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高中数学人教版选修1-1习题:第三章3.3-3.3.3函数的最大(小)值与导数含答案

第三章 3.3 3.3.3 导数及其应用 导数在研究函数中的应用 函数的最大(小)值与导数 A级 基础巩固 一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是 最小值 B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值 C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有 最值 D.若函数在给定区间上有最大(小)值,则有且仅有一个最大(小)值,但若有 极值,则可有多个极值 解析:由极值与最值的区别知选 D. 答案:D 2.函数 f(x)=2x-cos x 在(-∞,+∞)上( A.无最值 C.有最大值 B.有极值 D.有最小值 ) 解析:f′(x)=2+sin x>0 恒成立,所以 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无 极值,也无最值. 答案:A 1 3.函数 f(x)= x2-ln x 的最小值为( 2 1 A. 2 B.1 C.不存在 1 D.0 ) 解析:f′(x)=x- = ,且 x>0, x x 令 f′(x)>0,得 x>1;令 f′(x)<0,得 0<x<1. 1 1 所以 f(x)在 x=1 时取最小值 f(1)= -ln 1= . 2 2 答案:A 4.函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围是( A.[0,1) C.(-1,1) B.(0,1) ? 1? ? ? D.?0, ? 2? ? ) x2-1 解析:因为 f′(x)=3x2-3a,令 f′(x)=0,可得 a=x2, 又因为 x∈(0,1),所以 0<a<1. 答案:B 5.已知函数 f(x)、g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且 f′(x)< g′(x),则 f(x)-g(x)的最大值为( A.f(a)-g(a) C.f(a)-g(b) 解析:令 u(x)=f(x)-g(x), 则 u′(x)=f′(x)-g′(x)<0, 所以 u(x)在[a,b]上为减函数, ) B.f(b)-g(b) D.f(b)-g(a) 所以 u(x)的最大值为 u(a)=f(a)-g(a). 答案:A 二、填空题 6.函数 f(x)= 1 x+1 +x(x∈[1,3])的值域为________. 1 x2+2x 解析:f′(x)=- +1= ,所以在[1,3]上 f′(x)>0 恒成立, (x+1)2 (x+1)2 13 3 ,最小值是 f(1)= ,故 4 2 即 f(x)在[1,3]上单调递增,所以 f(x)的最大值是 f(3)= ?3 13? ? ? 函数 f(x)的值域为? , ?. ?2 4 ? ?3 13? ? ? 答案:? , ? 2 4 ? ? 7.已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M, m,则 M-m=________. 解析:由题意,得 f′(x)=3x2-12,令 f′(x)=0,得 x= ±2,又 f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8,f(3)= -1,所以 M=24,m=-8,M-m=32. 答案:32 3 8.如果函数 f(x)=x3- x2+a 在[-1,1]上的最大值是 2,那么 f(x)在[-1, 2 1]上的最小值是________. 解析:f′(x)=3x2-3x, 令 f′(x)=0 得 x=0,或 x=1. 5 因为 f(0)=a,f(-1)=- +a, 2 1 f(1)=- +a,所以 f(x)max=a=2. 2 5 1 所以 f(x)min=- +a=- . 2 2 答案:- 1 2 三、解答题 9.设函数 f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0). (1)若 f(x)的最小值 h(t); (2)若 h(t)<-2t+m 对 t∈(0,2)恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)因为 f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0), 所以当 x=-t 时,f(x)取最小值 f(-t)=-t3+t-1, 即 h(t)=-t3+t-1. (2)令 g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m, 由 g′(t)=-3t2+3=0 得 t=1,t=-1(不合题意,舍去). 当 t 变化时 g′(t),g(t)的变化情况如下表: t g′(t) g(t) (0,1) + 递增 1 0 1 -m (1,2) - 递减 所以对 t∈(0,2),当 t=1 时,g(t)max=1-m, h(t)<-2t-m 对 t∈(0,2)恒成立, 也就是 g(t)<0,对 t∈(0,2)恒成立, 只需 g(t)max=1-m<0,所以 m>1. 故实数 m 的取值范围是(1,+∞). 10.已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在区间[-2,2]上的最小值. 解:(1)因为 f′(x)=-3x2+6x+9. 令 f′(x)<0,解得 x<-1 或 x>3, 所以 函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (2)因为在(-1,3)上 f′(x)>0, 所以 f(x)在[-1,2]上单调递增. 又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递减,且 f(-2)=8+12-18+a=2+a, f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以 f(2)>f(-2). 所以 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有 22 +a=20,所以 a=-2. 所以 f(x)=-x3+3x2+9x-2. 所以 f(-1)=1+3-9-2=-7, 即 f(x)最小值为-7. B级 能力提升 1.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M,N,则|MN| 达到最小值时 t

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