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一类数列不等式的证明方法


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— —2 数学通讯 — 上半月 ) 0 1 1 年第 7、 8期(              · 辅教导学 ·

一类数列不等式的证明方法
林德宽
( ) 湖北省老河口市一中数学组 , 4 4 1 8 0 0

一直是高考的    与数列有关的 不 等 式 证 明 题 , 热点 , 也是学生学习的难 点 . 本文通过对两道试题 的解法探究 , 介绍证明这类数列不等式的方法和 策略 , 供大家参考 . 问 题1  ( 等比数 2 0 0 9年山东卷理科第2 0题 ) 的前n 项和为Sn , 已知对任意的n ∈ N+ , 点 列{ a n}
x ( 均在函数y =b n, S r( b>0且b≠1, b, r均 + n) 为常数 )的图象上 . ( Ⅰ )求r 的值 ;

b 1 b 1 b 1 b 1 左 边 = 1 + · 2 + ·…· k + · k+1 + b b b b 1 2 k k 1 +
= 3 · 5 · 7 ·…·2 k+1·2 k+3 2 4 6 2 k 2 k+2

2 k+3 2 k+3 k +1· =   > 槡 k+2 2 2 k +1     槡 = > ( ) ) k+1 k+2 +( 2 k +1     槡 ( ) ( ) k+1 k+2 槡 k   +1 槡

( ( ) ( 记b l o a n∈ Ⅱ )当b = 2 时 , g n =2 2 n +1 1 +1 证 明 :对 任 意 的 n ∈ N+ ,不 等 式b · N+ ) . b 1

b b 2 +1 n +1 ·…· n+1 成立 . > 槡 b b 2 n 第( 答 案 为 r =-1, 从而a Ⅰ )问比较 容 易 , n n 1 - ) b-1 b . =(
对于第 ( 当b = 2 时 , Ⅱ )问 , n 1 n 1 - ( ) a = 2- , n = b-1b
n 1 - ( )= 2 ( )= 2 b l o a l o 2 n, +1 g g n =2 2 n +1 2 b 1 n+1, 从而 n + = 2 所以 b n 2 n b b 1 +1 b n +1 · 2 +1·…· b b b 1 2 n 3 5 7 2 n+1 . = · · ·…· 2 4 6 2 n b 1 1 +1 b 下面从不同角度来思考不等式 · 2+ b b 1 2 b n +1 ·…· n +1 的证明方法 .   > 槡 b n 思路 1: 数学归纳法 .

k   = 槡 +2, 即当 n = k+1 时 , 不等式也成立 . 由 ①、 可知不等式成立 . ②
说明   数学归纳法是解决与自然数n 有关的 问题的常用方法 . 思路 2: 构造数列法 . 2 n+1 要 证明 3·5·7·…· 即 n   +1, > 槡 2 n 2 4 6 3 · 5 · 7 ·…·2 n+1 2 4 6 2 n 证: > 1. n +1   槡 3 · 5 · 7 ·…·2 n+1 2 4 6 2 n , 令c 则 n = n +1   槡

c 2 n+3· 槡 n n 1 + +1   = c 2 n+2 槡 n n +2   n+1+n+2 2 = ( ( ) n+2 槡n+1)
> ( ) ( ) n+1 n+2 槡 = 1, ( ) ( 槡n+1 n+2)

左边 = 3 , 右边 = 槡 因为 3 2, ① 当n =1时 , 2 2 不等式成立 . 2, >槡

b 1 即 1+ · ② 假 设 当 n = k 时 不 等 式 成 立, b 1 b b 1 k+1 2 +1 ·…· k + = 3 · 5 · 7 ·…·2 > b b 2 k 2 4 6 2 k k   +1 成立 . 槡
则当 n = k+1 时 ,

所以c n 1 >c n. + 3 , 又c 所以c 1 = n >c 1 >1 > 1, 2 2   槡 3 · 5 · 7 ·…·2 n+1 2 4 6 2 n 所以 > 1, n +1   槡

n+1 即 3 · 5 · 7 ·…·2 n   +1. > 槡 2 2 4 6 n

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说明   对所证明的不等式进行变形后 , 构造 合适的数列 , 把问题转化为考虑数列{ c n }的 单 调 这也是证明不等式的常用方法之一 . 性, 思路 3: 利用取对数化乘积式为求和式后再 证明 .

说明   这两种方法是证明数列和式不等式的 关键 是 构 造 出 合 适 的 数 列 { 常用方法 , d n }或 找 出 定积分的模型 . 当然 , 对 于 问 题 1, 还可以采用其他的方法来 进行证明 , 这里不一一介绍 , 留给读者思考 . 问题2  ( 2 0 1 0年湖北卷理科第2 1题 )已知函

n+1 对不等式 3 · 5 · 7 ·…·2 n+1 > 槡 n 2 4 6 2 两边取对数 , 从而只需要证明
l n 2 3 5 7 n 1 n +l n + … +l n + +l n 2 4 6 2

b ( )的 图 象 在 点 ( 数 f( x)= a x+ a >0 1, +c x ) )处的切线方程为 y = x -1. 1 f( ( c; Ⅰ )用 a 表示出b,
( 若f( 上恒成立 , 求 x) n x 在[ 1, + ∞) Ⅱ) ≥l ; a 的取值范围 1 1 1 ( ) ( 1+ + + … + >l n n+1 Ⅲ )证明 : 2 3 n

1 ( ) l n n+1 ① 2 关于不等式 ① 的证明 , 可以这样来考虑 : 若设 n n     +1 = 槡 >l

n+1, 2 则不等式左边可以理解为数列 { c n c n =l n} 2 n , 的前 n 项和Sn , 如果能 够 构 造 数 列 { 使 其 前n d n}
( ), 项的和Tn = 1 那么我们只要能够证明 l n n+1 2 c n >d n 即可 . ( 设数列 { 满足 前 n 项 的 和 Tn = 1 d l n n+ n} 2 1 ( n+1) ) , , 则d 于是只需要 1 l n n =T n -T n 1 = - n 2 2 n+1) 1 ( n 1, ( 这等价于证明 ( 证明l n + ) n 2 n > l 2 n 2 n 2 2 2 ) 此不等式显然成 n n+1>4 n n, +1 =4 +4 +4 立, 从而不等式 ① 成立 . 关于不等式 ① 的证明 , 根据表达式的结构 , 也 可以利用构造定积分的方法来证明 .

n ( ) n 1 . + ( ) ≥ 2 n+1 第( 第 c = 1-2 a; Ⅰ )问的答案为b = 1-a,
( 问的答案为a ≥ 1 , 过程略 . 第( 问是一道 Ⅱ) Ⅲ) 2 数列不等式问题 , 下面介绍它的证明方法 . 思路 1  利用第 ( Ⅱ )问的结论 . 由( 当a ≥ 1 时 , 有 f( x)≥l n x( x≥ Ⅱ )知 , 2 ) 1 . 1 1 令a = 1 , 有 f( x) x- ) n x( x> = ( ≥l 2 2 x 1( 1 ) , 且当 x > 1 时 , 1 x - )>l n x. 2 x 令 x = k+1, 有 k

k+1 2 因为l n = 2 k


2 k 1 +


k 2

1 , d x x
2 k 1 +

所以

k=1

n ?l

2 k+1 = 2 k



k k=1 2

? ∫

1 d x. x

k+1 1 ( k+1 k ) l n - < k 2 k k +1
= 1( 1 1 ) , + 2 k k+1

1 在( , 注意到函数f( 上单调递 x) 0 + ∞) = x 减, 所以 故
2 k 1 + 2 k


n n

1 d x> x

2 k 2 + 2 k 1 +



1 , d x x 1 , d x 2 k 1 x + 1
2 k 2 +

1 1 1 ) ( ) , 即l n k+1 n k< ( + k = 1, -l 2 k k+1 …, 2, 3, n. 将上述 n 个不等式依次相加得 ( ) l n n+1 1 ( 1 1 … 1) 1 , + + + + + ( ) 2 2 3 2 n+1 n 整理得 < 1+ 1 1 … 1 + + + 2 3 n

2 k 1 +

k k=1 2

? ∫

1 d x> x



k=1

? ∫

2 k

从而有 2 k 1 2? l n + = 2? k 2 k=1 k=1

2 k 2 + 2 k 1 +

∫ xdx 1 1 >? ∫ xdx + ? ∫ xdx

2 k 1 +

k 1 + k=1 2

k k=1 2

1 k+1 d x= ? l n x k k=2 ( ) n n+1 . =l 即不等式 ① 成立 . =

2 n 2 k 1 + +

2 n 2 +

? ∫
k=2 k

n ( ) n n+1 . + ( >l ) 2 n+1 说明   此法从不等式的结构形式为切入口 , 由于右边是n个分式的和 , 联想到在不等式的左边
也构造 n 个分式的和与之 匹 配 、 与 之 呼 应, 创设了

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使问 题顺 利解 决. 这 n 个同方向 不 等 式 累 加 求 和 , 1 一解法 的 关 键 是 在 1 ( x - )> l n x 中 令x = 2 x

∴1+

1 1 … 1 1 + + + + 2 3 k k+1

k+1, 不太容易想到 . k 思路 2  用数学归纳法证明 .
1 ( )当n =1时 , 左边 =1, 右边 =l 1 n 2+ < 4 不等式成立 . 1, ( )假设 n =k 时不等式成立 , 即 1+ 1 + 1 2 2 3 +…+ 1 k ( ) , 那么 n k+1 + ( >l ) k 2 k+1 1 1 … 1 1 + + + + 2 3 k k+1

k+1 ( ) n k+2 . + ( >l ) 2 k+2
这就是说 , 当 = k+1 时 , 不等式也成立 . ) ( ) , 根据 ( 和 可知不等式对任何 1 2 n ∈ N+ 都 成立 . 说明   数学归纳法是解决与正整数有关命题 的常规方法 , 应注意掌握 . 思路 3: 构造数列 , 利用数列的单调性 . : 构造数列 { a n}

a n = 1+ n , - ( ) 2 n+1 则 a k 1 -a k +

1 1 1 ( ) n n +1 + +…+ -l 2 3 n

1+

k 1 ( ) n k+1 + ( + >l ) 2 k+1 k+1 k+2 ( ) n k+1 . =l + ( ) 2 k+1
从而只需证

1 k ( ) ( ) l n k+1 l n k+2 = + + ( - - ) k+1 2 k+1

k+2 ( ) l n k+1 + ( ) 2 k+1 k+1 , ( ) n k+2 + ( >l ) 2 k+2 k+2 k+1) k+2 即证 1 ( n . - >l k+1 2 k+1 k+2
由( 当a ≥ 1 时 , 有 f( x)≥l n x( x≥ Ⅱ )知 , 2 1 1 ) , 令 a = 1, 有 f( 1 x)= ( x - )≥ l n x( x x 2 2 ) . ≥1 再令 x = k+2, 得 k+1 1( k+2 k+1) k 2 n + , - ≥l 2 k+1 k+2 k+1

k+1 ( ) k+2 2 1 k+2 k+1) k+2 n . = ( - -l 2 k+1 k+2 k+1 , 同 思路2可得a 故a 数列 a k 1- k >0 k 1 >a k, + + { } , 是递增数列 a n
1 3 1 3 又a l n 2- = -l n 2= ( l n e - 1 = 1- 4 4 4 )> 0, , 故a 故原不等式成立 . l n 1 6 n >0 ) 说 明   对f( 型不等式 , 若f( 或 n >g( n) n) 则可构造数列a n)是和式 表 达 式 , n) - g( n = f( ; 若 f( 则可构造数 n) n)或 g( n)是积式表达式 , g( ( ) fn , 列a 然后再利用 { 的单调性来证明不 a n = n} n) g( 等式 . ( ) 收稿日期 : 2 0 1 1-0 4-1 5

k+2 ( ) ∴ l n k+1 + ( ) 2 k+1 k+1 ( ) n k+2 .   ≥l + ( ) 2 k+2
( 上接第 5 1 页) 解析   以直线l为x 轴 , 过 点O 且与 l垂直的直线为y 轴, 建立如图1 1所示的平面 , 直 角 坐 标 系 . 设 A( a, m) ? → ( , ) ( ) , B b m m > 0 则有O A= ? → ?P → ( , ) , ( , ) , am O B = b m 又O ?A → ?B →, 于是点 P =λ +λ 1O 2O ( 的坐标为 P ( a +λ b, λ λ 1 2 1+

, , 若λ 则( m) . m >2 m > m, λ λ λ λ 2) 1 >1 2 >1 1+ 2) 所 以点 P 位于区域 Ⅰ ; 若点 P 位于区域 Ⅱ , 则0< ( ; 所以 0 <λ 若点 P 位 m < m, λ λ λ 1+ 2) 1+ 2 <1 于区域 Ⅲ , 则 -m < ( 所以 -1 < m < 0, λ λ 1+ 2) ; 若点 P 位于区域 Ⅳ , 则( m <- λ λ λ λ 1+ 2 <0 1+ 2) , 故所有正确命题的序号 m 所 以λ . 1 +λ 2 <- 1 为 ①③④ .
图1 1

( ) 收稿日期 : 2 0 1 1-0 3-2 0


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