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2.3 直线平面垂直的判定及其性质


2.3.2

平面与平面垂直的判定

地球赤道面 卫星轨道面

概念 直线上的一点将直线分割成两部分,每一部 分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成 两部分,每一部分叫半平面.

射线 射线

半平面

半平面

概念
A

从一点出发的两条射线, 构成平面角. 记作?AOB 同样,从一条直线出发的 两个半平面所组成的图形叫 做二面角.这条直线叫做二面 角的棱,这两个半平面叫做 二面角的面.
?

O

B

m

?

记为:二面角?-m-?

二面角的图示

二面角的记号 (1)以直线 l 为棱,以 ? , ? (2)以直线AB为棱,以 ? , ? 为半平面的二面角记为: 为半平面的二面角记为: ? ?l ? ? ? ? AB ? ?
?
l

?
B

?
A

?

思考3 两个相交平面有几个二面角?

探究 如何用平面角来表示二面角的大小? β B l
二面角?-l-?

O
A

α

β
B l O A α

二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个 面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角.

∠ A O B 即 为二面角α-AB-β的 平面角

注意:二面角的平面角必须满足: (1)角的顶点在棱上. (2)角的两边分别在两个面内. (3)角的边都要垂直于二面角的棱.

二面角的取值范围

?0 ,180 ?或 [0,? ]
0 0

β l
0度角 00~1800

α
180度角

例1.在正方体中,找出二面角C1-AB-C的平 面角,并指出大小.
D1 B1 C1

A1

N M D C

A

B

端点

1.定义法: 根据定义作出来.

小结二面角的平面角的作法: ?
A o

l

?
B

2.作垂面: 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到.
3.应用三垂线定理: 应用三垂线定理或其逆定理作 出来.

o

?
A
l

?
B

l

A
o

?
?

l

B

第2课时

平面与平面垂直的判定

平面与平面垂直的判定
定义 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面 角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
记为??? β a A α b ? ?

判定定理:如果一个平面经过另一个平面的 垂线,则这两个平面垂直.
β

a?? a ? 面?

?? ? ?
α

a

A

线线垂直

线面垂直

面面垂直

例1 如图,⊙O在平面α内,AB是⊙O的直径, PA⊥α,C为圆周上不同于A、B的任意一点,求证: 平面PAC⊥平面PBC. P

C A

O

B

证明: ? PA ? 面? , BC ? 面?
又? AB为圆的直径

? PA ? BC ? AC ? BC

? AC ? BC ? ? PA ? AC ? A ? ? PA ? 面PAC ? ? AC ? 面PAC ?

PA ? BC

BC ? 面PAC
BC ? 面PBC

? ? ?

? 面PAC ? 面PBC

探究: 已知AB ? 面BCD, BC ? CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?

AB ? 面BCD ? 面ABC ? 面BCD AB ? 面BCD ? 面ABD ? 面BCD CD ? 面ABC ? 面ABC ? 面ACD
B

A

D C

小结
1. 知识小结 1)二面角及其平面角 2)两个平面互相垂直

2. 思想方法
线线垂直 线面垂直 面面垂直

作业
P69练习 P73习题2.3 A,1,2,3,4.

2.3.3

直线与平面垂直的 性质

复习

a??

直线与平面垂直的定义是什么? 直线与平面垂直的判定定理是什么?

a

α

思考1 如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1,BB1, CC1,DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何?它们 彼此之间具有什么位置关系? C1 D
1

B1 C B

A1 D A

思考2

如果直线a,b都垂直于同一条直线l,那么直 线a,b的位置关系如何?

l
a
相交

l
a b
平行

b

l
a
异面

b

思考3 如果直线a,b都垂直于平面α,那么a与b 一定平行吗?
a b

?

直线与平面垂直的性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行
a b

?
a ??? ? ? a // b b ???

直线与平面垂直
性质定理的证明

反证法证明:
a b b’
c

α

O

如图,已知 ? ? ? ? l , CA ? ? ,于点A, CB ? ? 于点B, a ? ? , a ? AB, 求证: a // l .
β B α l A a

例1

C

小结
直线与平面垂直的性质定理可简述为 “线面垂直,则线线垂直” “线面垂直,则线线平行” 思想方法 线面垂直的性质定理不但提供了用线面垂 直来证明线线平行的方法,也提供了作平行线 的一种方法.

作业
P71练习1,2 P73习题2.3 A组,5,6. B组1,2

2.3.4

平面与平面垂直的性质

复习1

两个平面相互垂直
α

三个平面两两垂直
α β

β

l γ

l

复习2

两个平面垂直的判定

判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线, 那么这两个平面互相垂直.
α

β

l

1.黑板所在平面与地面所在平面垂直,在黑板 上是否存在直线与地面垂直?若存在,怎样画线?
α

β

2.如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,平面A1ADD1 与平面ABCD垂直,其交线为AD,直线A1A,D1D都在 平面A1ADD1内,且都与交线AD垂直,这两条直线与 平面ABCD垂直吗? C D
1 1

B1 C B

A1

D
A

3. 设 ? ? ? ,? ? ? ? CD , , AB ? ? , AB ? CD 垂足为B,那么直线AB与平面?的位置关系如何?为 什么? β E D B C A

α

两个平面垂直的性质
性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直.
β
a l α A

? ?? ? ? ? ? ? ? l? ? a ? ? ? a?? ? ? a?l ?

面面垂直?线面垂直

若α⊥β,过平面α内一点A作平面β的垂线a, 那么垂线a与平面?具有什么样的位置关系? α

A

反证法证明点B在两个 平面的交线上

β

B B’

注意:过一点只能作一 条直线垂直于已知平面.

结论
如果两个平面互相垂直,那么经过一个平面 内一点且垂直于另一个平面的直线,必在这个平 面内. α A

β

B

例1.如图,已知α⊥β,a⊥β,a??,试判 断直线l与平面α的位置关系,并说明理由.

α b l β A a

例2 如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,AB=2, BC ? 2,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面 ABCD. (1)证明:侧面PAB⊥侧面PBC; (2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角. P

A
E B C

D

对于三个平面?、?、?,如果???,???,β??, ???= l ,那么直线l与平面? 的位置关系如何?为什么? β 解答:在?内分别 作平面的垂线a、b, 则a? l,b? l, a与 b必相交. 所以l⊥?

l
α b

a

?

小结
1. 知识小结 几个结论和性质的应用

2. 思想方法
面面垂直 线面垂直或线线垂直

作业
P73练习:1,2. P73习题2.3A组:7,8,9 P74习题2.3B组:3,4


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