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湖北省松滋市高中数学第一章计数原理12排列与组合123组合与组合数公式导学案新人教A版选修2 3082225-含答案

1.2.3 组合与组合数公式 【学习目标】 1.正确理解组合与组合数的概念; 2.弄清组合与排列之间的关系; 3.掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算. 重点难点 重点:组合的概念和组合数公式 难点:组合的概念和组合数公式 【使用说明与学法指导】 预习教材 P21~ P23,找出疑惑之处 复习 1:什么叫排列?排列的定义包括两个方面,分别是 取元素 复习 2:排列数的定义: 从 个不同元素中,任取 表示 个元素的 排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的 和 排顺序 . 排列数,用符号 m 复习 3:排列数公式: An = ( m, n ? N , m ? n ) 【问题导学】 组合的概念:一般地,从 n 个 不同 元素中取出 m ? ? m ? n? 个元素 合成 一组,叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 组合数的概念:从 n 个 不同 元素中取出 m ? m ? n? 个元素的 所有不同 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.用符号 组合数公式及性质: 公 式 展开式 m An C ? m? Am m n 组合的个数, m Cn 表示. n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) m! 阶乘式 m Cn ? m Cn ? n! m !(n ? m)! n?m Cn 性 性质 1 1 质 性质 2 规 定 m Cn ?1 ? 0 Cn ?1 m m?1 Cn ? Cn 问题 1: “ abc ”和“ acb ”是相同的排列还是相同的组合? 问题 2:我们知道, “排列”与“排列数”是两个不同的概念,那么“组合”与“组合数” 是同一个概念吗?为什么? 【合作探究】 问题 1:判断下列问题是组合还是排列,并求出相应的组合数或排列数. (1)若已知集合 ?1, 2,3, 4,5,6,7? ,则集合的子集中有 3 个元素的有多少个? (2)8 人相互发一个电子邮件,共写了多少个邮件? (3)8 人相互握手一次,共握了多少次手? (4)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票? 有多少种不同的飞机票价? 3 解析: (1)与顺序无关,是组合问题.共有 C7 ? 35 个.(2)发电子邮件有先后之分,与顺 2 序有关是排列问题,共有 A8 ? 56 个.(3)相互握手无顺序,是组合问题,共有 C82 ? 28 次. 2 (4)飞机票与起点站、终点站有关,是排列问题,共有 A4 ? 12 种.机票价格只与两站的距 2 离有关,是组合问题,共有 C4 ? 6 种. 新知: 排列不仅与元素有关, 而且与元素的排列顺序有关, 组合只与元素有关, 与顺序无关, 要区分排列与组合,可以选择一个结果,交换这个结果中两个元素先后顺序,看是否对结果 产生影响,若无新变化,则是组合问题. 变式:判断下列问题是组合还是排列: (1)把当日动物园的 4 张门票分给 5 个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种 分配方法? (2)从 2,3,5,7,11 这 5 个质数中,每次取 2 个数分别作为分子和分母构成一个分数, 共能构成多少个不同的分数? (3)从 9 名学生中选出 4 名参加一个联欢会,有多少种不同选法? 2 4 3 3 问题 2: (1)计算 C10 ? C7 A3 ; m m?1 (2)证明 mCn ? nCn ?1 . 4 3 3 4 3 解析: (1) C10 ? C7 A3 = C10 ? A7 ? ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 7? 6?5 ? 0 4 ? 3 ? 2 ?1 (2)证明:左边= m n! n(n ? 1)! (n ? 1)! m?1 ? ??n ? ? nCn ?1 ? 右边. m!(n ? m)! (m ? 1)!(n ? m)! (m ? 1)!(n ? m)! m An 常用于 n, m 为具体自然 m Am m 新知:组合数的两个公式的应用有所区别,一般地,公式 Cn ? m 数的题目,偏向于具体组合数的计算;公式 Cn ? n! 常用于 n, m 为字母或含有字 m !(n ? m)! 母的式子的题目,偏向于方程的求解或有关组合数的恒等式的证明. 5?n 9? n 变式: (1)求值: Cn ? Cn ?1 (2)求证: Cn ? m m ? 1 m ?1 Cn . n?m ?5 ? n ? n ?5 ? n ? 0 ? 解析: ? ,解得 4 ? n ? 5 . 又 n ? N? ,所以 n ? 4或n =5 . 当 n ? 4 时,原式 9 ? n ? n ? 1 ? ? ?9 ? n ? 0 1 5 =C4 +C5 =5 .当 n ? 5 时同理得原式 =16 . 97 96 95 问题 3:计算: (1) C98 ; ? 2C98 ? C98 5 5 5 5 5 5 (2) C5 . ? C6 ? C7 ? C8 ? C9 ? C10 97 96 96 95 解析: (1)原式= (C98 ? C98 ) ? (C98 ? C98 )= 97 96 97 3 ? C99 ? C99 ? C100 ? C100 ? 100 ? 99 ? 98 ? 161700 (2)原式= 3 ? 2 ?1 6 5 5 5 5 6 5 6 5 5 5 5 5 ? C7 ? C8 ? C9 ? C10 ? ? ? C11 ? C11 ? 462 新 知 : (C6 ? C6 ) ? C7 ? C8 ? C9 ? C10 ? ? C7 (1)当 m ? n m n?m 时,通常不直接计算 Cn ,而改为计算 Cn (2)注意组合数两个性质的灵 2 3 活应用(凑项、拆项 、变用、逆用等). 5 98 7 变式:计算: (1) C8 ; ? C100 ? C7 0 1 2 3 4 5 (2) C5 ? C5 ? C5

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