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2010-2011学年第二学期期末高二数学(理科)试题及答案

肇庆市中小学教学目标管理 2010—2011 学年第二学期统一检测题 高二数学(理科)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 计算 (1 ? i) 2 ? A. 2i B. -2i C. 2+2i D. 1+2i

2. 若质点 M 按规律 s ? t 2 运动,则 t=2 时的瞬时速度为 A. 1 3. 计算 ? x 2 dx ?
0 1

B. 2

C. 4

D. 6

A. 2

B. 1

C.

1 2

D.

1 3

4. 若 z ? a 2 ? a ? 2 ? (a 2 ? 3a ? 2)i 为纯虚数,则实数 a 的值为 A. 1 B. 2 C. -2 D. 1 或-2

5. 甲有三本不同的书,乙去借阅,且至少借 1 本,则不同借法的总数为 A. 9 B. 7 C. 6 D. 3 6. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1) ,且 P(2 ? X ? 4) ? 0.6826 ,则 P(X ? 4) ? A. 0.1588 B. 0.1587 C. 0.1586 D. 0.1585

7. (1 ? 2 x ) 3 (1 ? 3 x ) 5 的展开式中 x 的系数是 A. -4 B. 4 C. -2 D. 2

3 3 8. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 的图象关于点 (? ,0) 对称,且满足 f ( x) ? ? f ( x ? ) , 4 2
f (?1) ? 1 , f (0) ? ?2 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2011) ?

A. 1

B. 0

C. -1

D. -2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 请把答案填在题中横线上. 9. 已知复数 z ? ?3 ? 4i ,则 | z |?



.

10. 某位母亲通过记录她儿子 3 到 9 岁的身高,建立了身高 y(cm)与年龄 x(岁)的回归方程
? y ? 7.20 x ? 60.45 ,她用这个模型预测儿子 10 岁时的身高大约是



cm.

11. 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,则至多有 1 名女生参加演讲比赛的概 率为 ▲ . ▲ .

12. 在极坐标系 ?, ) 0 ? ? ? 2? ) 曲线 ? ? 2 sin ? 与 ? cos? ? 1 的交点的极坐标为 ( ?( 中,

? ?x ? 1 ? t ? x ? 2 2 cos? 13. 已知⊙O 的方程为 ? (?为参数) ,则⊙O 上的点到直线 ? (t 为参数) ? y ? 2 2 sin ? ?y ? 1? t ?
的距离的最大值为 ▲ .

14.观察下列式子: 1 ? 可以猜想: 1 ?

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? , 1 ? 2 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,…,根据以上式子 2 2 3 4 2 2 3 2 3 4

1 1 1 ? 2 ??? ? 2 2 3 2011 2



.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?
sin x . x

(1)求函数 f (x) 的导数; (2)求曲线 y ? f (x) 在点 M(?,0)处的切线方程.

16. (本小题满分 12 分) 为了了解某市创建文明城市过程中,学生对创建工作的满意情况,相关部门对某中学的 100 名学生进行调查,得到如下的统计表: 满意 男生 女生 合计 50 15 100
4 . 5

不满意

合计

已知在全部 100 名学生中随机抽取 1 人对创建工作表示满意的概率为

(1)利用概率估计统计表中的空白处相应的数据,并请填在统计表中; (2)能否有 99.5%的把握认为该中学的学生对创建工作的满意情况与性别有关?

附:
P( K 2 ? k )

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.01 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
K2 ?

n(ad ? bc) 2 . (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )

17. (本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 的第 1 项 a1 ? 1 ,且 a n ?1 ? (1)计算 a 2 , a 3 , a 4 ; (2)猜想 a n 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
an (n ? N * ) . 1 ? an

18. (本小题满分 14 分) 圆柱形金属饮料罐容积一定时,它的高与底面半径应怎样选择,才能使所用材料最省?

19. (本小题满分 14 分) 袋子里有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球,今从袋子里随机取球. (1)若有放回地取 3 次,每次取 1 个球,求取出 1 个红球 2 个黑球的概率; (2)若无放回地取 3 次,每次取 1 个球, ①求在前 2 次都取出红球的条件下,第 3 次取出黑球的概率; ②求取出的红球数 X 的分布列和数学期望.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a x ?
x?2 (a ? 1) . x ?1

(1)讨论函数 f (x) 的单调性; (2)函数 f (x) 是否有负零点,若有,请求出负零点;若没有,请予以证明.

2010—2011 学年第二学期统一检测题 高二数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 B 6 B 7 D 8 A

二、填空题 9. 5 12. ( 2 , ) 4 三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ?( x) ?
cos x ? x ? sin x ? 1 x cos x ? sin x . ? x2 x2

10. 132.45

11. 14.

4 5

?

13. 3 2

4021 2011

(4 分)

(2)由(1)得在点 M(?,0)处的切线的斜率 k ? f ?(? ) ? 所以在点 M(?,0)处的切线方程为 y ? 0 ? ?
1

? cos? ? sin ? 1 (8 ? ? , 分) 2 ? ?
x

?

( x ? ? ) ,即 y ? ?

?

?1.

(12 分)

16. (本小题满分 12 分) 解: (1)填统计表如下: 满意 男生 女生 合计 (2) K 2 ? 50 30 80 不满意 5 15 20 合计 55 45 100 (10 分) (6 分)

n(ad ? bc) 2 100 (50 ? 15 ? 5 ? 30) 2 ? ? 9.091 . (a ? c)(b ? d )( a ? b)(c ? d ) 80 ? 20 ? 55 ? 45

因为 K 2 ? 9.091 ? 7.879 ,所以有 99.5%的把握认为该中学的学生对创建工作的满意情况与性 别有关. (12 分)

17. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意,当 n=1 时, a1 ? 1 ; 当 n=2 时, a 2 ?
a1 1 1 ? ? ; 1 ? a1 1 ? 1 2

(1 分)

a2 当 n=3 时, a3 ? ? 1 ? a2

1 2 1 1? 2
1 3 1 1? 3

?

1 ; 3

(2 分)

当 n=4 时, a 4 ?

a3 ? 1 ? a3

?

1 . 4

(3 分)

(2)猜想 an ?

1 (n ? N * ) . n

(6 分) (8 分)
1 , k

①当 n=1 时,猜想显然成立; ②假设当 n=k( k ? N * )时猜想成立,即 ak ?
1 k 1 1? k

(9 分)

那么, a k ?1

ak ? ? 1 ? ak

?

1 , k ?1

(11 分)

所以,当 n=k+1 时猜想也成立. 根据①和②,可知猜想对任何 n ? N * 都成立.

(12 分) (14 分)

18. (本小题满分 14 分) 解:如图,设圆柱的高为 h,底面半径为 R, 则表面积 S ? 2?R ? 2?Rh .
2

R

(2 分)
h

V 由圆柱的体积 V ? ?R h ,得 h ? , ?R 2
2

(4 分) (6 分) (8 分)

因此 S ( R) ? 2?R 2 ? 2?R ?
S ?( R) ? 4?R ? 2V , R2

V 2V (R>0). ? 2?R 2 ? 2 R ?R

令 S ?( R) ? 4?R ?

V 2V . ? 0 ,解得 R ? 3 2 2? R

(9 分)

因为,当 R ? (0, 3 所以, R ? 3

V V ) 时, S ?( R) ? 0 ;当 R ? (3 ,??) 时, S ?( R) ? 0 ; (11 分) 2? 2?

V V V ? 23 ? 2R . 是函数 S (R) 的极小值点,也是最小值点,此时, h ? 2 2? 2? ?R

(13 分) 故当罐高是底面半径的 2 倍时,所用材料最省. (14 分)

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)记“取出 1 个红球 2 个黑球”为事件 A,根据题意有
3 4 144 1 . P( A) ? C3 ? ? ( ) 2 ? 7 7 343

答:取出 1 个红球 2 个黑球的概率是

144 . 343

(4 分)

(2)①方法一:记“在前 2 次都取出红球”为事件 B, “第 3 次取出黑球”为事件 C,则
4 P( BC ) 35 4 3? 2 1 3? 2 ? 4 4 ,所以 P(C | B) ? ? ? . P( B) ? ? , P( BC ) ? ? 1 P( B) 5 7?6 7 7 ? 6 ? 5 35 7

方法二: P(C | B) ?

n( BC ) 3 ? 2 ? 4 4 ? ? . n( B ) 3? 2 ? 5 5

答:在前 2 次都取出红球的条件下,第 3 次取出黑球的概率是 ②随机变量 X 的所有取值为 0,1,2,3.
P ( X ? 0) ? P ( X ? 2) ?
3 3 C 4 A3 C 2 C 1 A 3 18 4 ? , P ( X ? 1) ? 4 3 3 ? , 3 3 35 35 A7 A7 1 3 C 4 C 32 A3 12 C 3 A3 1 ? , P ( X ? 3) ? 3 3 3 ? . 3 35 35 A7 A7

4 . 5

(8 分)

随机变量 X 的分布列如下: X 0 1 2 3

P

4 35

18 35

12 35

1 35

(12 分) 所以 EX ? 0 ?
4 18 12 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 35 35 35 35 7

(14 分)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)函数 f (x) 的定义域为 (??,?1) ? (?1,??) .
f ?( x) ? a x ln a ? 3 , ( x ? 1) 2

(1 分) (3 分)

因为 a ? 1 ,所以 a x ? 0 , ln a ? 0 ;又 x ? ?1,

3 ? 0. ( x ? 1) 2

所以,当 x ? (??,?1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (?1,??) 时, f ?( x) ? 0 . (4 分) 故函数 f (x) 在(-?,-1)和(-1,+?)上是单调递增的. (2)函数 f (x) 没有负零点. 方法一:
f ( x) ? a x ? x?2 3 ? ax ? ?1 x ?1 x ?1 3 ? 0 ,所以 f ( x) ? 1 x ?1

(5 分) (7 分)

(8 分) (9 分) (10 分)

当 x ? ?1 时,因为 a x ? 0 , ?

故函数 f (x) 在(-?,-1)上没有零点; 当 ? 1 ? x ? 0 时, 因为函数 f (x) 在(-1,+?)上是单调递增的, 所以,当 ? 1 ? x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ,又 f (0) ? a 0 ? 所以 f ( x) ? ?1 , 故函数 f (x) 在(-1,0)上没有零点. 综上可知,函数 f (x) 没有负零点. 方法二:反证法 假设函数 f (x) 有负零点,即存在 x0 ? 0 ,使 f ( x0 ) ? 0 ,即 a x0 ?

3 (11 分) ? 1 ? ?1 , 0 ?1

(12 分) (13 分) (14 分)

x0 ? 2 ? 0 . (8 分) x0 ? 1

所以 a x0 ?

2 ? x0 1 ? x0

? ?

(9 分)

若 x 0 ? ?1,则 故?与?矛盾.

2 ? x0 2 ? x0 ? 0 ,而 a ? 1 , a x ? 0 ,所以 a x0 ? 1 ? x0 1 ? x0

(10 分) (11 分)

若 ? 1 ? x0 ? 0 ,则

2 ? x0 3 ? (1 ? x0 ) 3 ? ? ?1 ? 2 , 1 ? x0 1 ? x0 1 ? x0
2 ? x0 1 ? x0

而 a ? 1 , 0 ? a x ? 1 ,所以 a x0 ? 故?与?矛盾.

?

(12 分) (13 分) (14 分)

综上可知,假设不成立,所以原命题正确,即函数 f (x) 没有负零点.


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