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2018届高考数学一轮复习精品学案:第9讲 空间几何体的表面积和体积


2018 年普通高考数学科一轮复习精品学案 第9讲 一.课标要求: 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。 空间几何体的表面积和体积 二.命题走向 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、 旋转体的面积和体积问题, 也有已知面积或体 积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。 即使考查空间线面的位置关系问题, 也常以几 何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学 会运用等价转化思想, 会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题, 会等体积转化求 解问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用―割补法‖等求解。 由于本讲公式多反映在考题上,预测 2018 年高考有以下特色: (1)用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式; (2)考题可能为:与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题;与多面体和旋转 体中某些元素有关的计算问题; 三.要点精讲 1.多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S 侧) 直截面周长× l 全面积(S 全) 体 积(V) S 底· h=S 直截面· h S 侧+2S 底 S 底· h S 侧+S 底 S 侧+S 上底+S 下 底 ch 各侧面积之和 棱 锥 1 ch′ 2 各侧面面积之和 1 S 底· h 3 1 (c+c′)h′ 2 1 h(S 上底+S 下底 3 + S下底 ? S下底 ) 表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧棱 长。 2.旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 2πrl 2πr(l+r) πr2h(即 πr2l) 圆锥 πrl πr(l+r) 圆台 π(r1+r2)l π(r1+r2)l+π(r21+r22) 4πR2 球 S侧 S全 V 1 2 πr h 3 1 πh(r21+r1r2+r22) 3 4 3 πR 3 表中 l、 h 分别表示母线、 高, r 表示圆柱、 圆锥与球冠的底半径, r1、 r2 分别表示圆台 上、 下底面半径,R 表示半径。 四.典例解析 题型 1:柱体的体积和表面积 例 1.一个长方体全面积是 20cm2,所有棱长的和是 24cm,求长方体的对角线长. 解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得: ? ?2( xy ? yz ? zx) ? 20 ?4( x ? y ? z) ? 24 (1) ( 2) 由(2)2 得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3) 由(3)-(1)得 x2+y2+z2=16 即 l2=16 所以 l=4(cm)。 点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表 面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、 体积之间的关系。 例 2.如图 1 所示,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=5,AD=4,AA1=3, AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD= ? 。 3 (1)求证:顶点 A1 在底面 ABCD 上的射影 O 在∠BAD 的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积。 图1 图2 解析:(1)如图 2,连结 A1O,则 A1O⊥底面 ABCD。作 OM⊥AB 交 AB 于 M,作 ON⊥AD 交 AD 于 N ,连结 A1M , A1N 。 由三垂 线定得得 A1M⊥AB , A1N⊥

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