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【步步高】2013-2014学年高中数学 第二章 2.1.1椭圆及其标准方程(二)基础过关训练 新人教A版选修1-1

2.1.1
一、基础过关

椭圆及其标准方程(二)

1.设 F1,F2 为定点,|F1F2|=10,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=8,则动点 M 的轨迹是 ( A.线段
2 2

) )

B.椭圆

C.圆

D.不存在 (

2.椭圆 25x +16y =1 的焦点坐标为 A.(±3,0) C.?±

? 1 ? B.?± ,0? ? 3 ?
3? ? D.?0,± ? 20? ?

? 3 ,0? ? ? 20 ?
x2
2

3.椭圆 +y =1 的两个焦点为 F1、 2, F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交, F 过 一个交点为 P, 4 则|PF2|等于 3 A. 2 ( B. 3 C. 7 2 D.4 )

x2 y2 4.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0),M 为椭圆上一动点,F1 为椭圆的左焦点,则线段 MF1 的中点 a b P 的轨迹是
A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线 ( ) ( )

5.曲线 + =1 与 + =1 (0<k<9)的关系是 25 9 9-k 25-k A.有相等的焦距,相同的焦点 B.有相等的焦距,不同的焦点 C.有不相等的焦距,不同的焦点 D.以上都不对

x

2

y

2

x

2

y

2

x2 y2 4 6.椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF1⊥F1F2,|PF1|= , a b 3
14 |PF2|= .求椭圆 C 的方程. 3 7.△ABC 的三边 a,b,c 成等差数列,且 a>b>c,A,C 的坐标分别为(-1,0),(1,0),求顶 点 B 的轨迹方程. 二、能力提升

x y → → → 8.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,若点 P 在椭圆上,且PF1·PF2=0,则|PF1+ 16 7 → PF2|=________. ? 1 ? ? 1?2 2 9.已知 A?- ,0?,B 是圆 F:?x- ? +y =4(F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平分线交 ? 2 ? ? 2? BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为______________.
10.曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a (a>1)的点的轨 迹,给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点;②曲线 C 关于坐标原点对称;③若点 P 在曲线 C 上,则△F1PF2 的
2

2

2

1

1 2 面积不大于 a . 2 其中,所有正确结论的序号是__________. 11.已知点 M 在椭圆 + =1 上,MP′垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为 P′,并且 M 为 36 9 线段 PP′的中点,求 P 点的轨迹方程. 12.P 是椭圆 2+ → →

x2

y2

x2 y2 → =1 (a>b>0)上的任意一点,F1,F2 是它的两个焦点,O 为坐标原点,OQ= a b2

PF1+PF2,求动点 Q 的轨迹方程.
三、探究与拓展 1 13.在面积为 1 的△PMN 中,tan∠PMN= ,tan∠MNP=-2,建立适当的平面直角坐标系, 2 求以 M,N 为焦点,且经过点 P 的椭圆的方程.

2

答案 1.D 2.D 3.C 4.B5.B

6. + =1 9 4 7. + =1 (-2<x<0) 4 3 4 2 2 8.6 9.x + y =1 3 10.②③ 11.x +y =36 12. 2+ 2=1 (a>b>0) 4a 4b 13.解 如图所示,以 MN 所在的直线为 x 轴,线段 MN 的垂直平分线为 y 轴, 建立平面直角坐标系. 设椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0),
2 2

x

2

y

2

x2 y2

x2

y2

x2 y2 a b

M(-c,0),N(c,0),P(x0,y0).
1 由 tan∠PMN= , 2 tan∠PNx=tan(π -∠MNP)=2, 得直线 PM,PN 的方程分别是 1 y= (x+c),y=2(x-c). 2

?x =5c, ? 3 联立解得? 4 ?y =3c, ?
0 0

?5 4 ? 即点 P? c, c?. ?3 3 ? 1 又∵S△PMN= |MN|·|y0| 2 1 4 4 2 = ×2c× c= c , 2 3 3
4 2 3 ∴ c =1,即 c= , 3 2 ∴点 M?-

? ?

3 ? ? 3 ? ,0?,N? ,0?, 2 ? ?2 ?

P?

?5 3 2 3 ? , ?. 3 ? ? 6
3?2 ?2 3?2 ?5 3 ? + ? +? ?+ 6 2 ? ? 3 ? ? 3?2 ?2 3?2 ?5 3 ? - ? +? ? = 15, 6 2 ? ? 3 ? ?

∴2a=|PM|+|PN|= 即 a=

15 15 3 2 2 2 .∴b =a -c = - =3. 2 4 4

∴所求椭圆的方程为 + =1. 15 3 4

x2

y2

3

4


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