则点 A 分 BP 所成的比是____
? ?

B

D

C

3、把一个函数的图象左移 ? 个单位,再向下平移 2 个单位得到的解析式为:
8 y ? sin( 2 x ?
?

?
4

) ? 2 ,则原函数的解析式为_______
?

4、 已知 | a |? 5 , | b |? 4 , a 与 b 的夹角 ? ? 1 2 0 ? ,则 a ? b ? ______; 5、 已知 | b |? 4 , a 在 b 上的投影是 1 | b | ,则 a ? b ? ______; 6、已知 | a |? 5 , | b |? 4 , a ? b ? ? 3 2 ,则 a 与 b 的夹角 ? ? ______ §5.4 向量的应用 〖复习要求〗理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用,能将当前问题转化为可用向量解决的问题,培养学 生的创新精神和应用能力。 〖双基回顾〗 1.两个向量平行的充要条件,设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), ? 为实数。 (1)向量式:a∥b(b≠0) ? a= ? b;(2)坐标式:a ∥b(b≠0) ? x1y2-x2y1=0; 2.两个向量垂直的充要条件, 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)向量式:a⊥b(b≠0) ? a ? b=0; (2)坐标式:a⊥ b ? x1x2+y1y2=0;
? ? ?

?

?

? ?

?

?

?

? ?

? ?

2

?

?

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3.设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a ? b= a b cos ? =x1x2+y1y2;其几何意义是 a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影 的乘积; 4.设 A(x1,x2) 、B(x2,y2),则 S⊿AOB= 1
2

x1 y 2 ? x 2 y 1
??? ? AB ?



5.平面向量数量积的坐标表示: (1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a ? b=x1x2+y1y2; (2)若 a=(x,y),则 a2=a ? a=x2+y2, a ? 一、知识点训练:
?

( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
2

2

;

?

2 2 x ? y ;

1、若 AB ? 3 e 1 , CD ? 5 e 2 ,且 AD 与 CB 模相等,则四边形 ABCD 是_____ A 平行四边形 B 梯形 C 等腰梯形 D 菱形 2、设坐标原点为 O,抛物线 y 2 ? 2 x 与过焦点的直线交于 A、B 两点,则 OA · 等于_____ OB A 3 B ? 3 C 3
4 4
? ?

?

?

?

?

?

D -3

3、1 ㎏的重物在两根细绳的支持下处于平衡状态,如图:已知两根细绳与水平分别成 30°,60°角,则两根细绳受 到的拉力为______ 4、某人以时速 akm 向东行走,此时正刮着时速 akm 的南风,那么此人感到的风向为_____风速为___ 二、典型例题分析: 1、 空中有一气球, 在它的正西方 A 点, 测得它的仰角为 45°, 同时在它的南偏东 45°的 B 点, 测得它的仰角为 67 0 3 0 ? , A、B 两点间的距离为 266 米,这两点均离地 1 米,问当测量时,此气球离地多少米?

2、如图,用两根绳子把重 10 ㎏的物体 W 吊在水平杆子 AB 上,∠ACW=150°, ∠BCW=120°,求 A 和 B 处所受力的大小(忽略绳子重量)

3、一条河的两岸平行,河的宽度为 d ? 500 m ,一艘船从 A 处出发航行到河的正对岸 B 处,船的航行速度为 ? ? v 1 ? 10 km / h ,水流速度 v 2 ? 4 km / h 。 (1)试求 v 1 与 v 2 的夹角(精确到 1°),及船垂直到达对岸所用的时间(精确到 0.1 min ); (2)要使船到达对岸所用的时间最少, v 1 与 v 2 的夹角应为多少?
? ?

?

?

4、

4、

三、课堂练习:

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? 1、已知:A(2,3),B(1,4)且 1 AB ? (sin ? , cos ? ), ? , ? ? ( ? ? , ? ) ,则 ? ? ? =______

2 2 2 ? ? ? ? ? 2、已知 OA ? a , OB ? b ,且 OA 与 OB 为不共线的非零向量,则 ? AOB 的面积可表示为_____
?

3、已知 ? ABC 的 BC 边长的中点 M,则 AM
AB

2

? BM ? AC
2

2

=_____

2

4 、 运 用 物 理 中 矢 量 运 算 及 向 量 坐 标 表 示 与 运 算 , 我 们 知 道 : (1) 若 两 点 等 分 单 位 圆 时 有 相 应 关 系 式 为 : sin ? ? sin( ? ? ? ) ? 0 , cos ? ? cos( ? ? ? ) ? 0 , (2) 四 点 等 分 单 位 圆 时 有 相 应 关 系 式 为 :
sin ? ? sin( ? ? ? cos( ? ? 3? 2

?
2

) ? sin( ? ? ? ) ? sin( ? ?

3? 2

) ? 0 , cos ? ? cos( ? ?

?
2

) ? cos( ? ? ? )

) ? 0 ,由此可以推知三等分单位圆时的相应关系式为_______

5、已知 a ? k sin ? ? e1 ? ( 2 ? cos ? ) ? e 2 , b ? e1 ? e 2 ,且 a // b , e1 // e 2 , ? ? ( 0 , ? ) (1)求 k 与 ? 的关系;(2)证明 k ?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

3.

6、 在一很大的湖岸边 (可视湖岸为直线) 停放着一只小船, 由于缆绳突然断开, 小船被风刮跑, 其方向与湖岸成 15° 角,速度为 2.5km/h,同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船,已知他在岸上跑的速度为 4km/h,在水中游的速 度为 2km/h. 问此人能否追上小船.若小船速度改变,则小船能被人追上的最大速度是多少?

平面向量单元测试题 一、选择题: 1、 在四边形 ABCD 中,设 AB ? a , AD ? b , BC ? c ,则 DC =_____ A a ? b ? c B b ? (a ? c ) C a ? b ? c D 2、 与 d ? (12 ,5 ) 平行的单位向量为______ A
( 12 13 ,? 5 13 )
?
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? b ?a?c

B

(?

12 13

,?

5 13

)

C

(

12

5 12 5 , ) 或 (? ,? ) 13 13 13 13
? ?

D

(?

12 13

,?

5 13

)

3、 已知 ? ABC 中, a ? 3 , b ? 4 , C ? 30 0 则 BC ? CA =____ C 3 3 D -3 3 6 3 B -6 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 4、 非零向量 a , b , a ? b ? a ? b 是 a ? b 的_____ A A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件
7 3 1 和 1 和8 C 1 和4 D 1 ?8 B ? 和? 4 4 2 4 2 ? ? 6、设 i , j 分别是平面直角坐标系内 x 轴和 y 轴正方向上的两个单位向量,已知 ? ? ? ? ? ? ? ? ? AB ? 4 i ? 2 j , AC ? 7 i ? 4 j , AD ? 3 i ? 6 j ,则四边形 ABCD 的面积是____

C

充要条件

D
?

既不充分也不必要条件

5、 已知两点 P1 ( ? 1, ? 6 ), P2 ( 3 , 0 ) ,则点 P ( ? A
?

, y ) 分有向线段 P1 P2 所成的比 ? 和 y 值分别为_

A 20

B 30

C 5 2 D 45
? ?

7、设 A(1,2),B(3,-1),C(3,4),则 AB ? AC =____ A 11 B 5 C -2 D 1
? ? 8、将函数 y ? 2 x ? 1 按 a 平移使其化简为反比例函数表达式,则 a =____
x ?1 (1, 2 ) B ( ? 1, 2 ) C ( ? 1, ? 2 ) D

A

(1, ? 2 )

9、在 ? ABC 中,角 A、B、C 的对边为 a , b , c ,若 ( a ? b ? c )( a ? b ? c ) ? ab ,则角 C 等于_ A 30° B 45° C 60° D 120°

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?

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? ?

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8

10、已知 OA ? a , OB ? b , OC ? c ,且恰有 a ? 3 b ? 2 c ? 0 ,则 A、B、C 三点_____ A 构成直角三角形 B 构成等腰三角形 C 共线 D 无法确定 11、在 ? ABC 中,已知 a ? xcm , b ? 2 cm , B ? 45 0 ,若利用正弦定理解 ? ABC 有两解,则 x 的取值范围是______
2? x ? 2 2 B 2? x ? 2 2 C x ? 2 D 2? x ? 2 2 12、已知 ? ABC 中,若 ( a 2 ? b 2 ) sin( A ? B ) ? ( a 2 ? b 2 ) ? sin( A ? B ) ,则 ? ABC 是_____ A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰或直角三角形 二、填空题:
? 13、已知:A(2,3),B(1,4)且 1 AB ? (sin ? , cos ? ), ? , ? ? ( ? ? , ? ) ,则 ? ? ? =______

?

?

?

?

?

?

?

A

2 2 2 ? ? ? ? ? 14、已知 OA ? a , OB ? b ,且 OA 与 OB 为不共线的非零向量,则 ? AOB 的面积可表示为_____
?

15、已知 ? ABC 的 BC 边长的中点 M,则 AM
AB

2

? BM ? AC
2

2

=_____

2

16 、 运 用 物 理 中 矢 量 运 算 及 向 量 坐 标 表 示 与 运 算 , 我 们 知 道 : (1) 若 两 点 等 分 单 位 圆 时 有 相 应 关 系 式 为 : sin ? ? sin( ? ? ? ) ? 0 , cos ? ? cos( ? ? ? ) ? 0 , (2) 四 点 等 分 单 位 圆 时 有 相 应 关 系 式 为 :
sin ? ? sin( ? ? ? cos( ? ? 3? 2

?
2

) ? sin( ? ? ? ) ? sin( ? ?

3? 2

) ? 0 , cos ? ? cos( ? ?

?
2

) ? cos( ? ? ? )

) ? 0 ,由此可以推知三等分单位圆时的相应关系式为_______

三、解答题: 17、已知 a , b 是两个不共线非零向量,若 AB ? a ? b , BC ? 2 a ? 8 b , CD ? 3 ( a ? b ) (1) 求证:A、B、D 三点共线;(2)确定实数 k 的值,使 k a ? b 与 a ? k b 共线。
? ? ? ?
? ?
?

?

?

?

?

?

?

?

?

18、设 A、B 为单位圆上两点,O 为坐标原点,(A、O、B 不共线)(1)求证: OA ? OB 与 OA ? OB 垂直;(2)当
? xOA ?

?

?

?

?

?
4

, ? xOB ? ( ?

? ? 且 ? ? 3 , ) OA ? OB ? 时,求 ? xOB 的正弦值。
4 4 5

19、 海中有岛 A, 已知 A 岛四周 8 海里内有暗礁, 今有一货轮由西向东航行, B 处望见 A 岛在北偏东 75°, 20 2 在 行 海里至 C 后见此岛在北偏东 30°,如货轮不改变航向继续航行,问有无触礁危险?

20、已知 a ? k sin ? ? e1 ? ( 2 ? cos ? ) ? e 2 , b ? e1 ? e 2 ,且 a // b , e1 // e 2 , ? ? ( 0 , ? ) (1)求 k 与 ? 的关系;(2)证明 k ?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

3.

2005 届中山市东升高中?高三数学

第一轮总复习

讲义?代数?平面向量

05--

9

21、在一很大的湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船,由于缆绳突然断开,小船被风刮跑,其方向与湖岸成 15°角,速度为 2.5km/h,同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船,已知他在岸上跑的速度为 4km/h,在水中游 的速度为 2km/h. 问此人能否追上小船.若小船速度改变,则小船能被人追上的最大速度是多少?

? ? 22 、 设 平 面 向 量 a ? ( 3 , ? 1 ), b ? ( 1 , 3 ) , 若 存 在 不 同 时 为 0 的 两 个 实 数 s , t , 及 实 数 k ? 0 , 使 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 且 x ? y ,(1)求函数关系式 s ? f (t ) ;(2)若 s ? f (t ) 在 ?1 . ? ? ? 是单调函数,求证: x ? a ? (t ? k )b , y ? ? s a ? tb

0 ? k ? 3。


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