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2014高考数学一轮复习立体几何中的翻折问题


第 56 课 立体几何中的翻折问题
1.(2012 东城一模)如图 1 ,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC ,

BC 上的点,且满足 AE ? FC ? CP ? 1 .将 ?AEF 沿 EF 折起到 ?A1EF 的位置,使平面

A1EF ? 平面 EFB ,连结 A1B , A1P .(如图 2 )
(1)若 Q 为 A B 中点,求证: PQ ∥平面 A EF ; 1 1 (2)求证: A1E ? EP .

A E F B
图1

A1 Q

E F C

P

C

B
图2

P

证明: (1)取 A E 中点 M ,连结 QM , MF . 1 在 ?A1BE 中, Q, M 分别为 A1B, A1E 的中点, ∴ QM ∥ BE ,且 QM ? ∵

1 BE . 2 A1
M Q E F P C

CF CP 1 ? ? , FA PB 2

1 ∴ PF ∥ BE ,且 PF ? BE , 2

B

∴ QM ∥ PF ,且 QM ? PF .

∴四边形 PQMF 为平行四边形,∴ PQ ∥ FM . 又∵ FM ? 平面 A EF ,且 PQ ? 平面 A EF , 1 1 ∴ PQ ∥平面 A EF . 1 (2) 取 BE 中点 D ,连结 DF . ∵ AE ? CF ? 1 , DE ? 1 , ∴ AF ? AD ? 2 ,而 ?A ? 60 , D
?

A E F P C

即 ?ADF 是正三角形. B 又∵ AE ? ED ? 1 , ∴ EF ? AD . ∴在图 2 中有 A1E ? EF .

∵平面 A EF ? 平面 EFB ,平面 A EF ? 平面 EFB ? EF , 1 1 ∴ A1E ⊥平面 BEF .
第 -1- 页

又 EP ? 平面 BEF ,∴ A1E ⊥ EP .

AB 2.2012 海淀一模) ( 已知菱形 ABCD 中, ? 4 , ?BAD ? 60(如图 1 所示)将菱形 ABCD ,
?

沿对角线 BD 翻折,使点 C 翻折到点 C1 的位置(如图 2 所示) ,点 E , F , M 分别是 AB , C1 D C DC1 , BC1 的中点. F M (1)证明: BD //平面 EMF ; (2)证明: AC1 ? BD ;

D
A
图1

B

A

E
图2

B

(3)当 EF ? AB 时,求线段 AC1 的长.

证明: (1)∵点 F , M 分别是 C1D, C1B 的中点, ∴ FM / / BD . 又 FM ? 平面 EMF , BD ? 平面 EMF , ∴ BD / / 平面 EMF . (2)在菱形 ABCD 中,设 O 为 AC , BD 的交点, 则 AC ? BD . ∴ 在三棱锥 C1 - ABD 中,

C1 F M A D O E B

C1O ? BD, AO ? BD .
又 C1O ? AO ? O, ∴ BD ? 平面 AOC1 . 又 AC1 ? 平面 AOC1 ,∴ BD ? AC1 . (3)连结 DE , C1E . 在菱形 ABCD 中, DA ? AB, ?BAD ? 60 ,
?

C1 F M D

∴ ?ABD 是等边三角形, ∴ DA ? DB . ∵ E 为 AB 中点, ∴ DE ? AB . 又 EF ? AB , EF ? DE ? E .

A

E

B

∴ AB ? 平面 DEF ,即 AB ? 平面 DEC1 . 又 C1E ? 平面 DEC1 ,∴ AB ? C1E . ∵ AE = EB, AB = 4 , BC1 = AB ,
第 -2- 页

∴ AC1 ? BC1 ? 4 .

3. (2012 汕头二模)如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60 ,点 E 、 F 分别在 边 CD 、 CB 上.点 E 与点 C 、 D 不重合, EF ? AC , EF ? AC ? O ,沿 EF 将 ?CEF 翻 折到 ?PEF 的位置,使平 面 PEF ? 平 面 ABFED .
?

(1)求 证 : BD ? 平 面 P O A; (2) 三 棱 锥 P ? A B D 体 积 为 V1 , 棱 锥 P ? B D E F 体 积 为 V2 , 记 的 四 的 且 求此时线段 PO 的长.

V1 4 ? , V2 3

P
D E A

D
O F B
【解析】 (1)证明:在菱形 ABCD 中, ∵ BD ? AC ,∴ BD ? AO . ∵ EF ? AC ,∴ PO ? EF , ∵平面 PEF ⊥平面 ABFED , 平面 PEF ? 平面 ABFED ? EF ,且 PO ? 平面 PEF , ∴ PO ? 平面 ABFED , ∵ BD ? 平面 ABFED ,∴ PO ? BD . ∵ AO ? PO ? O ,∴ BD ? 平面 POA . (2)设 AO ? BD ? H . 由(1)知, PO ? 平面 ABFED , ∴ PO 为三 棱 锥 P ? A B D 四 棱 锥 P ? B D E F 高 , 及 的

C

E A B F O C

V 4 1 1 ∴ V1 ? S?ABD ? PO , V2 ? S梯形BFED ? PO ,∵ 1 ? , 3 3 V2 3
3 3 1 ∴ S梯形BFED ? S?ABD ? S?CBD ,∴ S?CEF ? S?CBD , 4 4 4
∵ BD ? AC, EF ? AC , ∴ EF / / BD ,∴ ?CEF ∽ ?CBD .
第 -3- 页

∴(

CO 2 S ?CEF 1 ) ? ? , CH S ?CBD 4

1 1 1 ∴ CO ? CH ? AH ? ? 2 3 ? 3 , 2 2 2
∴ PO ? OC ? 3 . 4. (2012 西城一模) 如图, 矩形 ABCD 中,AB ? 3 ,BC ? 4 .E ,F 分别在线段 BC 和 AD 上,EF ∥ AB , 将矩形 ABEF 沿 EF 折起. 记折起后的矩形为 MNEF , 且平面 MNEF ? 平 面 ECDF . (1)求证: NC ∥平面 MFD ; (2)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (3)求四面体 NFEC 体积的最大值.
M

A

F

D
N A F E C D

B

E

C

B

【解析】 (1)证明:∵四边形 MNEF , EFDC 都是矩形, ∴ MN ∥ EF ∥ CD , MN ? EF ? CD . ∴ 四边形 MNCD 是平行四边形, ∴ NC ∥ MD , ∵ NC ? 平面 MFD ,∴ NC ∥平面 MFD . (2)证明:设 ED ? FC ? O . ∵平面 MNEF ? 平面 ECDF ,且 NE ? EF , ∴ NE ? 平面 ECDF , ∴ FC ? NE . 又 EC ? CD , ∴四边形 ECDF 为正方形, ∴ FC ? ED . ∴ FC ? 平面 NED , ∴ ND ? FC . (3)设 NE ? x ,则 EC ? 4 ? x ,其中 0 ? x ? 4 . 由(1)得 NE ? 平面 FEC , ∴四面体 NFEC 的体积为
B N A F O E C D M

1 1 VNFEC ? S?EFC ? NE ? x(4 ? x) . 3 2
第 -4- 页

∴ VNFEC ?

1 x ? (4 ? x) 2 [ ] ? 2. 2 2

当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ? 2 时,取等号, ∴ x ? 2 时,四面体 NFEC 的体积最大.

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