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2014高考数学总复习 第5章平面向量单元检测 新人教A版


第五章
1.与向量 a=(-5,12)方向相反的单位向量是 A.(5,-12) 1 3 C.( ,- ) 2 2 答案 D

单元测试
( )

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项符合题目要求)

5 12 B.(- , ) 13 13 5 12 D.( ,- ) 13 13

解析 与 a 方向相反的向量只能选 A,D,其中单位向量只有 D.

a ? -5,12? 5 12 也可用公式 n=- =- =( ,- )求得. 2 2 |a | 13 13 ? -5? +12
2.设向量 a,b 均为单位向量,且|a+b|=1,则 a 与 b 夹角为( A. C. π 3 2π 3 B. D. π 2 3π 4 )

答案 C → → 解析 如图,四边形 ABCD 为平行四边形,△ABC 为边长为 1 的等边三角形,记AB=a,AD=b,则 a 与

b 的夹角为

2π ,故选 C. 3

→ → → 3.已知 O、A、B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2AC+CB=0,则OC等于 → → A.2OA-OB 2→ 1→ C. OA- OB 3 3 答案 A → → → → → → → → → → → 解析 OC=OB+BC=OB+2AC=OB+2(OC-OA),∴OC=2OA- OB.故选 A. ? 1+2i? 4.已知复数 z= 3-4i A.0 C.-1 答案 A
1
2

→ → B.-OA+2OB 1→ 2→ D.- OA+ OB 3 3

1 ,则 + z 等于 |z| B .1 D .2

(

)

? 1+2i? 解析 z= 3-4i

2

? 4i-3? ? 3+4i? -16-9 1 = = =-1,所以 + z =1-1=0.故选 A. 25 25 |z| 3 1 - i 的“错位共 2 2 )

5.对于复数 z1,z2,若(z1-i)z2=1,则称 z1 是 z2 的“错位共轭”复数,则复数 轭”复数为 A.- C. 3 1 - i 6 2 B.- D. 3 3 + i 2 2 (

3 1 + i 6 2

3 3 + i 2 2

答案 D 解析 方法一 由(z-i)( 3 1 1 3 1 3 3 - i)=1 可得 z-i= = + i,所以 z= + i. 2 2 2 2 2 2 3 1 - i 2 2

方法二 (z-i)( 故 z= 3 3 + i. 2 2

3 1 3 1 3 1 3 1 - i)=1 且| - i|=1,所以 z-i 和 - i 是共轭复数,即 z-i= + i, 2 2 2 2 2 2 2 2

6.已知向量 a=(1,-1),b=(1,2),向量 c 满足(c+b)⊥ a,(c-a)∥b,则 c 等于 A.(2,1) 3 1 C.( , ) 2 2 答案 A 解析 设 c=(x,y),由(c+b)⊥a,(c-a)∥b 可得? (2,1). 7.已知向量 a,b 满足|a|=1,|a+b|= 7, 〈a,b〉= A.2 C. 3 答案 A π 2 2 2 2 2 解析 由|a+b|= 7,可得|a+b| =a +2a?b+b =1+2?1?|b|cos +|b| =7,所以|b| +|b| 3 -6=0,解得|b|=2 或|b|=-3(舍去).故选 A. → → → → → 8.若 O 为平面内任一点且(OB+OC-2OA)?(AB-AC)=0,则△ABC 是( A.直角三角形或等腰三角形 B.等腰直角三角形
2 ? ?x+1-y-2=0, ?y+1=2? ?

B.(1,0) D.(0,-1)

x-1? ,

解得?

? ?x=2, ?y=1, ?

因此 c=

π ,则|b|= 3

(

)

B .3 D .4

)

C.等腰三角形但不一定是直角三角形 D.直角三角形但不一定是等腰三角形 答案 C → → → → → → → → → 解析 由(OB+OC-2OA)(AB-AC)=0,得(AB+AC)?(AB-AC)=0. →2 →2 → → ∴AB -AC =0,即|AB|=|AC|. ∴AB=AC. 5 2 9.设 a=(4,3),a 在 b 上的投影为 ,b 在 x 轴上的投影为 2,且|b|≤14,则 b 为 2 A.(2,14) 2 C.(-2,- ) 7 答案 B 解析 方法一 (验证排除法) ∵b 在 x 轴上的投影为 2, ∴b 的横坐标为 2,排除 C,D 项;又|b|≤14,排除 A 项;故选 B. 5 2 2 a?b 2 方法二 设向量 b=(2,y),由题意得 =cosα = = .将 a=(4,3),b=(2,y)代入上式 |a||b| |a | 2 2 计算,得 y=- 或 y=14.又|b|≤14,故 y=14 不合题意,舍去. 7 2 2 则 y=- ,即 b=(2,- ). 7 7 故应选 B. 7 1 1 7 10.与向量 a=( , ),b=( ,- )的夹角相等,且模为 1 的向量是( 2 2 2 2 4 3 A.( ,- ) 5 5 4 3 4 3 B.( ,- )或(- , ) 5 5 5 5 2 2 1 C.( ,- ) 3 3 2 2 1 2 2 1 D.( ,- )或(- ,- ) 3 3 3 3 答案 B 解析 方法一 |a|=|b|,要使所求向量 e 与 a、b 夹角相等,只需 a?e=b?e.
3

2 B.(2,- ) 7 D.(3,6)

)

7 1 4 3 1 7 4 3 5 ∵( , )?( ,- )=( ,- )?( ,- )= ,排除 C、D. 2 2 5 5 2 2 5 5 2 7 1 4 3 1 7 4 3 5 又∵( , )?(- , )=( ,- )?( , )=- .∴排除 A. 2 2 5 5 2 2 5 5 2 → → 方法二 设 a=OA,b=OB.由已知得|a|=|b|,a⊥b,则与向量 a,b 的夹角相等的向量在∠AOB 的角

a+b 4 3 4 平分线上,与 a+b 共线.∵a+b=(4,-3),∴与 a+b 共线的单位向量为± =±( ,- ),即( , |a+b| 5 5 5
3 4 3 - )或(- , ). 5 5 5 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上) 1- 3i 11.已知复数 z= , z 是 z 的共轭复数,则 z 的模等于________. 3+i 答案 1 1- 3i -i - 3i -i? 解析 z= = = 3+i 3+i
2

i+ 3? 3+i

=-i,| z |=|i|=1.

→ → → → → 2 2 12.已知 A,B,C 是圆 O:x +y =1 上三点,OA+OB=OC,则AB?OA=________. 3 答案 - 2 解析 → → 3 由题意知,OACB 为菱形,且∠OAC=60°,AB= 3,∴AB?OA= 3?1?cos150°=- . 2

13.已知向量 a=(1,1),b=(2,n),若|a+b|=a?b,则 n=________. 答案 3 解析 易知 a+b=(3,n+1),a?b=2+n.∵|a+b|=a?b,∴ 3 +? n+1?
2 2

=2+n,解得 n=3.

→ → → → → → → 14.已知|OA|=1,|OB|= 3,OA?OB=0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°.设OC=mOA+nOB(m,n ∈R),则 =________. 答案 3 解析 方法一 如图所示,

m n

→ → → → ∵OA?OB=0,∴OB⊥OA. → → → → → 不妨设|OC|=2,过 C 作CD⊥OA于 D,CE⊥OB于 E,则四边形 ODCE 是矩形.
4

→ → → → → OC=OD+DC=OD+OE. → ∵|OC|=2,∠COD=30°, → → ∴|DC|=1,|OD|= 3. → → 又∵|OB|= 3,|OA|=1, → → → 3→ 故OD= 3 OA,OE= OB. 3 → → 3→ 3 ∴OC= 3 OA+ OB,此时 m= 3,n= . 3 3 ∴ =

m n

3 3 3

=3.

→ → 方法二 由OA?OB=0 知△AOB 为直角三角形,以 OA,OB 所在直线分别为 x,y 轴建立平面直角坐标 → → → → → → 3n 3 系,则可知OA=(1,0),OB=(0, 3),又由OC=mOA+nOB,可知OC=(m, 3n),故由 tan30°= = , m 3 可知 =3. → → → → 2 2 15.已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A、B 两点,且|OA+OB|=|OA-OB|,其中 O 为坐标原点, 则实数 a 的值为________. 答案 ±2 解析 如图,

m n

→ → → → → → → → 作平行四边形 OADB,则OA+OB=OD,OA-OB =BA,∴|OD|=|BA|. → → → 又|OA|=|OB|,∴四边形 OADB 为正方形,易知|OA|为直线在 y 轴上的截距大小,a=2.验证 a=-2 时,成立. 16.对于向量 a,b,c,给出下列四个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c;
5

②若 a=|c|?b,c=|b|?a,则|a|=|b|=|c|=1; ③若|a|=|b|=2,则(a+b)⊥(a-b); ④若|a?b|=|b?c|且 b≠0,则|a|=|c|. 其中正确的命题序号是________. 答案 ③ 解析 当 b=0 时, ①不正确; 当 b=0 时, 且 c=0 时, ②不正确; ③中, ∵|a|=|b|=2, ∴(a+b)?(a -b)=|a| -|b| =0.∴(a+b)⊥(a-b),故③正确;④中取 a≠0 且 a⊥b,而 c=0 时,则结论不正确, 故④不正确. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知向量 m=(2cos ,sin ), 2 2
2 2

A

A

A A n=(cos ,-2sin ),m?n=-1.
2 2 (1)求 cosA 的值; (2)若 a=2 3,b=2,求 c 的值. 1 答案 (1)- (2)2 2 解析 (1)∵m=(2cos ,sin ),n=(cos ,-2sin ),m?n=-1,∴2cos -2sin =-1,∴cosA 2 2 2 2 2 2 1 =- . 2 1 2π (2)由(1)知 cosA=- ,且 0<A<π ,∴A= . 2 3 ∵a=2 3,b=2,

A

A

A

A

2

A

2

A

a b 2 3 2 由正弦定理,得 = ,即 = . sinA sinB 2π sinB sin 3
1 π ∴sinB= .∵0<B<π ,B<A,∴B= . 2 6 π ∴C=π -A-B= ,∴C=B.∴c=b=2. 6 18.( 本小题满分 12 分)已知向量 a=(cosα ,sinα ),b=(2cosβ ,2sinβ ),若实数 k 使|ka+b| =|a-kb|成立,求满足不等式 a?b≥0 的 k 的取值范围. 解析 由|ka+b|=|a-kb|,得(ka+b) =(a-kb) . 即有 k a +b +2ka?b=a -2ka?b+k b . ∴8kcos(α -β )=3(k -1). 若 k=0,则有|a|=|b|,与已知矛盾.
6
2 2 2 2 2 2 2 2 2

3? ∴k≠0,∴cos(α -β )=

k2-1? . 8k k2-1? ,且 a?b≥0. 4k

3? 而 a?b=cosα ?2cosβ +sinα ?2sinβ =2cos(α -β )= 3? k -1? ∴0≤ ≤2. 4k 1 解得-1≤k≤- 或 1≤k≤3. 3
2

1 -1 19.(本小题满分 12 分)已知向量 a=( , ),b=(2,cos2x). sinx sinx π (1)若 x∈(0, ],试判断 a 与 b 能否平行? 2 π (2)若 x∈(0, ],求函数 f(x)=a?b 的最小值. 3 1 -1 π 解析 (1)若 a 与 b 平行,则有 ?cos2x= ?2,因为 x∈(0, ],sinx≠0,所以得 cos2x= sinx sinx 2 -2.这与|cos2x|<1 相矛盾,故 a 与 b 不能平行. 2 cos2x 2-cos2x 1+2sin x 1 π (2)由于 f(x)=a?b= - = = =2sinx+ .又因为 x∈(0, ],所以 sinx sinx sinx sinx sinx 3 sinx∈(0, 3 1 ]. 于是 2sinx+ ≥2 2 sinx 1 1 2 2sinx? =2 2, 当 2sinx= , 即 sinx= 时取等号. 故 sinx sinx 2
2

函数 f(x)的最小值等于 2 2. → → 20. (本小题满分 12 分)设△ABC 的三个内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 且满足(2a+c)?BC?BA → → +c?CA?CB=0. (1)求角 B 的大小; → → (2)若 b=2 3.试求AB?CB的最小值. 2 答案 (1) π 3 (2)-2

→ → → → 解析 (1)因为(2a+c)BC?BA+cCA?CB=0, 所以(2a+c)accosB+cabcosC=0. 即(2a+c)cosB+bcosC=0. 则(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0. 所以 2sinAcosB+sin(C+B)=0. 1 2π 即 cosB=- ,所以 B= . 2 3
7

(2)因为 b =a +c -2accos
2 2

2

2

2

2π , 3

所以 12=a +c +ac≥3ac,即 ac≤4. 当且仅当 a=c 时取等号,此时 ac 最大值为 4. → → 2π 1 所以AB?CB=accos =- ac≥-2. 3 2 → → 即AB?CB的最小值为-2. 21.(本小题满分 12 分)若 a,b 是两个不共线的非零向量,t∈R. 1 (1)若 a,b 起点相同,t 为何值时,a,tb, (a+b)三向量的终点在一直线上? 3 (2)若|a|=|b|且 a 与 b 夹角为 60°,t 为何值时,|a-tb|的值最小? 1 解析 (1)设 a-tb=m[a- (a+b)],m∈R, 3 2 m 化简得( m-1)a=( -t)b. 3 3 2 ? ?3m-1=0, ∵a 与 b 不共线,∴? m ?3-t=0 ? 3 ? ?m=2, ?? 1 ?t=2. ?

1 1 ∴t= 时,a,tb, (a+b)的终点在一直线上. 2 3 (2)|a-t b| =(a-tb) =|a| +t |b| -2t|a||b|c os60°=(1+t -t)|a| . 1 3 ∴当 t= 时,|a-tb|有最小值 |a|. 2 2 22.(本小题满分 12 分)已知向量 m=(sinx,1),n=( 3Acosx, cos2x)(A>0),函数 f(x)=m?n 的 2 最大值为 6. (1)求 A; π 1 (2)将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐 12 2 5π 标不变,得到函数 y=g(x)的图像,求 g(x)在[0, ]上的值域. 24
2 2 2 2 2 2 2

A

A 3 1 π 解析 (1)f(x)=m?n= 3Asinxcosx+ cos2x=A( sin2x+ cos2x)=Asin(2x+ ). 2 2 2 6
因为 A>0,由题意知 A=6. π (2)由(1)知 f(x)=6sin(2x+ ). 6
8

π 将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位后得到 12

y=6sin[2(x+ )+ ]=6sin(2x+ )的图像;
1 π 再将得到图像上的各点横坐标缩 短为原来的 倍,纵坐标不变,得到 y=6sin(4x+ )的图像. 2 3 π 因此 g(x)=6sin(4x+ ). 3 5π π π 7π 因为 x∈[0, ],所以 4x+ ∈[ , ]. 24 3 3 6 5π 故 g(x)在[0, ]上的值域为[-3,6]. 24

π 12

π 6

π 3

9


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