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安徽省马鞍山市2010届高三数学第三次质检测试 理 新人教版1

2010 年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测数学试题 (理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷第 1 至第 2 页,第 II 卷 第 3 至第 4 页.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意事项: 1.答题前,务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上 所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方 填写姓名和座位号后两位. 2.答第 I 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第 II 卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹 .... 清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描 ... 清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸 ...................... 上答题无效. ..... 4.考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)= P(A)+ P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)= P(A)· P(B)

4?R 3 ,其中 R 表示球的半径. 3 1 锥体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3
球的体积 V球=

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2?i (1)复数 的实部与虚部之和为 1? i A.-2 B. -1 C. 1 D. 2 x 合 (2)若集合 S ? {x ? R | 2 ? 1}, 集 T ? { y | y ? sin x ? cos x, x ? R}, 则 S ? T = A. (??, 2 ] B. [0, 2 ] C. [? 2 , 2 ] D. [? 2 ,??) (3)已知数列 ?an ? 为等差数列,且 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 tan(a2 ? a12 ) 的值为 A. 3 B. ? 3 C. ? 3 D. ?
3 3

(4) ?、?、? 表示平面, a、b 表示直线,若 ? ? ? ,且 ? 与 ? 相交但不垂直,则 2 A. ?b ? ? , b ? ? B. ?b ? ? ,b // ? 0 C. ?a ? ? , a ? ? D. ?a ? ? , a // ? 0 (5)给出 30 个数:1,2,4,7,11,…,其规律是第 1 个数是 1,第 2 个数比第 1 个数大 1, 8 第 3 个数比第 2 个数大 2,第 4 个数比第 3 个数大 0 3,依此类推.下图是计算这 30 个数和的程序框图, 则图中(1)(2)应分别填上的是 、 5 A. i≤30;m=m+i B. i≤31;m=m+i 2 C. i≤30;m=m+i -1 D. i≤31;m=m+i-1 N 7 (6)某市组织一次高三调研考试,考试后统 计的数学 成绩(满分 150 分)近似服从正态分布,其密度曲 Y

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第 5 题图

线函数为 f ( x) ?

1 2? ?10

?

e

( x ?80) 2 200

( x ? R) ,下列命题中不正确的是 ...

A.该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B.分数在 100 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数大体相同 C.分数在 100 分以上的人数与分数在 60 分以下的 人数大体相同 D.该市这次考试的数学成绩标准差为10
? x ? y ? 0, ?2 x ? y ? 2, ? (7)不等式组 ? 表示的平面区域是一个四边形,则 a 的取值范围是 ? y ? 0, ?x ? y ? a ? 4 4 4 A. (0, ) B. (0,1) C. (1, ) D. (0,1) ? (1, ) 3 3 3 (8)设 f ? (x) 是函数 f (x) 的导函数,将 y ? f (x) 和 y ? f ? (x) 的图像画在同一个平面直角坐标

系中,不可能的是 ...

1 1 (9)点 P 到点 A( ,0), B(a,2) 及到直线 x ? ? 的距离都相等,如果这样的点恰好只有一个,那 2 2 么 a 的值是 1 1 1 3 3 1 A. ? 或 B. 或 C. D. 2 2 2 2 2 2

(10) 已知函数 f ( x) ? lg(a x ? b x ) 中, 常数 a, b 满足 a ? 1 ? b ? 0 , a 2 = b 2 ? 1 , 且 那么函数 f ( x) ? 0 的解集为 A. ?0,??? B. ?1,?? ? C. ?2,??? D. ?10,?? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置. (11) 如图是某市局部路段的交通示意图, 图中标识的数字是机动车通过该路段时发生堵车的 概率,某人驾驶机动车从 A 地到 B 地可以选择不同的路 线行驶,则他发生堵车的概率最小值是 .
(12)以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极 轴,并且两种坐标系的长度单位相同.已知直线的极坐标 方程为 ? cos? ? ? sin? ? 2 ? 0 ,则它与曲线 ? 的直角坐标是 .

? x ? sin ? ? cos ? ( ? 为参数)的交点 ? y ? 1 ? sin 2?

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(13)设曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线 f ( x) ? g ( x) ? x 在
2

点 (1, f (1)) 处的切线方程为

. .

(14)若 (1 ? 2 x) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ,则 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 = (15)下面命题中正确的是 ① ? x ? R, e ? ex ;
x 5 4 3

(写出所有正确命题的编号) .

②若 f ( x) ? x ? x ? x ? 2 x ? 1 ,则 f (2) 的值用二进制表示为 111101; ③若 a ? 0, b ? 0, m ? 0 ,则 ④函数 y ? x ln x 与 y ?

b b?m ; ? a a?m

ln x 在点(1,0)处的切线相同. x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16) (本小题满分 12 分) 如图,A、B 是单位圆上的动点,C 是单位圆与 x 轴的 ? 半轴的交点,且 ?AOB ? ,记 ?COA ? ? , ? ? (0, ? ) ,
6



?AOC 的面积为 S.

(Ⅰ)设 f (? ) ? OB ? OC ? 2 S ,求 f (? ) 的最大 值以及此时 ? 的值.
?? 3 4 (Ⅱ)当 A 点坐标为 (? , ) 时,求 BC 的值. 5 5 2

?? ? ?? ?

(17) (本小题满分 12 分) 一个盒子装有 6 张卡片,上面分别写着如下 6 个定义域为 R 的函数:

f1 ( x) ? x , f 2 ( x) ? x 2 , f3 ( x) ? x3 , f 4 ( x) ? sin x , f5 ( x) ? cos x , f 6 ( x) ? 2 .
(Ⅰ)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇 函数的概率; (Ⅱ)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数 的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望. (18) (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是矩形,在四边形 ABFE 中,AB∥EF, ∠EAB=90° ,AB=4,AD=AE=EF=2,平面 ABFE⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:AF⊥平面 BCF; (Ⅱ)求二面角 B—FC—D 的大小. (19) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x ) ? ax .
2

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(Ⅰ)设 f (x) 在 x ? 0 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,讨论 f (x) 的单调性; (Ⅲ)当 a ? ?1时,证明:

(1 ?

1 1 1 1 )(1 ? 2 )(1 ? 2 ) ?(1 ? 2 n ) ? e(n ? N *) . 2 2 4 8 2

(20) (本小题满分 13 分)
2 x2 y 2 , 其左、右焦点分别为 F、F2 ,点 P 是 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 1 2 2 a b 7 ?? ? ?? ? 3 坐标平面内一点,且 | OP |? , PF ? PF2 ? ( O 为坐标原点). 1 2 4

已知椭圆 C :

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 1 (Ⅱ)过点 S (0,? ) 且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A、B 两点,在 y 轴上是否存在定点 3 M, 使以 AB 为直径的圆恒过这个点?若存在, 求出 M 的坐标和 ?MAB 面积的最大值; 若不存在,说明理由. (21) (本小题满分 14) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 3an ? 3

n ?1

.

? an ? ? 2? 为等比数列,并求数列 ?a n ?的通项公式; n ?3 ? Sn 6n (Ⅱ)比较 n 与 的大小,并加以证明. 2n ? 1 3
(Ⅰ)证明: ?

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2010 年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测数学(理科)参考解答 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) (1)选 B.考查复数概念、运算,简单题, (2)选 D.考查三角、指数函数,集合运算.简单题. (3)选 B.考查等差数列概念,三角函数求值.简单题. (4)选 D.考查线面关系、命题知识.简单题. 2 (5)选 A.考查程序框图,简单题. 0 (6)选B.考查统计知识,正态分布密度函数,简单题. (7)选 C.考查线性规划知识,不等式组中前三个不等式所表示的 平 0 2 2 8 面区域是顶点分别为 O(0,0), A(1,0), B( , ) 的三角形,第四个 不 3 3 0 等式 x ? y ? a ,表示的是斜率为-1 的直线的下方,只有当直 线 5 表 x ? y ? a 和直线 2 x ? y ? 2 的交点在线段 AB 上时,不等式组所 2 4 示的区域才是四边形,此时 a ? (1, ) . 7 3 (8)选 D.考查函数与导函数之间的关系,由导函数与函数单调性关系可得结论,中等题. (9)选 A.分析:由题意知,P 在抛物线 y 2 ? 2 x 上,也在线段 AB 的中垂线上,结合图示,显 1 然 a ? ? 时抛物线与直线 y ? 2 的交点符合要求,中等题. 2 (10)选 C.考查指、对数函数性质、函数的单调性应用,中等题.由条件知 y ? a x ? b x 在 R 上 增,从而 f (x) 在(0,+∞)上增,又 f (2) ? lg(a 2 ? b 2 ) ? lg1 ? 0 ,由 f ( x) ? 0 知 x ? 2 . 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) (11) 【答案】0.424 .从 A 到 B 共有三条线路可走,不堵车的概率分别为 0.9×0.8×0.8、0.9 ×0.7×0.8、0.9×0.8×0.7.堵车为它们的对立. (12) 【答案】 (-1,1) .考查极坐标与参数方程知识, 注意参数方程化为普通方程时参数对 x, y 范围的限制.中等题. (13) 【答案】 y ? 4 x .由题可得 g?(1) ? 2, g (1) ? 3, f ?(1) ? 4, f (1) ? 4 .
4 3 2 3 (14) 【答案】-216. (1 ? 2 x) ? ?8(1 ? 2 x) ? a1 ? 2a2 x ? 3a3 x ? 4a4 x ,令 x ? ?1 即得.

?

??

(15) 【答案】①②④
1 (16) 【解】 (Ⅰ) S ? sin ? ……………………………………………………………2 分 2 ?? ? ? ? ? ?? ? ? OB ? ? cos(? ? ),sin(? ? ) ?, OC ? (1,0)
? 6 6 ?
?? ? ?? ? ? ? 则 f (? ) ? OB? OC? 2S ? cos(? ? ) ? sin ? ? sin(? ? ) ,…………………………………4 分

6

3

时, f (? )max ? 1 …………………………………………………6 分 6 3 4 ? (Ⅱ)依题 cos? ? ? , sin ? ? , 在 BOC中?BOC ? ? ? Δ 5 5 6
?? ? (0, ? ) ,故 ? ?

?

? 14 ? 3 3 由余弦定理得: | BC | ? 1 ? 1 ? 2 ?1?1? cos ? ? ) 2 ? 3 cos? ? sin ? ? ……12 分 ( ?
6 5

??? 2

(17) 【解】 (1)记事件 A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数” , 由题意知 P( A) ?
C32 1 ? . ………4 分 2 C6 5
1 C3 1 C1 C1 3 , ? , P(? ? 2) ? 3 ? 3 ? 1 1 1 C6 2 C6 C5 10

(2) ? 可取 1,2,3,4. P(? ? 1) ?

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P(? ? 3) ?

故 ? 的分布列为: ? 1 1 P 2

1 1 1 C3 C2 C3 C1 C1 C1 C1 3 1 ;……………………6 分 ? 1? 1 ? , P(? ? 4) ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 1 1 1 1 C6 C5 C4 20 C6 C5 C4 C3 20

2
3 10

3
3 20

4
1 20

………9 分 1 3 3 1 7 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 2 10 20 20 4 7 答: ? 的数学期望为 . ………………………………………………………………12 分 4 (18) 【解】 (Ⅰ)∵平面 ABFE⊥平面 ABCD,CB⊥AB,∴CB⊥平面 ABFE,CB⊥AF, ∵ABFE 为直角梯形,AB∥EF,∠EAB=90°,AB=4,AE=EF=2 从而 AF=BF= 2 2 ,∴AF⊥FB.∵CB ? FB=B,∴AF⊥平面 BCF.…………………6 分 (Ⅱ)∵平面 ABFE⊥平面 ABCD,EA⊥AB,∴EA⊥平面 ABCD. 分别以 AD、AB、AE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴, 建立空间直角坐标系.则有 D(2,0,0) ,C(2,4,0) E(0,0,2) ,B(0,4,0). ∴ DC =(0,4,0) DE =(-2,0,2). , 设 n1 ? ( x, y, z) 为平面 CDEF 的法向量, 则?
?n ? DC ? 0 ? 1 ?y ? 0 ?? ?? x ? z ? 0 ?n1 ? DE ? 0 ?

令 x ? 1 ,则 z ? 1,则 n1 ? (1,0,1) 由(1)知 n2 ? AF =(0,2,2)=2(0,1,1)为平面 BCF 的法向量.…………10 分 ∵ cos ? n1 , n2 ??
n1 ? n2 1 ? ,且 B—FC—D 为钝角, | n1 | ? | n2 | 2

∴二面角 B—FC—D 的大小为 120°

…………………………………………12 分

2x (19) 【解】 (Ⅰ) f ?( x) ? ? a ,因为 x ? 0 是 f (x ) 的一个极值点, 1 ? x2 f ?(0) ? 0, ? a ? 0 验证知 a ? 0 符合条件……………………………………………4 分
2x ax2 ? 2 x ? a ?a ? 1 ? x2 1 ? x2 2x (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 1 ? x2 ? f (x) 在 (0,??) 单调递增,在 (??,0) 单调递减;…………………………………5 分

(Ⅱ)因为 f ?( x) ?

(2)当 ?

?a ? 0 ?? ? 0

即当 a ? ?1 时, f ?( x) ? 0 对 x ? R 恒成立.

? f (x) 在 (??,??) 上单调递减;……………………………………………7 分

(3)当 ?1 ? a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 ax2 ? 2 x ? a ? 0
? ?1? 1? a2 ?1? 1? a2 ?1 ? 1 ? a2 ?1 ? 1 ? a2 , , ? f (x) 在 ? ?x? ? a a a a ? ? ? 上单调递增, ? ?

? ?1 ? 1 ? a2 ? ? ?1? 1? a2 ? 和? ,?? ? 上单调递减;…………9 分 ? ? ? ? a a ? ? ? ? (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? ?1 时, f (x) 在 (??,??) 上单调递减;

同理得, f (x) 在 ? ? ?,

?

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当 x ? (0,??) 时,由 f ( x) ? ln(1 ? x 2 ) ? x ? f (0) ? 0 ? ln(1 ? x 2 ) ? x …………………10 分 1 1 1 1 1 1 1 从而有: ln[( ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )?(1 ? 2n )] ? ln(1 ? 2 ) ? ln(1 ? 2 ) ? ? ? ln(1 ? 2n ) 1 2 4 8 2 2 4 2
1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 2 ? 1? 1 ? 1 ? ? ? ??? n ? 2 1 2 4 8 2 2n 1? 2 1 1 1 1 ∴ (1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )?(1 ? 2n ) ? e …………………………………………………12 分 2 4 8 2 (20) 【解】 (Ⅰ)设 P( x0 , y0 ), F1 (?c,0), F2 (c,0),

7 7 3 3 2 2 得x0 ? y0 ? ; 由 PF1 ? PF2 ? 得 (?c ? x0 ,? y0 ) ? (c ? x0 ,? y0 ) ? , 2 4 4 4 3 2 2 即 x0 ? y0 ? c 2 ? . 所以 c=1 …………2 分 4 c 2 又因为 ? …………3 分 , 所 a 2 ? 2, b 2 ? 1. 以 a 2 x2 因此所求椭圆的方程为 …………4 分 ? y 2 ? 1. 2 1 ? ? y ? kx ? 3 , 1 4 16 ? (Ⅱ)动直线 l 的方程为 y ? kx ? , 由 ? 2 得 (2k 2 ? 1) x 2 ? kx ? ? 0. 3 x 3 9 ? ? y 2 ? 1, ?2 ? 4k 16 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ). 则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? . …………6 分 2 3(2k ? 1) 9(2k 2 ? 1)

则由 | OP |?

假设在 y 上存在定点 M(0,m) ,满足题设,则 MA ? ( x1 , y1 ? m), MB ? ( x2 , y2 ? m).
MA ? MB ? x1 x2 ? ( y1 ? m)( y2 ? m) ? x1 x2 ? y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? m2

1 1 1 1 ? x1 x2 ? (kx1 ? )(kx2 ? ) ? m(kx1 ? ? kx2 ? ) ? m2 3 3 3 3 1 2 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( ? m)(x1 ? x2 ) ? m2 ? m ? 3 3 9 16(k 2 ? 1) 1 4k 2 1 18(m2 ? 1)k 2 ? (9m2 ? 6m ? 15) ?? ? k ( ? m) ? m2 ? m ? ? 9(2k 2 ? 1) 3 3(2k 2 ? 1) 3 9 9(2k 2 ? 1)

由假设得对于任意的 k ? R, MA ? MB ? 0 恒成立, 即?
? 2 ?m ? 1 ? 0, 解得 m=1. ?9m 2 ? 6m ? 15 ? 0, ?

故在 y 轴上存在定点 M(0,1) ,使得以 AB 为直径的圆恒过这个点………………10 分 这时,点 M 到 AB 的距离 d ?
S ?MAB ? 2 3
4
2

3 k ?1 1 2 2 ? | AB | d ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 2 3 3

, | AB |? (k 2 ? 1)(x1 ? x2 ) 2 .

16k 2 64 8 9k 2 ? 4 ? ? . 2 2 2 2(k ? 1) 9(2k ? 1) 9 (2k 2 ? 1) 2

设 2k 2 ? 1 ? t , 则 k 2 ? 所以 S ?MAB

t ?1 1 , 得 t ? ?1,???, ? ?0,1?. 2 t 8 9 1 1 1 2 8 1 81 1 9 2 16 ? ( )? ( ) ? [ ?( ? ) ] ? . 9 2 t 2 t 9 2 4 t 2 9

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16 1 当且仅当 ? 1 时,上式等号成立.因此, ?MAB 面积的最大值是 . …………13 分 t 9 (21) 【解】 (Ⅰ)由 Sn ? 3an ? 3n ?1 得 Sn ?1 ? 3an ?1 ? 3n ? 2 ,

相减得 Sn ?1 ? Sn ? 3an ?1 ? 3an ? 3n ? 2 ? 3n ?1 ,…………………………………2 分 3 an ?1 a an ?1 1 an 即 an ?1 ? an ? 3n ?1 ,故 n ?1 ? n n ? 1 ? n ?1 ? 2 ? ? ( n ? 2) 2 3 2?3 3 2 3 1 ?a ? ? an ? 即 ? n ? 2? ,是以 ? 1 ? 2 ? 为首项,以 为公比的等比数列……………4 分 2 ?3 ? ?3 ? 由已知得: a1 ?
? ? ?

an 1 ?1? 9 a 1 ? 1 ? 2 ? ? ,故 n ? 2 ? ? ? ? ? 3 2 ?2? 2 3 2
?3? ?2?
n

n ?1

?1? ? ?? ? , ?2?

n

所以 an ? ?2 ? ? ? ? ? 3n ? 2 ? 3n ? ? ? ………………………………………8 分
n n ? ? ? 1 ?n ? ?3? ? ?3? S n ? 3?2 ? 3n ? ? ? ? ? 3n ?1 ? 3n ?1 ? 3 ? ? ? ? 3n ?1 ?1 ? ? ? ? (Ⅱ) ?2? ? ?2? ? ? ?2? ? ? ? ? ?

n ?1? ? ?2? ? ?



? ? 1 ?n ? ? ? 1 ?n ? Sn 6n ? 3?1 ? ? ? ? ,∴只要比较 3?1 ? ? ? ? 与 的大小, n 3 2n ? 1 ? ?2? ? ? ?2? ? ? ? ? ? ? ? ?
n ?1? ? ?2? ? ?

∵ 3?1 ? ? ? ? -

2n ? (2n ? 1) 6n = 3? (2n ? 1) ? 2n 2n ? 1

∴只要比较 2 n 与 2n ? 1 的大小.………………………………………………………10 分 当 n ? 1,2 时, 2 n < 2n ? 1 ,当 n ? 3 时, 2 n > 2n ? 1 . 方法 1.数学归纳法: (1)当 n ? 3 时, 23 ? 8 ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 ,结论成立; (2)设 n ? k (k ? 3) 时结论成立,即 2 k > 2k ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时,
2k ?1 ? 2 ? 2k ? 2(2k ? 1) ? 2(k ? 1) ? 2k ? 2(k ? 1) ? 1 ,即 n ? k ? 1 时结论也成立.

根据数学归纳法,对 n ? 3 ,不等式 2 n > 2n ? 1 成立.………………………………13 分 0 1 n n 0 1 n 方法 2.当 n ? 3 时, 2n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ? 2n ? 1 . Sn Sn 6n 6n 故当 n ? 1,2 时, n ? ,当 n ? 3 时, n ? .……………………………14 分 3 3 2n ? 1 2n ? 1

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