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高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理微积分初步理解素材新人教A版选修2_2

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微积分初等化的几个问题
经过多年的探讨研究,特别是近一年的准备,微积分的初等化即将进入教学实践。这 是高等数学教学一次大的改革。
数学教学活动是一个复杂的系统工程,每一个细节的处理都关乎成败。教学实践中会遇 到这样一些具体问题:
(1)首先,如何让下面这个导数定义显得自然直观?
本来的自然表述是:
也就是说,当 h 无限接近于 0 时有:
如何用数学语言表示“无限接近”,曾经是百年难题。现在,我们用一个不等式, 就轻松地实现了这个目标:
1

目前这样刻画“无限接近”还是充分而不必要的。理解了这个不等式,很容易把它 发展为充分必要的描述“无限接近”的不等式。 (2)如何从这个导数定义展开?
首先要证明唯一性。
再推出下面这个微分学最基本的定理:
于是立刻得到一个推论: 这就有了 (3)中值定理的代替之物:
2

(4)进一步得到柯西定理的代替物,也是泰劳公式的基础 (5)用“差商有界”代替连续性
(6)泰劳公式的引入和证明的关键
3

(7) 如何定义定积分?
直接用定义验证,得到强可导函数和积分体系的关系: (8)微积分的基本定理
4

(9)定积分的应用 (10) 新旧系统,何时接轨?
(11)多元微分,如何处理?
这样大的改革,教学实践中还会发现新的问题。这些新的问题给我们提供研究的活力和 素材,使微积分的教育数学研究更加深入。
5


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