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广东省广州市2016届高考数学1月模拟试卷 文(含解析)


2016 年广东省广州市高考数学模拟试卷(文科) (1 月份)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.若全集 U=R,集合 A={x|0<x<2},B={x|x﹣1>0},则 A∩?UB=( ) A.{x|0<x≤1} B.{x|1<x<2} C.{x|0<x<1} D.{x|1≤x<2} 2.已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a﹣i 与 2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2=( ) A.5﹣4i B.5+4i C.3﹣4i D.3+4i 3.已知| |=1, =(0,2) ,且 ? =1,则向量 与 夹角的大小为( ) A. B. C. D.

4.已知 E,F,G,H 是空间四点,命题甲:E,F,G,H 四点不共面,命题乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设 a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则( ) A.b<a<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 2 6.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x) ,当 x∈(0,2)时,f(x)=2x , 则 f(7)=( ) A.2 B.﹣2 C.﹣98 D.98 7.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是斜边长为 2 的直角三角形,俯 视图是半径为 1 的 圆周和两条半径,则这个几何体的体积为( )

A.

π B.

π C.

π D.

π )

8.数列{an}中,对任意 n∈N*,a1+a2+?+an=2n﹣1,则 a12+a22+?+an2 等于( A. (2n﹣1)2 B. C.4n﹣1 D.

9.已知 sinφ = ,且 φ ∈( 两条对称轴之间的距离等于 A.﹣ B.﹣ C.

,π ) ,函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0)的图象的相邻 ,则 f( )的值为( )

D.

1

10.执行如图所示的程序框图输出的结果为(



A. (﹣2,2) 11.已知双曲线

B. (﹣4,0)

C. (﹣4,﹣4) D. (0,﹣8)

=1(a>0,b>0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的

2 倍,则其渐近线方程为( ) A.2x±y=0 B.x±2y=0 C.4x±3y=0 D.3x±4y=0 12.已知 y=f(x)为 R 上的连续可导函数,且 xf′(x)+f(x)>0,则函数 g(x)=xf(x) +1(x>0)的零点个数为( ) A.0 B.1 C.0 或 1 D.无数个 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.函数 y= 的定义域是 .

14.设 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣2y 的最大值为



15.设数列{an}的各项都是正数,且对任意 n∈N*,都有 4Sn=an2+2an,其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和,则数列{an}的通项公式为 an= . 2 16.已知以 F 为焦点的抛物线 y =4x 上的两点 A,B 满足 =2 ,则弦 AB 中点到抛物线准 线的距离为 . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 对应的边分别是 a、 b、 c, 已知 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A. (I)求角 A 的大小;

2

(Ⅱ)若△ABC 的面积 S=5 ,b=5,求 sinBsinC 的值. 18.“冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动,活动规定:被邀请者要么在 24 小时内接受挑战, 要么选择为慈善机构捐款 (不接受挑战) , 并且不能重复参加该活动. 若 被邀请者接受挑战, 则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容, 然后便可以邀请 另外 3 个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的,且互不影响. (Ⅰ)若某参与者接受挑战后,对其他 3 个人发出邀请,则这 3 个人中至少有 2 个人接受挑 战的概率是多少? (Ⅱ)为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关,某调查机构进行了随机抽样调查,调查 得到如下 2×2 列联表: 接受挑战 不接受挑战 合计 男性 45 15 60 女性 25 15 40 合计 70 30 100 根据表中数据,能否有 90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”? 附: 0.100 0.050 0.010 0.001 K2= P(K ≥k0) k0 2.706 3.841 6.635 10.828 19.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D 是 BC 的中点,F 是 C1C 上一点. (1)当 CF=2,求证:B1F⊥平面 ADF; (2)若 FD⊥B1D,求三棱锥 B1﹣ADF 体积.
2

20.定圆 M:

=16,动圆 N 过点 F

且与圆 M 相切,记圆心 N

的轨迹为 E. (I)求轨迹 E 的方程; (Ⅱ)设点 A,B,C 在 E 上运动,A 与 B 关于原点对称,且|AC|=|CB|,当△ABC 的面积最小 时,求直线 AB 的方程. 21.已知函数 f(x)= (1)求 f(x)的解析式; (2)设函数 g(x)=lnx+ ,若对任意的 x1∈[﹣1,1],总存在 x2∈[1,e],使得 g(x2) ≤f(x1)+ ,求实数 a 的取值范围. (m,n∈R)在 x=1 处取到极值 2.

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请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请 写清题号.选修 4-1:几何证明选讲 22.如图∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,以 BD 为直径的 eO 与 BC 交于点 E. (Ⅰ)求证:BC?CD=AD?DB; (Ⅱ) 若 BE=4,点 N 在线段 BE 上移动,∠ONF=90°,NF 与⊙O 相交于点 F, 求 NF 的最小值.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C1: (t 为参数) 与曲线 C2:

(θ 为参数,a>0) . (Ⅰ)若曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上,求 a 的值; (Ⅱ)当 a=3 时,曲线 C1 与曲线 C2 交于 A,B 两点,求 A,B 两点的距离. 选修 4-5:不等式选讲 * 24.已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x﹣m|+|x|,m∈N ,存在实数 x 使 f(x)<2 成立. (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)若 α ,β >1,f(α )+f(β )=2,求证: + ≥ .

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2016 年广东省广州市高考数学模拟试卷(文科) (1 月份) 参考答案与试题解析 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.若全集 U=R,集合 A={x|0<x<2},B={x|x﹣1>0},则 A∩?UB=( ) A.{x|0<x≤1} B.{x|1<x<2} C.{x|0<x<1} D.{x|1≤x<2} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】先求出集合 B,进而求出 CUB,由此能求出 A∩?UB. 【解答】解:∵全集 U=R,集合 A={x|0<x<2},B={x|x﹣1>0}={x|x>1}, ∴A∩?UB={x|0<x<2}∩{x|x≤1}={x|0<x≤1}. 故选:A. 2.已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a﹣i 与 2+bi 互为共轭复数,则(a+bi) =( A.5﹣4i B.5+4i C.3﹣4i D.3+4i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 2 【分析】由条件利用共轭复数的定义求得 a、b 的值,即可得到(a+bi) 的值. 【解答】解:∵a﹣i 与 2+bi 互为共轭复数,则 a=2、b=1, 2 2 ∴(a+bi) =(2+i) =3+4i, 故选:D. 3.已知| |=1, A. B. =(0,2) ,且 ? =1,则向量 与 夹角的大小为( C. D. )
2



【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 【分析】利用向量的夹角公式即可得出. 【解答】解:∵| |=1, =(0,2) ,且 ? =1, ∴ = = = .

∴向量 与 夹角的大小为 故选:C.



4.已知 E,F,G,H 是空间四点,命题甲:E,F,G,H 四点不共面,命题乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性,从而得到答案. 【解答】解:命题甲能推出命题乙,是充分条件, 命题乙:直线 EF 和 GH 不相交,可能平行,命题乙推不出命题甲,不是必要条件, 故选:B,

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5.设 a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则( ) A.b<a<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 【考点】对数值大小的比较. 1.1 3.1 【分析】由于 1<a=log37<2,b=2 >2,c=0.8 <1,即可得出. 【解答】解:∵1<a=log37<2,b=21.1>2,c=0.83.1<1, 则 c<a<b. 故选:D. 6.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x) ,当 x∈(0,2)时,f(x)=2x , 则 f(7)=( ) A.2 B.﹣2 C.﹣98 D.98 【考点】函数的值. 【分析】利用函数的周期性、奇偶性求解. 【解答】解:∵f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x) , 2 当 x∈(0,2)时,f(x)=2x , ∴f(7)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2. 故选:B. 7.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是斜边长为 2 的直角三角形,俯 视图是半径为 1 的 圆周和两条半径,则这个几何体的体积为( )
2

A.

π B.

π C.

π D.

π

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】几何体为圆锥的 ,根据三视图的数据计算体积即可. 【解答】解:由三视图可知几何体为圆锥的 ,圆锥的底面半径为 1,母线长为 2,∴圆锥 的高为 . = .

∴V= × × 故选 A.

8.数列{an}中,对任意 n∈N*,a1+a2+?+an=2n﹣1,则 a12+a22+?+an2 等于(



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A. (2n﹣1)2 B.

C.4n﹣1 D.

【考点】数列的求和. n n﹣1 n﹣1 【分析】当 n≥2 时,由 a1+a2+?+an=2 ﹣1 可得 a1+a2+?+an﹣1=2 ﹣1,因此 an=2 ,当 n=1 时也成立.再利用等比数列的前 n 项和公式可得 a12+a22+?+an2. 【解答】解:当 n≥2 时,由 a1+a2+?+an=2n﹣1 可得 a1+a2+?+an﹣1=2n﹣1﹣1, ∴an=2n﹣1,当 n=1 时也成立. ∴ =4n﹣1.

∴a12+a22+?+an2= 故选:D.

=



9.已知 sinφ = ,且 φ ∈( 两条对称轴之间的距离等于 A.﹣ B.﹣ C.

,π ) ,函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0)的图象的相邻 ,则 f( )的值为( )

D.

【考点】正弦函数的图象. 【分析】由周期求出 ω ,由条件求出 cosφ 的值,从而求得 f( )的值.

【解答】解:根据函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0)的图象的相邻两条对称轴之间的距 离等于 可得 = , = ,∴ω =2. ,π ) ,可得 cosφ =﹣ , +φ )=cosφ =﹣ ,

由 sinφ = ,且 φ ∈( ∴则 f( 故选:B. )=sin(

10.执行如图所示的程序框图输出的结果为(



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A. (﹣2,2) B. (﹣4,0) C. (﹣4,﹣4) D. (0,﹣8) 【考点】程序框图. 【分析】模拟程序框图的运行过程,即可得出程序运行后输出的结果. 【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下; x=1,y=1, k=0 时,s=x﹣y=0,t=x+y=2; x=s=0,y=t=2, k=1 时,s=x﹣y=﹣2,t=x+y=2; x=s=﹣2,y=t=2, k=2 时,s=x﹣y=﹣4,t=x+y=0; x=s=﹣4,y=t=0, k=3 时,循环终止, 输出(x,y)是(﹣4,0) . 故选:B.

11.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的

2 倍,则其渐近线方程为( ) A.2x±y=0 B.x±2y=0 C.4x±3y=0 D.3x±4y=0 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】可用筛选,由 4x±3y=0 得 y=± x,取 a=3,b=4,则 c=5,满足 a+c=2b.

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【解答】解:双曲线的右焦点到左顶点的距离为 a+c,右焦点到渐近线 y=± x 距离为

d=

=b,所以有:a+c=2b,

取 a=3,b=4,得 4x±3y=0,整理得 y=± x,则 c=5,满足 a+c=2b. 故选:C. 12.已知 y=f(x)为 R 上的连续可导函数,且 xf′(x)+f(x)>0,则函数 g(x)=xf(x) +1(x>0)的零点个数为( ) A.0 B.1 C.0 或 1 D.无数个 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 【分析】根据函数与方程的关系,得到 xf(x)=﹣1, (x>0) ,构造函数 h(x)=xf(x) , 求函数的导数,研究函数的单调性和取值范围进行求解即可. 【解答】解:由 g(x)=xf(x)+1=0 得,xf(x)=﹣1, (x>0) , 设 h(x)=xf(x) , 则 h′(x)=f(x)+xf′(x) , ∵xf′(x)+f(x)>0, ∴h′(x)>0,即函数在 x>0 时为增函数, ∵h(0)=0?f(0)=0, ∴当 x>0 时,h(x)>h(0)=0, 故 h(x)=﹣1 无解, 故函数 g(x)=xf(x)+1(x>0)的零点个数为 0 个, 故选:A. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.函数 y= 的定义域是 (﹣1,+∞) .

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据二次根式的性质以及父母不为 0,得到关于 x 的不等式,解出即可. 【解答】解:由题意得:x+1>0,解得:x>﹣1, 故函数的定义域是(﹣1,+∞) , 故答案为: (﹣1,+∞) .

14.设 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣2y 的最大值为 3 .

【考点】简单线性规划.

9

【分析】由题意作平面区域,化简 z=x﹣2y 为 y= x﹣ ,从而可得﹣ 是直线 y= x﹣ 的截 距,从而解得. 【解答】解:由题意作平面区域如下,



化简 z=x﹣2y 为 y= x﹣ , ﹣ 是直线 y= x﹣ 的截距, 故过点(3,0)时截距有最小值, 此时 z=x﹣2y 有最大值 3, 故答案为:3. 15.设数列{an}的各项都是正数,且对任意 n∈N*,都有 4Sn=an2+2an,其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和,则数列{an}的通项公式为 an= 2n . 【考点】数列递推式. 【分析】当 n=1 时,得 a1=2;当 n≥2 时,由 4an=4Sn﹣4Sn﹣1,得 an﹣an﹣1=2,从而可得结论. 【解答】解:当 n=1 时,由 4S1=a12+2a1,a1>0,得 a1=2, 当 n≥2 时,由 4an=4Sn﹣4Sn﹣1=(an2+2an)﹣(an﹣12+2an﹣1) , 得(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣2)=0, 因为 an+an﹣1>0,所以 an﹣an﹣1=2, 故 an=2+(n﹣1)×2=2n. 故答案为:2n. 16.已知以 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上的两点 A,B 满足 线的距离为 . =2 ,则弦 AB 中点到抛物线准

【考点】抛物线的简单性质.

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【分析】设 BF=m,由抛物线的定义知 AA1 和 BB1,进而可推断出 AC 和 AB,及直线 AB 的斜率, 则直线 AB 的方程可得,与抛物线方程联立消去 y,进而跟韦达定理求得 x1+x2 的值,则根据 抛物线的定义求得弦 AB 的中点到准线的距离. 【解答】解:设 BF=m,由抛物线的定义知 AA1=2m,BB1=m ∴△ABC 中,AC=m,AB=3m, ∴kAB=2 直线 AB 方程为 y=2 (x﹣1) 2 与抛物线方程联立消 y 得 2x ﹣5x+2=0 所以 AB 中点到准线距离为 故答案为: . +1= .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 对应的边分别是 a、 b、 c, 已知 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A. (I)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ABC 的面积 S=5 ,b=5,求 sinBsinC 的值. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (I)利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A,得到 cosA 的值,即可求解 A. (II)通过三角形的面积求出 b、c 的值,利用余弦定理以及正弦定理求解即可. 【解答】解: (I)由 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A,得 2cos2A+3cosA﹣2=0,﹣﹣﹣﹣﹣ 即(2cosA﹣1) (cosA+2)=0. 解得 cosA= 或 cosA=﹣2(舍去) .﹣﹣﹣﹣﹣ 因为 0<A<π ,所以 A= (II)由 S= bcsinA= bc? .﹣﹣﹣﹣ = bc=5 ,得 bc=20.

又 b=5,所以 c=4.﹣﹣﹣﹣﹣ 由余弦定理,得 a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21,故 a=

.﹣﹣﹣

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又由正弦定理,得 sinBsinC= sinA? sinA=

?sin A=

2

× = .﹣﹣﹣﹣

18.“冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动,活动规定:被邀请者要么在 24 小时内接受挑战, 要么选择为慈善机构捐款 (不接受挑战) , 并且不能重复参加该活动. 若 被邀请者接受挑战, 则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容, 然后便可以邀请 另外 3 个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的,且互不影响. (Ⅰ)若某参与者接受挑战后,对其他 3 个人发出邀请,则这 3 个人中至少有 2 个人接受挑 战的概率是多少? (Ⅱ)为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关,某调查机构进行了随机抽样调查,调查 得到如下 2×2 列联表: 接受挑战 不接受挑战 合计 男性 45 15 60 女性 25 15 40 合计 70 30 100 根据表中数据,能否有 90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”? 附: 0.100 0.050 0.010 0.001 K2= P(K2≥k0) k0 2.706 3.841 6.635 10.828 【考点】独立性检验的应用. 【分析】 (Ⅰ)确定基本事件的个数,根据古典概型的概率公式,求这 3 个人中至少有 2 个 人接受挑战的概率; 2 (Ⅱ)根据 2×2 列联表,得到 K 的观测值,与临界值比较,即可得出结论. 【解答】解: (Ⅰ)这 3 个人接受挑战分别记为 A,B,C,则 , , 分别表示这 3 个人不 接受挑战. 这 3 个人参与该项活动的可能结果为:{A,B,C},{ ,B,C},{A, ,C},{A,B, }, { , ,C},{A, , },{ ,B, },{ , , }.共有 8 种; 其中,至少有 2 个人接受挑战的可能结果有:{A,B,C},{ ,B,C},{A, ,C},{A,B, },共有 4 种. 根据古典概型的概率公式,所求的概率为 P= = . (Ⅱ)假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关, 根据 2×2 列联表,得到 K2 的观测值为:k= ≈1.79.

因为 1.79<2.706, 所以在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别无关”. 19.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D 是 BC 的中点,F 是 C1C 上一点. (1)当 CF=2,求证:B1F⊥平面 ADF; (2)若 FD⊥B1D,求三棱锥 B1﹣ADF 体积.
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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)证明 B1F 与两线 AD,DF 垂直,利用线面垂直的判定定理得出 B1F⊥平面 ADF; (2)若 FD⊥B1D,则 Rt△CDF∽Rt△BB1D,可求 DF,即可求三棱锥 B1﹣ADF 体积. 【解答】 (1)证明:∵AB=AC,D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BC. 在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, ∵B1B⊥底面 ABC,AD? 底面 ABC,∴AD⊥B1B. ∵BC∩B1B=B,∴AD⊥平面 B1BCC1. ∵B1F? 平面 B1BCC1,∴AD⊥B1F.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 在矩形 B1BCC1 中,∵C1F=CD=1,B1C1=CF=2, ∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1. ∴∠CFD=∠C1B1F.∴∠B1FD=90°,∴B1F⊥FD. ∵AD∩FD=D,∴B1F⊥平面 ADF.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)解:∵AD⊥面 B1DF, , 又 ,CD=1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∵FD⊥B1D,∴Rt△CDF∽Rt△BB1D, ∴ ∴ ∴ ﹣﹣﹣﹣ . ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

20.定圆 M:

=16,动圆 N 过点 F

且与圆 M 相切,记圆心 N

的轨迹为 E. (I)求轨迹 E 的方程; (Ⅱ)设点 A,B,C 在 E 上运动,A 与 B 关于原点对称,且|AC|=|CB|,当△ABC 的面积最小 时,求直线 AB 的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (I)因为|NM|+|NF|=4>|FM|,所以点 N 的轨迹 E 为椭圆,且 ,所以 b=1,从而可求求轨迹 E 的方程; (Ⅱ)分类讨论,直线 AB 的方程为 y=kx,代入椭圆方程,求出|OA|,|OC|,可得 S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|,利用基本不等式求最值,即可求直线 AB 的方程.

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【解答】解: (Ⅰ)因为点

在圆

内,所以圆 N 内切 ,所以 b=1,

于圆 M,因为|NM|+|NF|=4>|FM|,所以点 N 的轨迹 E 为椭圆,且 所以轨迹 E 的方程为 .?

(Ⅱ) (i)当 AB 为长轴(或短轴)时,依题意知,点 C 就是椭圆的上下顶点(或左右顶点) , 此时 |AB|=2.?

(ii)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设其斜率为 k,直线 AB 的方程为 y=kx,

联立方程





所以|OA| =

2

.?

由|AC|=|CB|知,△ABC 为等腰三角形,O 为 AB 的中点,OC⊥AB,所以直线 OC 的方程为 ,



解得



=



,?

S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=



由于

,所以

,? 当且仅当 1+4k2=k2+4,即 k=±1 时等号成立,此时△ABC 面积的最小值是 , 因为 ,所以△ABC 面积的最小值为 ,此时直线 AB 的方程为 y=x 或 y=﹣x.?

21.已知函数 f(x)= (1)求 f(x)的解析式;

(m,n∈R)在 x=1 处取到极值 2.

(2)设函数 g(x)=lnx+ ,若对任意的 x1∈[﹣1,1],总存在 x2∈[1,e],使得 g(x2) ≤f(x1)+ ,求实数 a 的取值范围. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的极值.

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【分析】 (1)利用函数的求导公式计算函数的导数,根据函数在 x=1 处取到极值得出函数在 x=1 处的导数为 0, 再把 x=2 代入函数, 联立两式求出 m, n 的值即可. 已知函数 f (x) = (m,n∈R)在 x=1 处取到极值 2. (2)由(1)知 f(x)的定义域为 R,且 f(﹣x)=﹣f(x) .故 f(x)为奇函数.f(0) =0,x>0 时,f(x)>0,f(x)= ≤2.当且仅当 x=1 时取“=”.故 f(x)的值域为[﹣

2,2].从而 f(x1)+ ≥ .依题意有 g(x)最小值≤ .

【解答】解: (1)

?

由 f(x)在 x=1 处取到极值 2,故 f′(1)=0,f(1)=2 即



解得 m=4,n=1,经检验,此时 f(x)在 x=1 处取得极值.故

?

(2)由(1)知 f(x)的定义域为 R,且 f(﹣x)=﹣f(x) .故 f(x)为奇函数.f(0) =0,x>0 时,f(x)>0,f(x)= ≤2.当且仅当 x=1 时取“=”.

故 f(x)的值域为[﹣2,2].从而 f(x1)+ ≥ .依题意有 g(x)最小值≤

函数 g(x)=lnx+ 的定义域为(0,+∞) ,g′(x)=

①当 a≤1 时,g′(x)>0 函数 g(x)在[1,e]上单调递增,其最小值为 g(1)=a≤1< 合题意; ②当 1<a<e 时,函数 g(x)在[1,a)上有 g′(x)<0,单调递减,在(a,e]上有 g′ (x) >0, 单调递增, 所以函数 g (x) 最小值为 f (a) =lna+1, 由 lna+1≤ , 得 0<a≤ 而知 1<a≤ 符合题意. . 从

③当 a≥e 时,显然函数 g(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为 g(e)=1+ ≥2> ,不 合题意 综上所述,a 的取值范围为 a≤ 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请 写清题号.选修 4-1:几何证明选讲 22.如图∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,以 BD 为直径的 eO 与 BC 交于点 E.

15

(Ⅰ)求证:BC?CD=AD?DB; (Ⅱ) 若 BE=4,点 N 在线段 BE 上移动,∠ONF=90°,NF 与⊙O 相交于点 F, 求 NF 的最小值.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (Ⅰ)由∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,得到 CD2=AD?DB,由此利用切割线定理能证明 CE?CB=AD?DB. (Ⅱ)由 NF= ,线段 OF 的长为定值,得到需求解线段 ON 长度的最小值,由此

能求出结果. 【解答】证明: (Ⅰ)在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D, 2 ∴CD =AD?DB, ∵CD 是圆 O 的切线, 2 由切割线定理,得 CD =CE?CB, ∴CE?CB=AD?DB. 解: (Ⅱ)∵ON⊥NF,∴NF= ,

∵线段 OF 的长为定值,即需求解线段 ON 长度的最小值, 弦中点到圆心的距离最短,此时 N 为 BE 的中点,点 F 与点 B 或 E 重合, ∴|NF|min= |BE|=2.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C1: (t 为参数) 与曲线 C2:

(θ 为参数,a>0) . (Ⅰ)若曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上,求 a 的值; (Ⅱ)当 a=3 时,曲线 C1 与曲线 C2 交于 A,B 两点,求 A,B 两点的距离. 【考点】参数方程化成普通方程.

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【分析】 (I) 曲线 C1:

(t 为参数) , 化为: y=3﹣2x. 令 y=0 可得与 x 轴的交点. 曲

线 C2: x 轴的交点.

(θ 为参数,a>0)的直角坐标方程为:

+

=1.利用 y=0 可得与

(II)当 a=3 时,曲线 C2:

化为:x2+y2=9.利用点到直线的距离公式可得:圆 .

心到直线的距离 d.利用弦长公式可得|AB|=2

【解答】 解: (I) 曲线 C1:

(t 为参数) , 化为: y=3﹣2x. 与 x 轴的交点为



曲线 C2: 为(±a,0) . ∵a>0,∴a= .

(θ 为参数,a>0)的直角坐标方程为:

+

=1.与 x 轴的交点

(II)当 a=3 时,曲线 C2: 圆心到直线的距离 d= ∴|AB|=2 =2 = .

化为:x +y =9.

2

2

=



选修 4-5:不等式选讲 24.已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x﹣m|+|x|,m∈N*,存在实数 x 使 f(x)<2 成立. (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)若 α ,β >1,f(α )+f(β )=2,求证: + ≥ .

【考点】基本不等式;绝对值三角不等式. 【分析】 (I)|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|,要使|x﹣m|+|x|<2 有解,则|m|<2,m∈N*, 解得 m. (II)α ,β >1,f(α )+f(β )=2α ﹣1+2β ﹣1=2,可得 α +β =2.再利用基本不等式 的性质即可得出. 【解答】 (I)解:∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|, ∴要使|x﹣m|+|x|<2 有解,则|m|<2,解得﹣2<m<2. * ∵m∈N ,∴m=1. (II)证明:α ,β >0,f(α )+f(β )=2α ﹣1+2β ﹣1=2, ∴α +β =2.

17



+

=

=



= , 当且

仅当 α =2β = 时取等号.

18


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