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新人教A版数学选修2-1课件:2.4.2 抛物线的简单几何性质_图文

2.4.2 抛物线的简单几何性质

课标要求:1.掌握抛物线的简单几何性质,并能应用性质解题.2.理解直线与 抛物线的位置关系.

自主学习
知识探究
1.抛物线y2=2px(p>0)的简单几何性质 (1)范围 由p>0和方程y2=2px可知,对于抛物线y2=2px(p>0)上的点M(x,y),x≥0,所以 这条抛物线在y轴的右侧,开口方向与x轴正向相同;当x的值增大时,|y|也 增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. (2)对称性 以-y代替y,方程y2=2px(p>0)不变,所以这条抛物线关于x轴对称.我们把抛 物线的对称轴叫做抛物线的轴.

(3)顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2=2px(p>0)中,当y=0 时,x=0,因此抛物线y2=2px(p>0)的顶点就是坐标原点. (4)离心率 抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离之比,叫做抛物线的离心率, 用e表示.由抛物线的定义可知,e=1.

2.四种标准方程对应的抛物线性质的比较

标准方程

y2=2px (p>0)

y2=-2px (p>0)

x2=2py (p>0)

x2=-2py (p>0)

图形

几 范围 何 对称性 性 顶点 质 离心率

x≥0,y∈R

x≤0,y∈R

y≥0,x∈R

y≤0,x∈R

关于 x 轴对称

关于 y 轴对称

坐标原点

e=1

3.直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系:相离、相切、相交. (1)直线的斜率存在时,设直线y=kx+m与抛物线y2=2px(p>0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2) 两点,将y=kx+m代入y2=2px,消去y并化简,得k2x2+2(mk-p)x+m2=0. ①当k=0时,直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,直线与抛物线只有一个公 共点. ②当k≠0时,判别式Δ >0?直线与抛物线相交,有两个公共点;判别式Δ =0?直线与抛 物线相切,有且只有一个公共点;判别式Δ <0?直线与抛物线相离,没有公共点. (2)直线的斜率不存在时,设直线l:x=m,抛物线:y2=2px(p>0).显然,当m<0时,直线与 抛物线相离,无交点;当m=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当m>0时,直线与抛物 线相交,有两个交点.

4.焦点弦 如图,AB 是抛物线 y2=2px(p>0)过焦点 F 的一条弦.设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中 点 M(x0,y0),过 A,M,B 分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 A1,M1,B1,则根据抛物线 的定义有|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,故|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|. 因为 MM1 是梯形 AA1B1B 的中位线,所以|AB|=|AA1|+|BB1|=2|MM1|. 综上可得以下结论:

①|AF|=x1+ p ,|BF|=x2+ p ,所以|AB|=(x1+ p )+(x2+ p )=x1+x2+p,其称为抛物线的焦点

2

2

2

2

弦长公式.另外,易得以过焦点的弦为直径的圆和准线相切.

②|AB|=2(x0+ p )(焦点弦长与中点坐标的关系). 2

③A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即 x1x2= p2 ,y1y2=-p2. 4

④若直线 AB 的倾斜角为α ,则|AF|= p ,|FB|= p ,从而|AB|= 2 p , AF

1? cos?

1? cos?

sin2 ? FB

= 1? cos? , 1 + 1 = 2 ,S△OAB= p2 .

1? cos? AF FB p

2 sin ?

⑤设弦 AB 的斜率为 k,则焦点弦|AB|=2p(1+ 1 ). k2

5.通径 (1)定义

通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于 A,B 两点的线段 AB,称为抛物线的通

径,如图所示.对于抛物线 y2=2px(p>0),由 A( p ,p),B( p ,-p),可得|AB|=2p,故抛物线

2

2

的通径长为 2p.

(2)通径在反映抛物线开口大小上的作用 线段AB叫做抛物线的通径,长度为2p,这是常数2p的又一几何意义,所以p越 大,通径越大,即抛物线的开口越大;反之,p越小,通径越小,即抛物线的开口 越小.通径是所有焦点弦中最短的弦.

自我检测

1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( B ) (A)y2=-8x (B)y2=8x (C)y2=-4x (D)y2=4x

2.过点(1,0)作斜率为-2 的直线,与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,则弦 AB 的长为( B )

(A)2 13 (B)2 15

(C)2 17 (D)2 19

3.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则( C )

(A)直线与抛物线有一个公共点

(B)直线与抛物线有两个公共点

(C)直线与抛物线有一个或两个公共点 (D)直线与抛物线可能没有公共点

4.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2

=6,则|AB|=

.

答案:8

5.过抛物线y2=4x的顶点O作互相垂直的两弦OM,ON,则M的横坐标x1与N的横

坐标x2之积为

.

答案:16

课堂探究
题型一 抛物线简单几何性质的应用 【例1】 已知抛物线y2=8x, (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围;
解:(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为 (0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.

(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F 是△OAB的重心,求△OAB的周长.
解:(2)如图所示.由|OA|=|OB|可知 AB⊥x 轴,垂足为点 M,又焦点 F 是△OAB 的重心, 则|OF|= 2 |OM|.
3
因为 F(2,0),所以|OM|= 3 |OF|=3, 2
所以 M(3,0),故设 A(3,m)(m>0). 代入 y2=8x 得 m2=24,所以 m=2 6 , 所以 A(3,2 6 ),B(3,-2 6 ),所以|OA|=|OB|= 33 , 所以△OAB 的周长为 2 33 +4 6 .

易错警示 抛物线的几何性质(对称性、范围等)在解决抛物线问题时,有 着广泛的应用,但在解题过程中又容易忽视这些隐含条件,如抛物线的对 称性、准线与对称轴垂直等,解题时应注意挖掘并充分利用这些隐含条件.

即时训练 1-1:(1)若双曲线方程是 x2 - y 2 =1,则以双曲线的右顶点为焦点的抛物线 89

的标准方程为

,抛物线的准线方程为

.

(1)解析:因为双曲线 x2 - y 2 =1 的右顶点坐标为(2 2 ,0),所以 p =2 2 ,且抛物

89

2

线的焦点在 x 轴正半轴上,故所求抛物线的标准方程为 y2=8 2 x,其准线方程为

x=-2 2 . 答案:y2=8 2 x x=-2 2

(2)已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点 (AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求此抛物 线方程.
(2)解:设抛物线方程为 y2=2px(p>0),其准线为 x=- p . 2
设 A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|+|BF|=8 得 x1+x2=8-p. 因为 Q 在 AB 的中垂线上,所以|QA|=|QB|, 即(x1-6)2+ y12 =(x2-6)2+ y22 ,又 y12 =2px1, y22 =2px2,所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0. 因为 AB 与 x 轴不垂直, 所以 x1≠x2,则 x1+x2-12+2p=0.所以 p=4, 即抛物线的方程为 y2=8x.

题型二 直线与抛物线的位置关系 【例2】 已知直线l:y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x.问:k为何值时,直线l与抛 物线C有两个交点,一个交点,无交点?

解:由方程组

?? ? ??

y y

? k(x 2 ? 4x

?

1),

消去

y



k2x2+(2k2-4)x+k2=0.

记Δ=(2k2-4)2-4k4=16(1-k2).

①若直线与抛物线有两个交点,

则 k2≠0,且Δ>0,即 k2≠0,且 16(1-k2)>0,

解得 k∈(-1,0)∪(0,1).

所以当 k∈(-1,0)∪(0,1)时,直线 l 和抛物线 C 有两个交点.

②若直线与抛物线有一个交点, 则k2=0或k2≠0时,Δ=0. 解得k=0或k=±1. 所以当k=0或k=±1时,直线l和抛物线C有一个交点. ③若直线与抛物线无交点, 则k2≠0且Δ<0. 解得k>1或k<-1. 所以当k>1或k<-1时,直线l和抛物线C无交点.

题后反思 研究直线和抛物线的位置关系时,由于消元后所得的方程中含 参数,因此要注意分二次项系数为0和不为0两种情况讨论.

即时训练 2-1:(1)已知抛物线 C 的方程为 x2= 1 y,过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的直线与 2
抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是( ) (A)(-∞,-1)∪(1,+∞)

(B)(-∞,- 2 )∪( 2 ,+∞)

2

2

(C)(-∞,-2 2 )∪(2 2 ,+∞)

(D)(-∞,- 2 )∪( 2 ,+∞

(1)解析:由两点式可得直线 AB 方程为 4x-ty-t=0,



? ?

x2

?

?

1 2

y,

消去 y 可得 2tx2-4x+t=0,

??4x ? ty ? t ? 0

因为直线 AB 与抛物线 C 没有公共点,

所以Δ=16-4×2t×t<0,

所以 t> 2 或 t<- 2 . 故选 D.

(2)过点(-3,2)的直线与抛物线y2=4x只有一个公共点,求此直线方程.

(2)解:显然,直线斜率

k

存在,设其方程为

y-2=k(x+3),由

?? ? ??

y ?2 ? k(x y2 ? 4x,

?

3),

消去

x,

整理得 ky2-4y+8+12k=0.(*)①当 k=0 时,方程(*)化为-4y+8=0,即 y=2,此时过(-3,2)

的直线方程为 y=2,满足条件.

②当

k≠0

时,方程(*)应有两个相等实根.由

?k ???

? ?

0, 0,



?k ? 0, ??16 ? 4k(8

?12k)

?

0,



k=

1 3

或 k=-1.所以直线方程为 y-2= 1 (x+3)或 y-2=-(x+3),即 x-3y+9=0 或 x+y+1=0. 3

故所求直线有 3 条,其方程分别为 y=2,x-3y+9=0,x+y+1=0.

题型三 抛物线的焦点弦问题 【例3】 已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点. 若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值.

规范解答:因为直线 l 的倾斜角为 60°.

所以其斜率 k=tan 60°= 3 .

又 F( 3 ,0),所以直线 l 的方程为 y= 3 (x- 3 ).………………4 分

2

2

? y2 ? 6x,

联立

? ?

?? y ?

3(x

?

3), 消去

y



x2-5x+

9 4

=0.……………………7



2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=5,………………………………8 分

而|AB|=|AF|+|BF|=x1+ p +x2+ p =x1+x2+p,所以|AB|=5+3=8.…10 分 22

变式探究:若本例中“直线l的倾斜角为60°”改为“|AB|=9”,求线段AB的 中点M到准线的距离.
解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+3, 所以 x1+x2=6,于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3. 又准线方程是 x=- 3 ,
2
所以点 M 到准线的距离为 3+ 3 = 9 . 22

方法技巧 求圆锥曲线的弦长时,为简化计算常常借助根与系数的关系,
这样可以避免分别求x1,x2(或y1,y2)的麻烦,如果是利用弦长求参数的问 题,只需要列出参数的方程或不等式即可求解,而x1,x2(或y1,y2)一般是求 不出来的.

即时训练 3-1:已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过 F 的直线与抛 物线的两个交点,

求证:(1)y1y2=-p2,x1x2= p2 4

证明:(1)由已知得抛物线焦点坐标为( p ,0).由题意可设直线方程为 x=my+ p ,代

2

2

入 y2=2px,得 y2=2p(my+ p ),即 y2-2pmy-p2=0.(*) 则 y1,y2 是方程(*)的两个实数 2

根,所以

y1y2=-p2.因为 y12 =2px1, y22 =2px2,所以 y12

y

2 2

=4p2x1x2,所以

x1x2=

y12 y22 4 p2

=

p4 = p2 . 4p2 4

(2) 1 + 1 为定值; AF BF

证明:(2) 1 + 1 = 1 + 1 =

x1 ? x2 ? p

.

AF

BF

x1

?

p 2

x2

?

p 2

x1x2

?

p 2 (x1

?

x2 ) ?

p2 4

因为 x1x2= p2 ,x1+x2=|AB|-p,代入上式, 4

得 1 +1=

AB

= 2 (定值).

AF BF p2 ? p ( AB ? p) ? p2 p

42

4

(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

证明:(3)设 AB 的中点为 M(x0,y0),分别过 A,B 作准线的垂线,垂足分别为 C,D,过 M

作准线的垂线,垂足为 N,则|MN|= 1 (|AC|+|BD|)= 1 (|AF|+|BF|)= 1 |AB|.

2

2

2

所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.

题型四 抛物线中的最值问题
【例 4】 已知抛物线 y2=2x,

(1)设点 A 的坐标为( 2 ,0),求抛物线上距离点 A 最近的点 M 的坐标及相应的距离|MA|; 3

解:(1)设抛物线上任一点 M 的坐标为(x,y),

则|MA|2=(x- 2 )2+y2=(x- 2 )2+2x=(x+ 1 )2+ 1 .

3

3

33

因为 x≥0,所以当 x=0 时,|MA|min= 2 , 3

所以距点 A 最近的点 M 的坐标为(0,0),此时|MA|= 2 . 3

(2)在抛物线上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.

解:(2)设点 P(x0,y0)是 y2=2x 上任一点, 则 P 到直线 x-y+3=0 的距离为

d=

x0 ? y0 ? 3 =

y02 2

?

y0

?3

= ( y0 ?1)2 ? 5

,

2

2

22

当 y0=1 时,dmin= 5 = 5 2 , 22 4

所以点 P 的坐标为( 1 ,1). 2

题后反思 与抛物线上的点有关的最值问题,应注意抛物线上点的坐标的范围
以及抛物线上点的坐标的设法(如 y2=2px(p>0)中 x≥0,y∈R,而抛物线上的点可设 为(2pt2,2pt)或( y02 ,y0)).
2p

即时训练 4-1:(1)抛物线 y=4x2 上一点到直线 y=4x-5 的距离最短,则该点的坐标是( ) (A)( 1 ,1)(B)(0,0)
2 (C)(1,2) (D)(1,4)

(1)解析:设抛物线 y=4x2 上任一点坐标为 P(x,4x2),则点 P 到直线 y=4x-5 的距离为

d=

4x2 ? 4x ? 5

=

4(x ? 1)2 ? 4 2

,

17

17

所以当 x= 1 时,d 有最小值,此时,y=1, 2

即 P( 1 ,1).故选 A. 2

(2)点P在抛物线2y2=x上,点Q在圆(x-2)2+y2=1上,求|PQ|的最小值.

(2)解:圆(x-2)2+y2=1 的圆心为 M(2,0),设 P(2 y12 ,y1),

则|PM|2=(2

y12

-2)2+

y12

=4

y14

-7

y12

+4=4(

y12

-

7 8

)2+ 15 16

≥ 15 16

,

所以|PM|≥ 15 , 4

所以|PQ|min=|PM|min-1= 15 -1. 4

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