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人教A版高中数学必修四课件:3.1.1 两角差的余弦公式1


第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 1.理解两角差的余弦公式及推导过程; 2.掌握两角差的余弦公式,并能正确的运用公式进 行简单三角函数式的化简、求值; 3.掌握“变角”和“拆角”的方法. 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示, 小山高BC约为30米,在地平面上有一点A,测得A,C两点间 距离约为60米,从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为 45°, ∠CAB=15o.求这座电视发射塔的高度. D CD ? BD ? BC, BD ? AB tan 60? AB ? 60cos15? , BC ? 60sin15?. A 60 45° 150 C B cos15 ? ? ? sin15 ? ? ? 对于30°,45°,60°等特殊角的三角函 数值可以直接写出,利用诱导公式还可进 一步求出150°,210°,315°等角的三角 函数值.我们希望再引进一些公式,能够求 更多的非特殊角的三角函数值,同时也为 三角恒等变换提供理论依据. 若 ?,? 为两个任意角, 则 cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? 成立吗? 令? ? 60 , ? ? 30 , ? ? 显然cos(60 ? 30 ) ? cos 60 ? cos30 . ? ? ? ? 两角差的余弦公式的推导 ?15 ? 45 ? 30 ,?cos15 =cos(45 -30 ). ? ? ? ? ? ? cos(45 -30 )=? ? ? 要获得 cos(? ? ? ) 的表达式需要哪些已学过的知识? 涉及 ? ? ? 的余弦值,可以考虑联系单位圆上 的三角函数线或向量的夹角公式. 法一(三角函数线) 如图,设角 ?,?为锐角,且 ? ? ?,y 作PM ? x轴,PA ? OP , 1 cos(? ? ? ) ? OM A P1 P x ? OB ? BM ? OA cos ? ? AP sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? . ? O ?C B M 法二(向量法) y A ??? ? OA ? ? cos ? ,sin ? ?, ??? ? OB ? ? cos ? ,sin ? ?, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? OA OB cos(? ? ? ) 在单位圆中 α B β 1 x o -1 ??? ? ??? ? ?OA ? OB ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? . ? cos(? ? ? ). ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? . 两角差的余弦公式 对于任意 ?,? , 有 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? . 称为差角的余弦公式,简记为C (? ? ? ) . 说明: 1.公式中两边的符号正好相反. 2.公式右边同名三角函数相乘再加减, 且余弦在前正 弦在后. 公式的运用 例1 利用差角余弦公式求cos15?的值. 解法1 cos 15? ? cos (45? -30?) = cos 45? cos 30? ? sin 45? sin 30? 2 3 2 1 ? ? ? 2 2 2 2 6? 2 ? . 4 ? 解法2 cos 15? ? cos (60? -45?) = cos 60 cos

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