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重庆市南开中学2010届高三上学期期末测试数学(文)试题

重庆市南开中学 高 2010 级高三(上)期末测试

数学试题(文科)
满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后, 将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只有 一项符合题目要求。 1.已知集合 A ? { x | x ? 1 ? 0} , B ? { x || x |? 2} , 则 A ? B = A. { x | x ? ? 1} B. { x | x ? 2}
2





C. { x | ? 1 ? x ? 2} D. { x | ? 1 ? x ? 2} ( C.1 D.0 ( ) )

2.函数 y ? ( s in x ? c o s x ) ? 1 的最大值是 A.3 B.2

? ? ? ? ? ? ? 3.面向量 a 与 b的 夹 角 为 6 0 , a ? ( 2 , 0 ) , | b | ? 1, 则 a ? b =

A.

1 2

B.1

C.

3 2

D. 3

4. 直线 l1 在 x 轴 和 y 轴 上的截距分别为 3 和 1, 直线 l 2 的 方 程 为 x ? 2 y ? 2 ? 0 , 则 直 线 l1 和 l 2 的角为 A.30° ( D.45°或 135° (
1 2



B.45°
?
2

C.135°
?
6 ) 的值是

5.已知 2 ta n ? ? s in ? ? 3, ?

? ? ? 0 , 则 c o s (? ?



A.0

B.

3 2

C.1

D.

?x ? y ? 2 ? 6.不等式组 ? 2 x ? y ? 4 ,所围成的平面区域的面积为 ?x ? y ? 0 ?





A. 3 2

B. 6 2

C.6

D.3

7.已知实数 x 满足 x ? x ? 0 , 则 x , x , ? x 的大小关系是
2 2

( D. x ? x ? ? x
2



A. ? x ? x ? x
x a
2 2

2

B. x ? ? x ? x
2

2

C. x ? x ? ? x
2

8.若双曲线 ( ) A.3

?

y b

2

? 1 的一个焦点到两条准线的距离之为 3:2,则双曲线的离心率是

B.5
x
2

C. 5

D. 3

9.已知椭圆

?

y

2

? 1 的左右焦点分别为 F1。F2,过 F2 且倾角为 45°的直线 l 交椭圆于

4

2

A,B 两点,对以下结论:①△ABF2 的周长为 8;②原点到 l 的距离为 1;③ | A B | ?

8 3



其中正确的结论有几个 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 10.已知一正方形,其顶点依次为 A1,A2,A3,A4,平面上任取一点 P0,设 P0 关于 A1 的 对称点为 P1,P1 关于 A2 的对称点为 P2,……,P3 关于 A4 的对称点为 P4,则向量 P0 P4 等于
????? ????? ?????
?

?????

( B. A1 A 4 C.2 A1 A 4 D. 0



A. A1 A 2

二、填空题(本大题共 5 小题,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上) 11.抛物线 x ? ?
2

1 2

y 的焦点坐标是

。 。
4? 3
n n
2 2

12.不等式 | 1 ? lo g 2 x | ? 2 的解集是 13.已知等差数列 { a n } 满 足 : a 1 0 0 5 ?
1 2

, 则 ta n ( a 1 ? a 2 0 0 9 ) =
n n ?1



14.已知数列 { a n } 满 足 a 1 ?
则 数 列 { a n }的 通 项 a n =

, an ?

?1

a n ?1 ?

,



15.以椭圆的右焦点 F2 为圆心作一个圆过椭圆的中心 O 并交于椭圆于 M、N,若过椭圆左焦点 F1 的直 线 MF1 是圆的切线,则椭圆的右准线 l 与圆 F2 的 位置关系是 。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) (各题解答必须写出必要的文字说明、演算步骤和 推理过程) 16. (本小题满分 13 分) 已知向量 O A ? ( 3 , ? 4 ) , O B ? ( 6 , ? 3 ) , O C ? ( 5 ? m , ? 3 ? m ) .
??? ? ??? ? ????

(I)若 A,B,C 三点共线,求实数 m 的值; (II)若∠ABC 为锐角,求实数 m 的取值范围。

17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 a c o s x ? b s in x c o s x ( a ? 0 , b ? 0 ), f ( x ) 的最大值为1 ? a , 最
2

小值为 ?

1 2

.

(I)求 f ( x ) 的最小正周期; (II)求 f ( x ) 的单调递增区间。

18. (本小题满分 13 分)
设 n 已 知 等 差 数 列 { a n }中 , d ? 0 ,a3 a7 ? ? 1 6 ,a2 ? a8 ? 0 , T ? |a 1 ? | |a 2 ? ? | ?
n

a |

| .

求: (I) { a n } 的通项公式 a n ; (II)求 T n .

19. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? lo g 2 (I)求 a 的值; (II)若关于 x的 方 程 f
?1

a ? 2 ? x x ? a

的是奇函数。

(x) ? m ? 2

?x

有 实 解 , 求 m 的取值范围。

20. (本小题满分 12 分) 已知点 A(1,1)是椭圆 且满足 | A F1 | ? | A F 2 | ? 4 . (I)求椭圆的两焦点坐标; (II)设点 B 是椭圆上任意一点,如果|AB|最大时,求证 A、B 两点关于原点 O 不对称;
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 上一点,F1,F2 是椭圆的两焦点,

21. (本小题满分 12 分) 已 知 i ? ( 1 , 0 nj ) , ? 足:
?? ?? ? ? a 1 ? 1, a 2 ? 1, a n ? 2 ? ( i ? j n ) ? Pn .
? ? ??
2

n? ( c o s 2

n? 2

? ?? n? , P i ?n a ) , s n n 2

( n?? , 数 i列 s N n

)n 满 ( a

) ,

{

(I)求证:数列 { a 2 k ? 1 } 是等差数;数列 { a 2 k } 是等比数列; (其中 k ? N ) ;
*
2 (II)记 a n ? f ( n ) , 对 任 意 的 正 整 数 n ? 2 , 不 等 式 ( c o s n ? ) [ f ( n ) - ? f ( 2 n ) ] ? 0 ,

求 ? 的取值范围。

参考答案
一、选择题 1—5CABBA 6—10 DDCAD 二、填空题:本大题共 5 小题,共 25 分。 11. ( 0 , ? )
8 1

12. ( 0 , ) ? ( 2 , ? ? )
8

1

13. ? 3
n
2

14.

n ?1

15.相交 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。 16. (13 分) 解: (1)已知向量 O A ? ( 3 , ? 4 ) , O B ? ( 6 , ? 3 ) , O C ? ( 5 ? m , ? ( 3 ? m ) )
? ? ?? ? ? ?? ? A B ? ( 3 , 1 ) A C? , (?2 m ? 1m , ),
??? ? ??? ? ????

由 三 点 共 线 知 3(1-m)=2-m
?实数m ? 1 2

时,满足的条件 ………………6 分
??? ? ????

(2)由题设知 B A ? ( ? 3 , ? 1) , B C ? ( ? 1 ? m , ? m ) ∵∠ABC 为锐角,? B A ? B C ? 3 ? 3 m ? m ? 0 ? m ? ? 又由(1)可知,当 m ?
1 2 3 1 1 故 m ? (? , ) ? ( , ?? ) 4 2 2 时 ,?ABC ? 0
?

??? ???? ?

3 4

…………12 分

………………13 分

17. 分)解: (3 (1) f ( x ) ? a (1 ? c o s 2 x ) ?
b 2 b
2

s in 2 x ?

a

2

?

b

2

s in ( 2 x ? ? ) ? a ,

4 b
2

由题设知 a 2 ? 所以 a ?
1 2 ,b ?

? 1, a ?

a

2

?

? ?

1 2



4
3

4

………………4 分
1 2 1 2

所以 f ( x ) ?

3 2

s in 2 x ?

cos 2 x ?

? s in ( 2 x ?

?
6

) ?

1 2



所以 f ( x ) 的最小正周期为 ? (2)由 2 k ? ?
?
2 ? 2x ?

………………7 分
?
2 ? k? ?

?
6

? 2k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6



所以 f ( x ) 单 调 增 区 间 为 [ k ? ? 18. (13 分)解: (1)设 { a n } 的公差为 d,则

?
3

, k? ?

?
6

]( k ? Z )

…………13 分

? a1 ? 8 d a1 ? 1 2 d ? ( a 1 ? 2 d )( a 1 ? 6 d ) ? ? 1 6 ? ? ? ? a1 ? 3 d ? a1 ? 5 d ? 0 ? a1 ? ? 4 d ? a1 ? ? 8 ?d ? 2

2

? ?16

………………2 分

解得: ?

? a1 ? 8 或 ? (舍去) ………………4 分 ?d ? ?2

? an ? 2n ? 10.

………………6 分

(II)当 1 ? n ? 1 5 时
T n ? | a 1 | ? | a 2 | ? ? ? | a n |? ? ( a 1 ? a 2 ? ? a n )

? ?

?8 ? 2n ? 10 2

? n ? 9n ? n .
2

………………9 分

当 n ? 6时 T n ? | a 1 | ? | a 2 | ? ? ? | a n |? ? ( a 1 ? a 2 ? ? a 5 ) ? a 6 ? a 7 ? ? ? a n ? ? 2 ( a1 ? a 2 ? ? ? a 5 ) ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? ?8 ? 0 2
2

?5?

?8 ? 2n ? 10 2

?n ? n

2

? 9n ? 40

综上: T n ? ?

? 9 n ? n (1 ? n ? 5 ) ? ?n ?
2

? 9n ? 40(n ? 6)

.

………………13 分

19. (12 分)解: (I)由
? f ( x) 奇 函 数 ? 为 ,

a ? 2 ? x x ? a
a?

? 0得 : a ? 2 ? x ? a

………………2 分

2 ? ? a ? a ?1 .

经验证可知:
a ? 1时 , f ( x是 奇 函 数 ) ,a ? 1 为所求 ………………5 分
x x

(II)? f ( x ) ? lo g 2 法一:由 f
x 2
?1

1? x 1? x
?x

,? f

?1

(x) ?

2 2

?1 ?1

.

…………8 分

(x) ? m ? 2
x

得:
2 x

m ?

(2 ) ? 2 2
x

?1

?

(2

x

? 1) ? 3 ( 2 2
x

? 1) ? 2

?1

? (2

x

? 1) ? 2

2
x

?1

? 3 ? 2

2 ? 3.

当 且 仅 当 x ? lo g 2 (

2 ? 1)时 , m m in ? 2
?

2 ?3

所以 m 的取值范围是 ? 2 2 ? 3, ? ? ?
x 2 x

…………12 分

法二:原方程即 ( 2 ) ? ( m ? 1) 2 ? m ? 0
设2
x

? t ,则 t

2

? ( m ? 1 )t ? m ? 0
2

原方程有实解,等价于方程 t ? ( m ? 1) t ? m ? 0 有正实解 …………6 分 令 g ( t ) ? t ? ( m ? 1) t ? m 则
2

g ( 0 )?

? g ( 0 )? 0 ? 或 ?m ?1 0 或 ? 0 ? ? 2

? ? g ( 0 )? 0 ? 2 ( ? ? ? m ? 1 ) ? m4 ? ?m ?1 ? ? 0 ? 2
2 ? 3 ?m ? 0

………………10 分 0

? m ? 0 或 m ? 0或 2

所以 m 的取值范围是 ? 2 2 ? 3, ? ? ?
?

…………12 分

20. (12 分) 解: (I)由椭圆定义知: 2 a ? 4 ,? a ? 2 ?
1 4 1 b
2

x

2

?

y b

2 2

?1

4

把(1,1)代入得

?

?1

?b

2

?

4 3

则椭圆方程为

x

2

?

y

2

4

4 3

?1

? c

2

? a

2

? b

2

? 4 ?

4 3

?

8 3

? c ?

2 3

6

故两焦点坐标 为 (

2 3

6

, 0 ), ( ?

2 3

6

, 0 ).

………………3 分

(II)用反证法:假设 A、B 两点关于原点 O 对称,则 B 点坐标为(—1,—1) , 此时 | A B | ? 2 2 取椭圆上一点 M ( ? 2 , 0 ) , 则 | A M | ?
?| A M ? | A B | .
10

从而此时|AB|不是最大,这与|AB|最大矛盾,所以命题成立。 …………7 分 21. (12 分) 解: (I) a n ? 2 ? ( i ? j n ) ? Pn
? [ (1, 0 ) ? ( c o s ? (1 ? c o s
2 2

?

?? ?

?? ?

n? 2

, s in

n? 2 n? 2

) ] ? ( a n , s in ,

n? 2

) ? (1 ? c o s

2

n? 2

, s in

n? 2

) ? ( a n , s in

n? 2

)

n? 2

) a n ? s in
*

? ? ? ? 2分

当 n ? 2 k ? 1( k ? N )时 , a 2 k ? 1 ? [1 ? c o s
2

( 2 k ? 1) ? 2

] a 2 k ? 1 ? s in

2

2k ? 1 2

?

? a 2 k ? 1 ? 1, 即 a 2 k ? 1 ? a 2 k ? 1 ? 1 .

所以数列 { a 2 k ? 1 } 是首项为 1、公差为 1 的等差数列, ………………4 分
当 n ? 2 k ( k ? N )时 , a 2 k ? 2 ? (1 ? c o s
* 2

2k? 2

) a 2 k ? s in

2

2k? 2

? 2a2k .

所以数列 { a 2 k } 是首项为 2、公比为 2 的等比数列,………………6 分
k (II)由(I)可知: a 2 k ? 1 ? k , a 2 k ? 2 .

故数列 { a n }的 通 项 公 式 为 a n

?n ?1 * , n ? 2 k ? 1( k ? N ), ? …………7 分 ? ? 2 n ? 2 * ? 2 , n ? 2 k ( k ? N ).

当 n 为奇数时,
(c o s n ? )[ f ( n ) ? ? f ( 2 n )] ? 0 ? ? ?
2

f (n ) f (2n)

2

?

n

2

?1
n ?1

2

令 g (n ) ?

n

2

?1
n ?1

? g ( n ? 1) ? g ( n ) ?

2n ? n 2
n

2

? 0 ? g ( n ? 1) ? g ( n )

2

所以 g ( n ) 为单调递减函数,? g ( n ) m a x ? g (3 ) ? 当 n 为偶数时,
(c o s n? )[ f ( n ) ? ? f ( 2 n )] ? 0 ? ? ?
2 ( n ?1) ?1
2

5 8

? ? ?

5 8

…………10 分

f (n ) f (2n)

2

( n ?1) ?1

2

? 2

2

令 h (n) ? 2

2

, 显 然 h ( n )为 单 调 递 增 函 数 ,

h ( n ) m in ? h ( 2 ) ? 1 ? ? ? 1

综上, ? 的 取 值 范 围 是 [ ,1] ………………12 分
8

5


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