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高二数学期末复习题(一)


高二数学期末复习题(一)
本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,用时 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 ⒈若 a, b ? R ,那么 A. a ? b

1 1 ? 成立的一个充分非必要条件是( a b
B. ab ? (a ? b) ? 0

) D. a ? b ) D. +1 ( )

C. a ? b ? 0

⒉已知点 (a, 2)(a ? 0) 到直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的距离为 1,则 a = ( A. B. 2 C. 1 ⒊对于不重合的两直线 m、n 和平面α ,下面命题中的真命题是 A.如果 m ? ? , n ? ? , m, n 是异面直线,那么 n∥ ? B.如果 m ? ? , n ? ? , m, n是异面直线,那么 n与? 相交 C.如果 m ? ? , n // ? , m, n共面,那么 m // n

D.如果 m // ? , n // ? , m, n共面,那么 m // n

?x ? 1 ? 2 2 ⒋已知 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A.5 B.25 C.1 D. 5





? 0 ⒌已知 P 上的一点, P 1 ( x1 , y1 )是 直 线 l : f ( x, y ) 2 ( x2 , y2 ) 是 直 线 l 外 的 一 点 , 则 由 方 程

f ( x, y) ? f ( x1, y1 ) ? f ( x2 , y2 ) ? 0 表示的直线与直线 l 的位置关系是
A.互相重合 B.互相平行
2 2

( D.互相斜交



C.互相垂直

⒍直线 l : y ? k ( x ? 2) ? 2与圆C : x ? y ? 2x ? 2 y ? 0 相切,则直线 l 的一个方向量 v =( ) A. (2,-2) B. (1,1) C. (-3,2) D. (1,

1 ) 2

⒎若一条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形,则称此曲线为双重对称曲线,下列四条曲线

x2 y2 ? ? 1 ② x 2 ? y 2 ? 1 ③ y ? x 2 ④y=sinx 中,双重对称曲线的序号是( ① 25 16
A ①②③ B ①②④ C ②③④ D ①③④

)

⒏当 a 为任意实数时,直线 (a ? 1) x ? y ? 2a ? 1 ? 0 恒过定点 P,则过点 P 的抛物线的标准 方程为( A. y ? ?
2

)

9 4 x或x 2 ? y 2 3 9 4 2 2 C. y ? x或x ? ? y 2 3

9 4 x或x 2 ? y 2 3 9 4 2 2 D. y ? ? x或x ? ? y 2 3
B. y ?
2

⒐已知 F1、F2 为椭圆 E 的左右两个焦点,抛物线 C 以 F1 为顶点,F2 为焦点,设 P 为椭圆与抛物线的

一个交点,如果椭圆离心率为 e,且 | PF 1 |? e | PF2 | 则 e 的值为





A.

2 2

B. 2 ? 3

C.

3 3

D. 2 ? 2

⒑设 M 是具有以下性质的函数 f(x)的全体:对于任意 s>0,t>0,都有 f (s) ? f (t ) ? f (s ? t ) .给出 函数 f1 ( x) ? log2 x, f 2 ( x) ? 2 x ? 1. 下列判断正确的是 A. f1 ( x) ? M , f 2 ( x) ? M C. f1 ( x) ? M , f 2 ( x) ? M ( )

B. f1 ( x) ? M , f 2 ( x) ? M D. f1 ( x) ? M , f 2 ( x) ? M

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置上.

?1 ),且与向量 a ? 2b 垂直,则直线 l 的一般方程 ⒒已知 a ? (6,2), b ? (?4, ), 直线 l过点 A(3,
是 . ⒓在空间四边形 ABCD 中,AC 和 BD 为对角线,G 为△ABC 的重心, ??? ? ???? ???? E 是 BD 上一点,BE=3ED,以{ AB , AC , AD }为基底, ??? ? 则 GE = . ⒔以 y ? 3x, y ? ? 3x 为渐近线的双曲线的离心率为 .
A D E C M G B

1 2

⒕以曲线 y2=8x 上的任意一点为圆心作圆与直线 x+2=0 相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标 是 .

2 3 ? 53 ? 2 2 ? 5 ? 2 ? 5 2
⒖.考察下列一组不等式:

2 4 ? 5 4 ? 2 3 ? 5 ? 2 ? 53
5 2 5 2 2 1 2 1 2 2

将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况

2 ? 5 ? 2 ?5 ? 2 ?5 ??

下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的不等式 范围.

k (1 ? x) ? 1 ? 0 的解集为空集,求实数 k 的取值或取值 x?2

⒘(本小题满分 12 分)已知圆 C: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? 4 ? b ? 0 ? 经过点 A? 2,0? 及点 A? 2,0? 关于
2 2

直线 x ? y ? 4 ? 0 的对称点 A? ,直线 kx ? y ? 2 2 ? 0 与圆 C 相切。

(1)求实数 a, b, k ;

?x ? y ? 4 ? 0 ? (2)若实数 x, y 满足约束条件 ? ax ? ky ? 1 ? 0 ,且使目标函数 z ? x ? my 取最小值的最优解有无穷 ? kx ? by ? 4 ? 0 ?
多个,求实数 m 的值。

, AB ? 1 ,点 E 在棱 AB ⒙(本小题满分 12 分)如图 2,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中, AD ? AA 1 ?1
上移动,小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1,所爬的最短路程为 2 2 。 (1)求证:D1E⊥A1D; (2)求 AB 的长度;

⒚(本小题满分 12 分)无论 m 为任何实数,直线 l : y ? x ? m 与双曲线 C : 公共点 (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围。

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 恒有 2 b2

(2)若直线 l 过双曲线 C 的右焦点 F,与双曲线交于 P,Q 两点,并且满足 FP ? 线 C 的方程。

1 FQ ,求双曲 5

⒛(本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c, 且f (1) ? ?
2

a ,3a ? 2c ? 2b, 求证: 2

(Ⅰ) a ? 0且 ? 3 ?

b 3 ?? ; a 4

(Ⅱ)函数 f ( x) 在区间(0,2)内至少有一个零点;

(Ⅲ)设 x1 , x 2 是函数 f ( x) 的两个零点,则 2 ?| x1 , x2 |?

57 . 4

21.(本小题满分 13 分)如图,圆 O: x2 ? y 2 ? 16 与 x 轴交于 A、B 两点 l1、l2 是分别过 A、B 点的 圆 O 的切线,过此圆上的另一个点 P(P 点是圆上任一不与 A、B 重合的点)作此圆的切线,分别交 l1、 l2 于 C、D 点,且 AD、BC 两直线的交点为 M. (Ⅰ)当 P 点运动时,求动点 M 的轨迹方程; (Ⅱ) 判断是否存在点 Q(a, 0)(a ? 0) , 使得 Q 点到 (I) 中轨迹上的点的最近距离为 求出所有这样的点 Q;若不存在,请说明理由.

7 ?若存在, 2

8

2

6

1

5

9

8

0

参考答案
一、DCCAB ABACC 12.

11. 2 x ? 3 y ? 9 ? 0 15 a
m? n

1 ???? 3 ???? 2 3 AC ? AD 13.2 或 14.(2,0) 3 3 3

? b m?n ? a mb n ? a n b m ?a, b ? 0, a ? b, m, n ? 0?
(1 ? k ) x ? k ? 2 ? 0, x?2 2?k )( x ? 2) ? 0, 1? k

16.解:原不等式即

1°若 1-k>0,即 k<1 时,原不等式等价于 ( x ? 若 k<0,原不等式的解集是{ x |

2?k ? x ? 2 }; 1? k 2?k } 1? k

若 k=0,原不等式的解集为空集; 若 0<k<1,原不等式的解集为{x|2<x<

2?k )( x ? 2) ? 0, 1? k 2?k 2?k 此时恒有 2> ,所以原不等式的解集为{x|x< ,或 x>2}. 1? k 1? k
2°若 1-k<0,即 k>1 时,原不等式等价于 ( x ? 故知当且仅当 k=0 时不等式的解集为空集,∴k=0.

? ?a ? 2 ?a ? 4 ?a ? b ? 4 ? 0 17. 解: (1)由条件得到, ? (舍去) , ? 或? ? 2 2 b ? 2 ?b ? 0 a ? 2 ? b ? 2 ? ? ? ? ?
6

又因为相切得到:

2k ? 2 ? 2 2 k ?1
2

? 2 ? k ? 1;

4

B
2

?x ? y ? 4 ? 0 ? (2)约束条件是 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,得到如图可行域: ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?

A
5

-5

由目标函数 z ? x ? my 中 z 的几何意义是直线 x ? my ? z 在 x 轴 截距,知道当这条直线平行图中 BC 时,满足条件,所以
-2

上的

1 1 ? ?2?m?? 。 m 2
18.⑴证 A1D⊥平面 D1AB;⑵AB=2 19.

C
-4

-6

? y ? x ? m(1) ? (1)联立 ? x 2 , y2 ? ? 1 ( 2 ) ? ? 2 b2
得 b 2 x 2 ? 2( x ? m) 2 ? 2b 2 ? 0 (b 2 ? 2) x 2 ? 4mx ? 2(m 2 ? b 2 ) ? 0 当 b ? 2 时, m ? 0 ,直线与双曲线无交点,矛盾?b 2 ? 2,? e ?
2 2

2
2

∵直线与双曲线恒有交点,? ? ? 16m 2 ? 8(b 2 ? 2) ? 0 恒成立? b ? 2 ? m ∵ m ? R ?e ?

2 ?e ? 2

(2) F (c,0) ,则直线 l 的方程 y ? x ? c

?y ? x ? c ? 2 2 2 2 2 2 2 联立得 (b ? 2) y ? 2cb y ? b c ? 2b ? 0 ?x y2 ? ? 2 ?1 ?2 b
? ? 2cb 2 y ? y ? 2 ? ? 1 b2 ? 2 ?? 2 2 2 ? y ? y ? b c ? 2b ? 1 2 b2 ? 2 ?
FP ?

c 2b 4 b 2 c 2 ? 2b 2 1 1 FQ ? y1 ? y 2 整理得: ? 5 5 5 9(b 2 ? 2)
2 2

b2 ? 2 1 ∵ b ? 0 ?c ? 2 ? b ? ? ?b2 ? 7 2 9(b ? 2) 5
2

x2 y2 ? ? 1. 所求的双曲线方程为 2 7

20.证明: (Ⅰ)? f (1) ? a ? b ? c ? ? 又 3a ? 2c ? 2b

a 2

? 3a ? 2b ? 2c ? 0

? 3a ? 0,2b ? 0
b 3 ?? a 4

? a ? 0, b ? 0

又 2c=-3a-2b 由 3a>2c>2b ∵a>0 ? ?3 ?

∴3a>-3a-2b>2b

(Ⅱ)∵f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a-c ①当 c>0 时,∵a>0,∴f(0)=c>0 且 f (1) ? ? ∴函数 f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点 ②当 c≤0 时,∵a>0 ? f (1) ? ?

a ?0 2

a ? 0且f (2) ? a ? c ? 0 2

∴函数 f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点. 综合①②得 f(x)在(0,2)内至少有一个零点 (Ⅲ)∵x1,x2 是函数 f(x)的两个零点 则 x1 , x2是方程ax ? bx ? c ? 0 的两根
2



b c 3 b x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? ? ? ? a a 2 a

b 3 b b ? | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (? ) 2 ? 4(? ? ) ? ( ? 2) 2 ? 2 a 2 a a
? ?3 ? b 3 ?? a 4

? 2 ?| x1 ? x 2 |?

57 4

2 2 21.解: (I)设 P(x0,y0) ,M(x,y) ,则 x0 ? y0 ? 16 ,

所以切线 CD 的方程为 x0x+y0y=16,注意到 A(-4,0) 、B(4,0) , 得 C(-4,

4(4 ? x0 ) 4(4 ? x0 ) 4(4 ? x0 ) )和 D(4, ,则直线 AD 的方程是 y= (x+4), y0 y0 2 y0
y (4 ? x0 ) (x-4),由此解得交点 M 的坐标为 ( x 0 , 0 ) , 2 2 y0

直线 BC 的方程是 y=-

2 2 代入 x0 ? y0 ? 16得x 2 ? 4 y 2 ? 16, 由于点 P 与 A、B 都不重合,所以 y≠0

即所求的轨迹方程是 x2+4y2=16(y≠0). 又解:连结并延长 PM 交 AB 于 Q,设|AC|=|CP|=a,|BD|=|DP|=b,则 因为 CA//DB,所以三角形 CAM 与三角形 BDM 是相似三角形, 所以

| CP | a ? , | PD | b

| CM | | CA | a | CM | | CP | a ? ? , 所以 ? ? , | MB | | DB | b | MB | | PD | b

故知 PQ//DB,而 DB⊥AB,所以 PQ⊥AB,因此,P、M、Q 三点的横坐标相等, 因为,

| PM | | CP | | MQ | | AQ | | CP | ? , ? ? , 所以|PM|=|MQ|, 即 M 点为 PQ 的中点, 设M (x, | DB | | CD | | DB | | AB | | CD |

y) , 则 P(x, 2y) , 则点 P 在圆 x2+y2=16 上, 且 P 点与 A、 B 都不重合所求轨迹方程式是 x2+4y2=16 (y≠0) ; (II)若存在,则距离

d ? ( x ? a)2 ? y 2 ? 则当 ? 4 ?

1 4 4 3( x ? a ) 2 ? 16 ? a 2 , 其中 ? 4 ? x ? 4 2 3 3

4 1 4 7 3 3 a ? 4, 即0 ? a ? 3时, d min ? 16 ? a 2 ? , 解得a ? ; 3 2 3 2 2 1 4a 4 7 7 3(4 ? ) 2 ? 16 ? a 2 ? , 解得a ? 4 ? ; 2 3 3 2 2

当a ? 3时, 则d min ?

即这样的点存在,且为 (

3 3 7 ,0)和(4 ? ,0). 2 2


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