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圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线方程
一、椭圆: (1) 椭圆的定义: 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于
| F1 F2 | )的点的轨迹。

(其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 )

注意:2a ? F1 F2 表示椭圆;2a ? F1 F2 表示线段 F1 F2 ;2a ? F1 F2 没有轨迹; (2)椭圆的标准方程、图象及几何性质:
标准方程
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

P 图 形 A1 F1

y

B2 O F2 A2 B1 x

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2 y B2 F2 P x A1 O A2 F1 B1

a , b, c 的几何 意义
顶 点 焦 点 对称性 离心率 通 径

长轴长 A1 A2 ? 2a ,短轴长 B1 B2 ? 2b ,焦距 C1C2 ? 2c , c 2 ? a 2 ? b 2

A1 (?a,0), A2 (a,0) B1 (0,?b), B2 (0, b)

A1 (?b,0), A2 (b,0) B1 (0,?a), B2 (0, a)

F1 (?c,0), F2 (c,0) F1 (0,?c), F2 (0, c) 关于 x 轴, y 轴,原点对称,短轴为 2b ,长轴为 2 a e? c (0?e?1) (离心率越大,椭圆越扁) a 2 2b (过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段) a

二、双曲线: (1) 双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F1 F2 | )的点的轨迹。
(其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 )

注意: | PF1 | ? | PF2 |? 2a 与 | PF2 | ? | PF1 |? 2a ( 2a ?| F1 F2 | )表示双曲线的一支; 2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;

(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:
标准方程
2 x2 ? y ?1(a?0,b?0) a2 b2

y2 x2 ? ?1(a?0,b?0) a2 b2
y F2 A2 O A1 F1

y x 图 形 F1 A1 O A2 F2

x

顶 焦 焦

点 点 距

A1 (?a,0), A2 (a,0)

A1 (0,?a), A2 (0, a)

对称性

x 轴, y 轴,原点;虚轴为 2b ,实轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0)
| F1F2 |? 2c(c ? 0)
2 2

F1 (0,?c), F2 (0, c)

c ? a ? b2

离心率 渐近线 通 径

e? c (e?1) (离心率越大,开口越大) a y?? b x a 2b2 a

y?? a x b

(3)双曲线的渐近线:
2 2 2 2 ①求双曲线 x ? y ? 1 的渐近线,可令其右边的 1 为 0,即得 x ? y ? 0 ,因式分解得到 2 2 2 2

a

b

a

b

x y ? ?0。 a b

②与双曲线 x2 ?
2

2 2 y2 1 共渐近线的双曲线系方程是 x 2 ? y2 ? ? ; 2? a b a b

2 2 2 (4)等轴双曲线为 x ? y ? t ,其离心率为 2

三、抛物线:
(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。定 点为焦点,定直线叫做准线。

(2) 抛物线的标准方程、图象及几何性质: p ? 0
标准 方程

y 2 ? 2 px

y 2 ? ?2 px
P x F y

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

l
图形 O

y P F

l
x P

y F O x

l
P

O

y O F

x

l

顶点 对称轴 焦 点 离心率 准 线 通 径 焦半径 焦准距
| PF |?| x0 | ? p 2
p F ( ,0 ) 2

O(0,0)

x轴
p F (? ,0) 2
p F (0, ) 2

y轴
p F (0,? ) 2

e ?1
y?? p 2
| PF |?| y 0 | ? p 2

x??

p 2

x?

p 2

y?

p 2

2p
p


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