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专题8.5 直线、平面垂直的判定与性质(讲)


2018 年高考数学第 05 节

直线、平面垂直的判定与性质

【知识清单】
1.直线与平面垂直的判定与性质
定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直. 定理: 文字语言
[来源:Z§xx§k.Com]

图形语言

符号语言

如果一条直线和一个平 判定 定理 面内的两条相交直线都 垂直,那么该直线与此平 面垂直. 性质 定理 如果两条直线同垂直于 一个平面,那么这两条直 线平行. ?l⊥α

a⊥α ? ?
? b⊥α ?

??a∥b

对点练习:
【20 17 课标 3,文 10】在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,E 为棱 CD 的中点,则( A. A1E⊥DC1 B. A 1E⊥BD C. A1E⊥BC1 D. A 1E⊥AC )

2. 平面与平面垂直的判定与性质
定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 定理: 文字语言 判 定 定 理 性 质 定 理 如果一个平面经过另 一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相 垂直. 如果两个平面互相垂 直, 那么在一个平面内 垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面. ⊥α α ⊥β 图形语言 符号语言

AB?β ? ? ??β ⊥α AB⊥α ? ?

α ∩β =MN

AB?β AB⊥MN

? ? ??AB ? ?

对点练习:
【2017 课标 1,文 16】已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SC 是球 O 的直径.若平面 SCA ⊥平面 SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥 S-ABC 的体积为 9,则球 O 的表面积为________.

3. 线面、面面垂直的综合应用
1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①利用判定定理:如果一条直线与平面内的 直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. 这个平面.

②推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也 (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内 ②垂直于同一个平面的两条直线 ③垂直于同一直线的两平面 2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角. 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理:如果一个平面过另一个平面的 (2)平面与平面垂直的性质 如果两平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们 直线.

,则这两个平面互相垂直.

的直线垂直于另一个平面.

对点练习:
【2017 课标 1,文 18】如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD,且 ?BAP ? ?CDP ? 90? .

(1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC, ?APD ? 90? ,且四棱锥 P-ABCD 的体积为

8 ,求该四棱锥的侧面积. 3

【考点深度剖析】
空间中的垂直关系是高考命题的重点,客观题、大题都有可能考查,以客观题形式考查命题的真假判断, 在解答题中以分层设问或条件形式呈现,以证明问题为主,主要考查线面垂直的判定及性质、面面垂直的 判定及性质,以及运用其进一步研究体积、距离、角的问题,考查转化与化归思想、运算求解能力及空间 想象能力.

【重点难点突破】
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
【1-1】 【2018 届南宁市高三摸底】如图,在正方形错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。分别 是错误!未找到引用源。的中点,错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的中点.现在沿错误!未 找到引用源。及错误!未找到引用源。把这个正方形折 成一个空间图形,使错误!未找到引用源。三点重 合,重合后的点记为错误!未找到引用源。.下列说法错误的是__________(将符合题意的选项序号填到横 线上).

①错误!未找到引用源。所在平面;②错误!未找到引用源。所在平面;③错误!未找到引用源。所在平 面;④错误!未找到引用源。所在平面. 【1-2】设直线错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。相交但不 垂直,则下列说法中正确的是 . ( ) B. 过直线错

A. 在平面错误!未找到引用源。内有且只有一条直线与直线错误!未找到引用源。垂直 误!未找到引用源。有且只有一个平面与平面错误!未找到引用源。垂直 C. 与直线错误!未找到引用源。垂直的直线不可能 与平面错误!未找到引用源。平行 ... 误!未找到引用源。平行的平面不 可能与平面错误!未找到引用源。垂直 . 【1-3】已知直线 m 和平面 ? , ? ,则下列四个命题正确的是( A.若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? C.若 ? ∥ ? , m ? ? ,则 m ? ? )

D. 与直线错

B.若 ? ∥ ? , m ∥ ? ,则 m ∥ ? D.若 m ∥ ? , m ∥ ? ,则 ? ∥ ?

【1-4】如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,侧面 SAD ? 底面 ABCD , SA ? SD , AD / / BC ,

AD ? 2 BC ? 2CD , M , N 分别为 AD , SD 的中点.

(1)求证: SB / / 平面 CMN ;

(2)求证: BD ? 平面 SCM .

【领悟技法】
证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平 行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个 平面).解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转 化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形 的底边上的高、中线和顶角的 角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长 度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.

【触类旁通】
【变式 1】在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AD // BC , AB ? BC ,侧面 PAB ? 底面

ABCD ,若 PA ? AD ? AB ? kBC (0 ? k ? 1) ,则(



A.当 k ?

1 时,平面 BPC ? 平面 PCD 2

B.当 k ?

1 时,平面 APD ? 平面 PCD 2

C.当 ?k ? (0,1) ,直线 PA 与底面 ABCD 都不垂直

D. ?k ? (0,1) ,使直线 PD 与直线 AC 垂直

【变式 2】如图,在正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体,使 G1,G2,G3 三点重合于点 G,这样,下列五个结论: (1)SG ? 平面 EFG; (2)SD ? 平面 EFG; (3)GF ? 平面 SEF; (4)EF ? 平面 GSD; (5)GD ? 平面 SEF. 正确的是(
S G F D G1 E G2 G3



A. (1)和(3)

B. (2)和(5)

C. (1)和(4)

D. (2)和(4)

综合点评: (1)证明直线和平面垂直的常用方法: ①判定定理; ②垂直于平面的传递性(a∥b, a⊥α ?b⊥α ); ③面面平行的性质(a⊥α ,α ∥β ?a⊥β );④面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质 定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直.

考点二 平面与平面垂直的判定与性质
【2-1】设 ? , ? 是两个不同的平面,

m 是一条直线,给出下列命题:①若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? ;
) C. ①是假命题,②是真命题 D. ①②都是真命题

②若 m / /? , ? ? ? ,则 m ? ? .则(

A. ①②都是假命题 B. ①是真命题,②是假命题

【2-2】已知直线 l , m 与平面 ? , ? , ? ,满足 ? ? ? ? l , l // ? , m ? ? , m ? ? ,则必有( ) A. ? ? ? 且 m // ? B. ? // ? 且 ? ? ? C. m // ? 且 l ? m D. ? ? ? 且 l ? m

【2-3】如图,棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为线段 A1 B 上的动点,则下列结论错误 的是 ..

A. DC1 ? D1 P C. ?APD 1 的最大值为 90
0

B.平面 D1 A1 P ? 平面 A1 AP D. AP ? PD1 的最小值为 2 ? 2

【2-4】已知正三棱柱 ABC-A1B1C1,若过 AB1 与 BC1 平行的平面交上底面 A1B1C1 的边 A1C1 于点 D. (1)确定 D 的位置,并证明你的结论; (2)证明:平面 AB1D⊥平面 AA1D.

【领悟技法】

[来源:Zxxk.Com]

判定面面垂直的方法:(1)面面垂直的定义.(2)面面垂直的判定定理(a⊥β ,a ? α ?α ⊥β ). 在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,转化为线面垂直或线线垂直. 转化方法:在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.

【触类旁通】
【变式 1】已知 ? , ? 是两个不同的平面,m ,n 是两条不同的直线给出下列命题: ①若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ? ? ;②若 m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? ; ③如果 m ? ? , n ? ? , m, n 是异面直线,那么 n 与α 相交;④若 ? ? ? ? m, n ∥ m,且n ? ? , n ? ? , 则 n ∥α 且 n ∥ ? .其中的真命题是( A.①② B.②③ ) C.③④ D.①④
[来源:学科网]

【变式 2】如图,正方形 ABCD 所在的平面与△ CDE 所在的平面交于 CD , AE ? 平面 CDE ,且

AB ? 2 AE . (1)求证: AB / / 平面 CDE ;

(2)求证:平面 ABCD ? 平面 ADE .

综合点评:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂 直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.

考点三

线面、面面垂直的综合应用

【3-1】如图,在三棱锥 V ? ??C 中,平面 V?? ? 平面 ?? C , ?V?? 为等边三角形,

?C ? ?C 且 ?C ? ?C ? 2 , ? , ? 分别为 ?? , V? 的中点.
(I)求证: V? // 平面 ??C ; (II)求证:平面 ??C ? 平面 V ?? ; (III)求三棱锥 V ? ??C 的体积.

【3-2】如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形, E , F 分别是 BC, CC1 的中点. (I)证明:平面 AEF ? 平面 B1BCC1 ;

F ? AEC 的体积. (II)若直线 AC 1 与平面 A 1 ABB 1 所成的角为 45 ,求三棱锥
?

[来源:学科网]

【3-3】 如图, 三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (I)求证: BD / / 平面 FGH ; (II)若 CF ? BC,AB ? BC, 求证:平面 BCD ? 平面 EGH .

【领悟技法】
1. 垂直关系的转化:

2.在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅 助线来解决.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直, 然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直” 、 “面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.

【触类旁通】
【变式 1】如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PC , AB ? PB , E , F 分别是 PA , AC 的中点.求 证: (1) EF ∥平面 PBC ; (2 )平面 BEF ⊥平面 PAB .

综合点评:平行、垂直关系综合题的类型及解法 (1)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3)垂直与体积结合问题,在求体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段,进而求得体积.

【易错试题常警惕】
易错典例:如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ,侧面 SBC ? 底面 ABCD ,已知

?ABC ? 45? , SA ? SB .

证明 : SA ? BC .

【错证】作 SO ? BC ,垂足为 O , 因为侧面 SBC ? 底面 ABCD ,侧面 SBC ? 底面 ABCD ? BC , 所以 SO ? 底面 ABCD , 又 SO ? 平面 SAO , 所以平面 SAO ? 底面 ABCD , 因为 SA ? 平面 SAO , BC ? 平面 ABCD , 所以 SA ? BC .

【剖析】错误原因在于解答最后时无中生有地造了一个判定定理:如果两个平面垂直,那么一个平面中任 意一条直线一定垂直于另一个平面中的任意一条直线.这个结论是错误的. 温馨提醒: (1)证明 平面和平面垂直的方法:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理. (2)已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后 进一步转化为 线线垂直.学科网 (3)易错防范: ①在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替 使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化. ②面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的 一个垂面,在这个垂面中, 作交线的垂线即可. 【典例】 【2018 届云南省师范大学附属中学高三月考二】如图,四棱锥错误!未找到引用源。的底面错误! 未找到引用源。是平行四边形,错误!未找到引用源。底面错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,

错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。.

(1)求证:平面错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 ;

高考感悟: 1.【2016 高考浙江文数】 (本题满分 15 分) 如图, 在三棱台 ABC-DEF 中, 平面 BCFE⊥平面 ABC, ∠ACB=90° ,
BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (I)求证:BF⊥平面 ACFD; (II)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值.

2.

【2014 年.浙江卷.文 20】如图,在四棱锥 A ? BCDE 中,平面 ABC ? 平面 BCDE ;

?CDE ? ?BED ? 90? , AB ? CD ? 2 , DE ? BE ?1 , AC ? 2 .
(1)证明: AC ? 平面 BCDE ; (2)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值.

3.【2014 福建,文 19】如图,三棱锥 A ? BCD 中, AB ? 平面 BCD, CD ? BD .
(1)求证: CD ? 平面 ABD ; (2)若 AB ? BD ? CD ? 1 , M 为 AD 中点,求三棱锥 A ? MBC 的体积.

4.

(2014 课标全国Ⅰ,文 19)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O,且

AO⊥平面 BB1C1C.

(1)证明:B1C⊥AB; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60° ,BC=1,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的高.


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