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人教版高中数学【选修2-3】[重点题型巩固练习] 组 合(提高)

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人教版高中数学选修 2-3

知识点梳理

重点题型(常考知识点)巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1. 从 1,2,3,……,9 这 9 个数中任选 3 个数分别作 a,b,c 的取值,则满足 a<b<c 的不同

取法共有( )

A. 21 种 B. 28 种 C. 84 种 D. 504 种 2.从 4 台甲型电脑和 5 台乙型电脑中任取 3 台,其中两种电脑都要取,则不同的取法种数是 ()

A.140

B.84

C.70

D.35

3.(2014 秋 武汉校级期末)用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数, 其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有( )
A.324 B.216 C.180 D.384 4.将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则不同的分

配方案有( ).

A.30 种 B.90 种 C.180 种 D.270 种

5.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻

出现,这样的四位数有( )

A.6 个

B.9 个

C.18 个

D.36 个

6.从正方体 ABCD ? A' B 'C ' D'的 8 个顶点中选取 4 个,作为四面体的顶点,可得到不同

的四面体的个数为( ).

A. C84 ?12

B. C84 ? 8

C. C84 ? 6

D. C84 ? 4

7.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定

从二楼到三楼用 8 步走完,则方法有( )

A.45 种

B.36 种 C.28 种

D.25 种

8.(2016 广州模拟)将 5 位同学分别保达到北京大学,上海交通大学,中山大学这 3 所大 学就读,每所大学至少保送 1 人,则不同的保送方法共有( )
A.150 种 B.180 种 C.240 种 D.540 种
二、填空题

9.(2016 黄冈校级自主招生改编)方程 3x2+y2=3x-2y 的非负整数解(x,y)的组数为 .

10.名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各 4 人,分别进行单循环赛,每组决出

前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败者角逐 3、4

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名,则大师赛共有_______________场比赛.

11.某中学从高中 7 个班中选出 12 名学生组成校代表队,参加市中学数学应用题竞赛活动,

使代表中每班至少有 1 人参加的选法有

种.

12. 3 人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传求后,球仍回到甲的手中,
则不同的传球方式有______ 三、解答题

13.某市工商局对 35 种商品进行抽样检查,鉴定结果有 15 种假货,现从 35 种商品中选取 3

种.

(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?

(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?

(3)恰有 2 种假货在内,不同的取法有多少种?

(4)至少有 2 种假货在内,不同的取法有多少种?

(5)至多有 2 种假货在内,不同的取法有多少种?

14.从 1 到 100 这 100 个正整数中,每次取出 2 个数使它们的和大于 100,共有多少种取法?

15.有 11 名外语翻译人员,其中 5 名英语翻译员,4 名日语翻译员,另两名英、日语都精通,

从中找出 8 人,使他们组成两个翻译小组,其中 4 人翻译英文,另 4 人翻译日文,这两个小

组能同时工作,问这样的分配名单共可开出几张? 【答案与解析】

1.【答案】C

【解析】 C93

?

9?8?7 3? 2?1

?

84

(种)

2. 【答案】C

【解析】取

3

台分两类:①2

台甲型

1

台乙型,有

C

2 4

·C

1 5

种;

②1

台甲型

2

台乙型,有

C

1 4

·C

2 5

种.

∴C

2 4

·C

1 5

+C

1 4

·C

2 5

=30+40=70(种).

3.【答案】A 【解析】由题意知本题需要分类来解:

当个位、十位和百位上的数字为 3 个偶数的有: C32 ? A33 ? C41 ? A33C31 ? 90 种;
当个位、十位和百位上的数字为 1 个偶数 2 个奇数的有:

C32 ? A33 ? C42 ? C31 ? C32 ? A33 ? C32 ? 234 种,
根据分类计数原理得到共有 90+234=324 个. 故选 A. 4.【答案】B

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【解析】

本题为先组后排问题.5

名教师先分成

2、2、1

三组,有 C32C32 A22

种方法,然后

分配到三个班,则有

C32C32 A22

?

A33

?

90 (种).

5. 【答案】18

【解析】 注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,

选四个数字共有 C31 =3(种)选法,即 1231,1232,1233,而每种选择有 A22 ? C32 =6(种)排法,
所以共有 3×6=18(种)情况,即这样的四位数有 18 个.

6.【答案】A

【解析】 四个选项的思路是相同的.差别在于四点共面的情况有几种.6 个表面及 6 组

对棱构成的 6 个对角面都是四个顶点共面,不能构成四面体. 7. 【答案】28
【解析】 因为 10÷8 的余数为 2,故可以肯定一步一个台阶的有 6 步,一步两个台阶的

有 2 步,那么共有 C82 =28 种走法.

8.【答案】A

【解析】当 5 名学生分成 2,2,1 或 3,1,1 两种形式,



5

名学生分成

2,2,1

时,共有

1 2

C52C32

A33

?

90 种结果,

当 5 名学生分成 3,1,1 时,共有 C53 A33 ? 60 种结果,

∴根据分类计数原理知共有 90+60=150

故不同保送的方法数为 150 种,故选 A.

9. 【答案】2

【解析】3x2+y2=3x―2y, 3x2+y2―3x+2y=0,

3(x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 7 ,

2

4

当 x=0 时,y=0,即(0,0),

当 x=1 时,y=0,即(1,0),

当 x=2 时,y 无解.

当 x≥2 时,y 均无解, 综上所述方程 3x2+y2=3x-2y 的非负整数解(x,y)的组数为 2.

10. 【答案】16

【解析】 一共进行三次比赛,所以本题分三类,第一类:单循环赛;第二类:淘汰赛;第三类:

冠、亚军和第 3、4 名角逐赛.

(1)每组有 C24 场比赛,两组共有 2C24 场, (2)每组的第一名与另一组的第二名比赛有 2 场,(3)决出冠军和第 3 名各 1 场,所以共有
2C24+2+1+1=16 场.

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11. 【答案】462 【解析】由于 12 个名额是不可区别的,所以将问题转化成——把排成一行的 12 个“0”

分成

7

份的不同方法数,这样用

6

块闸板插在

11

个间隔中,共有

C

6 11

种不同的

插法.

所以所求选法种数为

C

6 11

=462

种.

12. 【答案】 N ? 10
【解析】对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,树图会收到意想不

到的结果.

13.

【解析】(1)C

2 34

=561.

(2)C

3 34

=5984.

(3)C

2 15

·C

1 20

=2100.

(4)C

2 15

·C

1 20

+C

3 15

=2555.

(5)C

3 20

+C

2 20

C

1 15

+C

1 20

C

2 15

=6090.

14.

【解析】(1)若取出的

2

个数都大于

50,则有

C

2 50

种.

(2)若取出的 2 个数有一个小于或等于 50,

当取

1

时,另

1

个只能取

100,有

C

1 1

种取法;

当取

2

时,另

1

个只能取

100



99,有

C

1 2

种取法;

……

当取

50

时,另

1

个数只能取

100,99,98,…,51

中的一个,有

C

1 50

种取法,所以共

有 1+2+3+…+50= 50 ? 51 . 2

故取法种数为

C

2 50

+

50

? 2

51

=

50

? 2

49

+

50

? 2

51

=2500.

15. 【解析】

既精通英语,又精通日语的“多面手”是特殊元素,所以可以从他们的参与情况入手进

行分类讨论. 按“多面手”的参与情况分成三类.

第一类:多面手不参加,这时有

C

4 5

C

4 4

种;

第二类:多面手中有一人入选,这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能,因此有

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C

1 2

C

3 5

C

4 4

+C

4 5

C

1 2

C

3 4

种;

第三类:多面手中两个均入选,这时又分三种情况:两个都译英文、两个都译日文、两

人各译一个语种,因此有

C

2 2

C

2 5

C

4 4

+C

4 5

C

2 2

C

2 4

+C

1 2

C

3 5

C

1 1

C

3 4

种.

综上分析,共可开出

C

4 5

C

4 4

+C

1 2

C

3 5

C

4 4

+C

4 5

C

1 2

C

3 4

+C

2 2

C

2 5

C

4 4

+C

4 5

C

2 2

C

2 4

+

C

1 2

C

3 5

C

1 1

C

3 4

=185

种.

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