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2.2.1条件概率


复习引入:
我们知道求事件的概率有加法公式: 若事件A与B互斥,则. P( A ? B) ? P ( A) ? P ( B)

1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的 和事件,记为 A ? B (或 A ? B ); 2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件, 记为 A ? B (或 AB );

3.若 AB 为不可能事件,则说事件A与B互斥.

三张奖券中只有一张能中奖,现分 别由3名同学无放回地抽取,问最后 一名同学抽到中奖奖券的概率是否比 前两位小?
“最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B

解:设 三张奖券为 X 1,X 2,Y ,其中Y表示中奖 奖券且Ω 为所有结果组成的全体,“最后一名同 学中奖”为事件B,则所研究的样本空间
? ? ? X 1YX 2 , X 2YX 1 , X 1 X 2Y , X 2 X 1Y , YX 1 X 2 , YX 2 X 1 ? B ? ? X 1 X 2Y , X 2 X 1Y ?

?

B

一般地,n(B)表示 事件B包含的基本 事件的个数

由古典概型可知,最后一名同学抽到中奖奖券的 n( B ) 1 概率为:P ( B ) ? ? n(? ) 3
一般地,我们用?来 表示所有基本事件 的集合,叫做基本 事件空间(或样本 空间)

如果已经知道第一名同学没有抽到中奖 奖券,那么最后一名同学抽到中奖奖券 的概率又是多少?

分析:
? ? ? ? X 1YX 2 , X 2YX 1 , X 1 X 2Y , X 2 X 1Y , YX 1 X 2 , YX 2 X 1 ? B ? ? X 1 X 2Y , X 2 X 1Y ?
? 可设”第一名同学没有中奖”为事件A X 1YX 2 , X 2YX 1 , X 1 X 2Y , X 2 X 1Y
由古典概型概率公式,所求概率为

?

?

“第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A “最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B 第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下,最后一名 同学抽到中奖奖券的概率记为P(B|A)
1 2

2 1 1 ? ? 4 2 3

(通常适用古典概率模型)

(适用于一般的概率模型)

条件概率 Conditional Probability
1、定义 一般地,设A,B为两个事件, 且P(A)>0, 称

P ( AB ) P ( B A) ? P ( A)
为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.

一般把 P(B︱A)读作 A 发生的条件下 B 的概率。

2.条件概率计算公式:
注:⑴ 0 ≤ P ( B | A) ≤1 ; ⑵几何解释:

P ( AB ) P( A | B ) ? P( A )
?

P(B |A)相当于把A看作新的 基本事件空间求A∩B发生的 概率

B

A

(3)条件概率的加法公式 若B和C是两个互斥事件, 则 P( B ? C A) ? P( B A) ? P(C A)

概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系

联系:事件A,B都发生了 区别:
(1)在P(B|A)中,事件A,B发生有时间上的差异,

A先B后;在P(AB)中,事件A,B同时发生。
(2)样本空间不同,在P(B|A)中,事件A成为样本

空间;在P(AB)中,样本空间仍为
因而有

?。

P( B A) ? P ( AB )

例1 在5道题中有3道理科题和2道文科题。 如果不放回地依次抽取2道题,求:
? (1)第1次抽到理科题的概率; ? (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率; ? (3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率。

解:设“第1次抽到理科题”为事件A,“第2次抽到理科题
为事件B,则“第1次和第2次都抽到理科题”就是事件AB. Ω为“从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间。” n( A) 12 3 2 1 1 (1) ? n(?) ? A5 ? 20, n( A) ? A3 ? A4 ? 12,? P( A) ? ? ? . n(?) 20 5 n(AB) 6 3 2 (2)?n(AB ) ? A3 ? 6,? P( AB) ? ? ? . n(?) 20 10 3
(3)法1 P( B | A) ? P( AB ) 10 1 n( AB ) 6 1 ? ? . 法2 P ( B | A) ? ? ? 3 2 P( A) n( A) 12 2 5

反思
求解条件概率的一般步骤:
求解条件概率的一般步骤: (1)用字母表示有关事件

(2)求P(AB),P(A)或n(AB),n(A)

P ( AB ) n( AB ) ? ( 3 )利用条件概率公式求 P ? B A ? ? P ( A) n( A)

例题2 在某次外交谈判中,中外双方都为了自身的利益 而互不相让,这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理,否则按中 方的决议处理,假如你在现场,你会如何抉择? 解1: 设A={出现的点数不超过3}={1,2,3} B={出现的点数是奇数} ={1,3,5}
只需求事件 A 发生的条件下, ? 事件 B 的概率即P(B|A) 5 1 3

B

n( AB) 2 P( B | A) ? ? n( A) 3

2 4,6

A

解法一(减缩样本空间法)

例题2 在某次外交谈判中,中外双方都为了自身的利益 而互不相让,这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理,否则按中 方的决议处理,假如你在现场,你会如何抉择? 解2: 设A={出现的点数不超过3}={1,2,3} B={出现的点数是奇数} ={1,3,5}
只需求事件 A 发生的条件下,

?
5

1 p( AB) 3 2 P( B | A) ? ? ? 3 解法二(条件概率定义法) p( A) 1

事件 B 的概率即P(B|A) 由条件概率定义得:

B

1 3

2 4,6

A

设 100 件产品中有 70 件一等品,25 件二等品, 规定一、二等品为合格品.从中任取1 件,求 (1) 取得 一等品的概率;(2) 已知取得的是合格品,求它是一等 品的概率. 解 设B表示取得一等品,A表示取得合格品,则 70 P ? 0.7 (1)因为100 件产品中有 70 件一等品, ( B) ? 100 (2)方法1:因为95 件合格品中有 70 件一等品,所以 ? B ? A? AB ? B 70 P( B A) ? ? 0.7368 ? 95 70 95 方法2:

例3

P( AB) 70 100 P( B A) ? ? ? 0.7368 P( A) 95 100

B

A

5

例4、一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可 从0~9中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时, 忘记了密码的最后一位数字,求 (1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次 就按对的概率。

解:设第i次按对密码为事件Ai ( i ? 1, 2) 则A ? A1 ? ( A1 A2 )表示不超过 2次就按对密码。

(1)因为事件Ai与事件 A1 A2互斥,由概率的加法公式得

1 9?1 1 P ( A) ? P ( A1 ) ? P ( A1 A2 ) ? ? ? 10 10 ? 9 5

例4、一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可 从0~9中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时, 忘记了密码的最后一位数字,求 (1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次 就按对的概率。

解:设第i次按对密码为事件Ai ( i ? 1, 2) 则A ? A1 ? ( A1 A2 )表示不超过 2次就按对密码。

(2)用B表示最后一位按偶数的事件,则

1 4?1 2 P ( A B) ? P ( A1 B) ? P ( A1 A2 B) ? ? ? 5 5? 4 5

课堂练习

1.甲乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象 记录,知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20% 和18%,两地同时下雨的比例为12%,问: (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少? (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少? 解:设A={甲地为雨天}, B={乙地为雨天}, 则P(A)=20%,P(B)=18%,P(AB)=12%,
(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P ( AB ) 12% 2 P( A B) ? ? ? P ( B ) 18% 3 (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P ( AB ) 12% 3 P ( B A) ? ? ? P ( A) 20% 5

一批同型号产品由甲、乙两厂生产,产品结构如 下表:

2.

数量

厂别

甲厂

乙厂

合计

等级 合格品

475 25 500

644 56 700

1 119

次 品
合 计

81
1 200

(1)从这批产品中随意地取一件,则这件产品恰好是 27 次品的概率是_________; 400 (2)在已知取出的产品是甲厂生产的,则这件产品恰好 1 是次品的概率是_________; 20

3.掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点条件下, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?

解: 设A={掷出点数之和不小于10},
B={第一颗掷出6点}

3 1 n( AB ) ? ? ? P( A | B) ? 6 2 n( B )

4. 一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只二等品. 从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A 为“第一次取到的是一等品” ,事件B 为“第二次取到 的是一等品”,试求条件概率P(B|A). 解 由条件概率的公式得

n( AB ) P ( B A) ? n( A)

6 2 ? ? 9 3

课堂小结

1. 条件概率的定义. 2. 条件概率的性质.

P ( AB ) P ( B A) ? P ( A)

3. 条件概率的计算方法.
(1)减缩样本空间法 (2)条件概率定义法

P( AB) P( B A) ? P( A)

送给同学们一段话:
在概率的世界里充满着和我们直觉截然不 同的事物。面对表象同学们要坚持实事求 是的态度、锲而不舍的精神。尽管我们的 学习生活充满艰辛,但我相信只要同学们 不断进取、挑战自我,我们一定会达到成 功的彼岸!


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