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§11-1简谐振动


大学物理下册
教学内容: 振动和波动篇:机械振动,机械波 光学篇:波动光学

近代物理基础篇:狭义相对论基础,从经典
物理到量子物理,量子力学基础
太原理工大学物理系

第十一章 机械振动
振动是与人类生活和科学技术密切相关的 一种基本运动形式。 振动形式是多种多样的,如: 机械振动: 位移x随时间t的往复变化。 电磁振动: 电场、磁场等电磁量随t的往复变化。 微观振动: 如晶格点阵上原子的振动。

广义地说,任何一物理量在某个定值附近周期 性变化的现象称振动。
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§11-1 简谐振动
简谐振动是最简单、最基本的振动. 简谐运动
合成
分解

复杂振动

振动的理论建立在简谐振动的基础上。
一、简谐振动的特征 将弹簧振子水平放置, 取物体的平衡位置 为坐标原点,物体的运动轨迹为x轴。 太原理工大学物理系

1.动力学方程

弹性力

f ? ?kx

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牛顿运动方程


2

k ? ? 2 整理得 m

d x f ? ma ? m 2 ? ?kx dt
2

d x 2 ?? x ? 0 2 dt
2.运动学方程 解微分方程可得

简谐振动动力学方程

x ? A cos(?t ? ? 0 )
简谐振动运动学方程

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二、简谐振动的三个特征量 1.振幅 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 A, 由初始条件决定,描述振动的空间范围。 2.周期 振动状态重复一次所需要的时间,描述振 动的快慢.

Acos[ ?(t ? T ) ? ?0 ] ? Acos( ?t ? ?0 )
?T ? 2π T ? ? 1 物体在单位时间内发生完全振动的次 ?? T 数,称振动的频率.
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? ? 2π?
??
k m

称圆频率(角频率).

T ? 2?

m k

1 ?? 2?

k m

反映了系统的固有特性,分别称为谐振子系统 的固有圆频率、固有周期和固有频率. 3.相位 当A和?已知时, ? t ? ?0 可以决定t 时刻物 体的位移、速度和加速度,即确定物体的振动状态.

? t ? ?0

称t 时刻物体的振动相位. 太原理工大学物理系

比较a、b两点:位移相同,速度不同,相位不同. 比较a、c两点:位移相同,速度相同,相位不同. 结论:用相位描述物体振动,能反映出时间上的 周期性,而(x,v)则不能。

x
a
O

b
T

c
t

?0 反映t = 0时刻的振动状态,称初相位.
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三、相位差 1.对于同一简谐运动 对于简谐运动 t1时刻相位 t2时刻相位 相位差

x ? A cos(?t ? ?0 ) ?t1 ? ?0
?t2 ? ?0

?? ? (?t2 ? ?0 ) ? (?t1 ? ?0 )
??

相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间

?t ? t 2 ? t1 ?

太原理工大学物理系

?

2.对不同一简谐运动 设两个同频率的简谐振动

x1 ? A1 cos(?t ? ?10 )

x2 ? A2 cos(?t ? ?20 )

相位差

?? ? (?t ? ?20 ) ? (?t ? ?10 )

?? ? ?20 ? ?10
1)同相位和反相位

?? ? ?2k π

(k ? 0 , 1, 2,?)

两振动步调完全一致,称两个振动同相位。 太原理工大学物理系

?? ? ?(2k ? 1) π

(k ? 0 , 1,2 ?)

两振动步调完全相反,称两个振动反相位。 2)超前和落后

??

? 0 第二个简谐振动比第一个超前 ? 0 第二个简谐振动比第一个落后

两个振动在相位上相差 ?? 时,相对应的时间上 相差为 ?? ?t ? ? T 以 ?? ? ? ?t ? 来判断。 2 太原理工大学物理系

四、 简谐振动的表示方法 1. 解析法 x ? A cos ? t ? ?0

?

?

物体作简谐振动时的速度

dx v ? ? ? A? sin ?? t ? ? 0 ? dt π? ? v ? A? cos? ? t ? ?0 ? ? 2? ?
物体作简谐振动时的加速度

dv 2 2 a? ? ? A? cos ?? t ? ?0 ? ? ?? x dt

a ? A? cos?? t ? ?0 ? π?
2

太原理工大学物理系

x ? A cos?? t ? ?0 ?

a ? A? cos?? t ? ?0 ? π?
2

π? ? v ? A? cos? ? t ? ?0 ? ? 2? ?

均是作谐振动的物理量,有 (1) 频率关系:频率相同,均为 ? (2) 振幅关系:

vm ? A?

am ? A?

2

(3) 相位关系:v比x超前?/2,a比v超前?/2。 太原理工大学物理系

2.曲线法 用振动曲线描述简谐振动 x A -A ωA -ωA ω2A -ω2A o v
o

?0 ? 0
t

T/2 T

t

a o 太原理工大学物理系 t

3.旋转矢量法
匀速圆周运动在任意直径方向的分运动为 简谐振动,采用几何的方法描述简谐振动。

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圆周运动与简谐振动的关系:
(1)矢量端点在x轴上的投影为简谐振动方程

x ? A cos(?t ? ?0 )
(2)t=0时刻,矢量与x轴的夹角?0为初相位 (3)在任意t时刻,矢量与x轴的夹角ωt+?0为t时 刻的相位

太原理工大学物理系

旋转矢量法表示的优点:
(1)相位显示直观

t ? t 时刻

? A ?t ? ?0
?0

t=0时刻

?

o

x

x ? Acos( ?t ? ?0 )
旋转矢量用图代替了文字的叙述。 太原理工大学物理系

(2) 比较相位方便

x ? A cos ?? t ? ?0 ? π? ? v ? A? cos ? ? t ? ?0 ? ? 2? ? 2 a ? A? cos ?? t ? ?0 ? π ?
由图看出:速度超前位移

? ?A
? ?A
2

?
? A

加速度超前速度

π 2

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(3) 计算时间简便:用熟悉的圆周运动代替三角 函数的运算。

例1 质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧组成 的弹簧谐振子,t = 0时,质点过平衡位置且向正 方向运动。求物体运动到负二分之一振幅处所用 的最短时间。
解:设 t 时刻到达末态,由已知条件画出t = 0 时 刻和t时刻的旋转矢量图。

x0 ? ? A / 2 x ? 0 0 t ? 0 振动状态 t 时刻振动状态 v0未知 v0 ? 0
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x ? 0 0 t ? 0 振动状态 v0 ? 0
?0 ? ? ?
2

?
?

t 时刻振动状态

x0 ? ? A / 2

o
t?0

x

v0未知

2 ? 5 两个状态的相位差 ?? ? ? ? (? ) ? ? 3 2 6

2 用时最短 ? ? ? 3

7π ? t? ? 6?

??

k ?? m

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例2 利用旋转矢量法确定质点在不同运动状态 时的相位。 (1)t 时刻质点在正最大位移处
由旋转矢量图可以得出,旋转矢量与x轴的夹角 ? 为零,故得

? t ? ?0 ? 0

A

(2)质点经二分之一振幅处 向负方向运动

o

? A

x

A x? 2

v?0

π ? t ? ?0 ? 3
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x
2

1

(3) 当质点过平衡位置向负方向运动

x?0

v?0
同样

π ? t ? ?0 ? 2

? ? A A
o

A x?? 2 v?0

? A

? A

? A

x

π ? t ? ?0 ? π ? 3

x ? ?A
注意到:

? t ? ?0 ? π
234

x
5 4 3 2 1

v?0

质点向负方向运动

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(4)质点向正方向运动

v >0

A x?? 2

π 2π ? t ? ?0 ? π ? 或 ? ? 3 3

v >0

x?0
A x? 2 v >0

π ? t ? ?0 ? ? 2

o

x
? A

? ?t ? ?0 ? ? 3

? A
6

? A
7

v > 0 向正向运动 6,7,8

x
8

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小结

简谐振动的三个判据

1)受力特征 f — 恢复力 2) 振动方程 3)微分方程

f ? ?kx
k — 劲度系数

x ? Acos?? t ? ?0 ?
d x 2 ?? x ? 0 2 dt
2

以上1)、2)、3)中任一条成立即可判定 为简谐振动。 太原理工大学物理系

简谐振动的三种表示方法
解析法: x

? A cos(?t ?? 0)

曲线法:x——t 曲线

旋转矢量法:
旋转矢量

角速度=圆频率? 长度=振幅A 初始角=初相?0

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旋转矢量图与简谐运动的x-t图的对应关系

太原理工大学物理系

简谐振动的三个特征量

圆频率 ? ?
振幅 由

k 由系统决定,与初始条件无关 m

反映振动的强弱,由初始条件决定.

v ? ? A? sin ?? t ? ?0 ?
x0 ? Acos?0

x ? A cos?? t ? ?0 ?

t=0时

v0 ? ? A? sin?0

可得

A?

x ?
2 0

v

?

2 0 2

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初相位 ? 0 已知初始振动状态,用旋转矢量确定 x0<0 v0<0 x0= -A v 0= 0

x0=0 v 0< 0

x0>0 v0<0
x 0= A v0=0 x

o

x0<0 v0>0

x0=0 v0>0

x0>0 v0>0

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例3 一轻弹簧的右端连着一物体,弹簧的劲度系数
k=0.72N/m, 物体的质量m =20g. 求: (1)把物体从平衡位置向右拉到x = 0.05m 处停下后再 释放, 求简谐运动方程; 解(1)先求三个特征量:圆频率? 、振幅A、 初相位?0

k 0.72 ?? ? ? 6.0rad/s m 0.02

A?

2 x0

?

?

2 v0 2

? x0 ? 0.05m

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由旋转矢量图知?0=0

o

A

x

所以运动方程为: x ? 0.05 cos(6t )

(SI)

(2)求物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速率; 解(2)x=A/2时,速度方向为x轴负方向 由旋转矢量图知 相位

3 v ? ??A sin ? t
?
3

?t ?

?
o

t时刻
A

? /3
A t=0时刻

A/2

? ?6.0 ? 0.05 ? sin

? ?0.26m / s

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(3)如果物体在x = 0.05m处时速度不等于零, 而是具 有向右的初速度v0= 0.30m/s, 求其运动方程.

解(3)设 x = A? cos( 6 t + ?0)
2 ? 因x0=0.05m , v0=0.3m/s A ? x0 ?

?

2 v0 2

? 0.07m

t=0 时

x0 =0.05m

?0 ? ? 或
4

?

?
4

cos?0 ? x0 / A' ? 0.714

又 v0> 0

所以 ? 0 ? ?

?
4
?

o
A?

x

??

x ? 0.07 cos( 6t ? ) (SI) 4 太原理工大学物理系

4

例4 一质量为0.01kg的物体作简谐运动,其振幅为
0.08m,周期为4s,起始时刻在x=0.04m处,向ox轴负方 向运动.试求:(1)t=1.0s时,物体所处的位置和所受的力。
解(1)已知 A=0.08m 在 t = 0时有: x=A/2, v0<0

2π ? ?1 ?? ? s T 2
A

故取?0 ?

?
3

?/3

o A/2

得 x ? 0.08 cos( t ? ) 2 3

?

?

x

(SI)

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t=1.0s时,由上式解得x=-0.069m 受力为

f=-kx=-m?2x=1.70×10-3N

(2)由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间. 解(2)t时刻运动到x=-0.04m处

2 ? t ? ? ? ?t ? ? 0 3 π/3 ?t ? ?0 ? t? ? ? /2

t时刻

t=0时刻

-A/2

o

A/2

x

太原理工大学物理系

例5 两个同频率简谐振动曲线如图所示,比较它 们的位相差关系。

x

A1 A2

x1

x2
T t

o A2 -A1

解:选定某一运动状态,谁先到达谁超前.
选正最大位移,x2 比x1 较早达到正最大位移 x2 比x1时间超前T/4,相位超前?/2.
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例6

某简谐振动的振动曲线如图,写出振动方程。 x(cm)

O -1 -2
解: 设振动方程为

t(s) 1

则由振动曲线: A=2 cm

A x?? 2 t=0时刻 v0 ? 0

太原理工大学物理系

A x ? ? 的旋矢图: 2
又 v0<0,故
-A/2

t=0
2? 3

t=1s

x

t=1s时

x?A

v =0

?1 ? ? ? ?0 ? 2?

于是 太原理工大学物理系

例7 质点的振动规律用余弦函数描述,其v~t 曲 线如图,求初相位。 v(m/s) vm vm / 2
O

t( s )

解: 令t=0, 有

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所以

a ? ? A? cos?? t ? ?0 ? a0 ? ? A? cos?0
2 2

vm vm / 2
O

v(m/s)

t( s )

将?0的两个值代入,由图可以看出a0>0

故选
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例8 如图:m=20g, 平衡时弹簧的形变为 ?l = 9.8cm。将弹簧压缩9.8cm, 物体由静止释放。 ⑴ 取开始振动时为计时零点,写出振动方程; 解(1)平衡位置时 mg = k ? l

取平衡位置为坐标原点,向下为正 对物体任意位移 x 时受力分析

k
0

f ? m g ? k ( x ? ?l )
f ? ?kx
物体作简谐振动! 太原理工大学物理系

y

x ? Acos?? t ? ?0 ?
弹簧的弹性系数为:k=mg/ ? l

由初条件:x0= –9.8cm,v0=0, 得

由x0= -A

得 ?0 = ?

振动方程为:x = 9.8cos( 10t+? ) cm 太原理工大学物理系

(2)若取x0= 0,v0 > 0为计时零点, 写出振动方程。
解(2)按题意t = 0 时, x0= 0,v0 > 0 由旋转矢量法 ?0= -?/2

?

?
2

k
0

x = 9.8cos( 10 t - ? /2 ) cm 对同一谐振动, 取不同的计时零 点, ? 0不同,但 ? 和 A 不变 . 太原理工大学物理系

y

五、几种常见的简谐振动 1.单摆 忽略空气阻力,质点在平衡点附近往复运动. 重力矩: M=-mgl sinθ
2 d ? 2 ? mgl sin ? ? ml 2 dt

A θ l T m O

根据转动定律:

在小角度条件下

sinθ ≈ θ (θ < 5°)

d ? g ? ? ?0 2 l dt
2

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g ? ? l
2

G

质点作简谐运动

简谐运动周期 简谐运动方程

T ? 2?

l g

? m 简谐运动最大角位移
?0 初相位
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2.复摆 质量为m的任意形状的物体,绕O点作微小 的自由摆动,称为复摆. O? 设复摆的转动惯量为J,复摆的质心 h C到O的距离为OC=h θ ?C 重力矩 M =-mgl sinθ 当θ很小时, M =-mgl θ d 2? 由转动定律 ? mgl ? ? J 2 dt
P

d 2? mgl ? ? ?0 2 dt J

令 ??

mgl J

简谐运动微分方程 太原理工大学物理系

五、简谐振动的能量 考虑一水平弹簧振子

k
0

以弹簧原长为势能零点

x

x

1 1 2 Ek ? mv Ek ? m? 2 A2 sin 2 (? t ? ? 0 ) 2 2 1 2 E ? 1 kA2 cos 2 (? t ? ? ) E p ? kx p 0 2 2 1 2 1 2 1 2 2 mv ? kx ? kA m? ? k 2 2 2 1 1 2 2 mv ? kx ? C 2 2
太原理工大学物理系

振动能量和时间的关系(设初相位为零)
E

o

x

T 4

T 2

3T 2

T

1 2 E ? Ek ? Ep ? kA 2 1 2 Ep ? kA cos 2 ? t 2 1 2 2 Ek ? kA sin ? t 2 t

o

t
T
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讨论 1)

1 1 2 1 2 2 mv ? kx ? kA 2 2 2
2

简谐振动的各特征量的性质

1 2 EK ? EP ? kA 2) 时间平均值 4 2E 3) 由简谐振动能量求振幅 A ? k
振幅A 初相?0 由系统的振动能量决定;

E ? A 具有普遍适用性

角频率? 由系统的内在性质决定;

由时间零点的选取决定。 太原理工大学物理系

例9 弹簧振子总能量为E1,若其振幅增为原来 的两倍或者重物质量增为原来的四倍,则振子 总能量为原来的几倍? 解:

振子总能量为原来的4倍.

太原理工大学物理系

例10 系统作谐振动,周期为T,以余弦函数表 达振动时,初相为零,则在0? t ? T/2范围内, 系统在什么时刻动能和势能相等。 解: 按题意

当E p ? Ek时
1 2 1 2 所以 kx ? kA 2 4
动能和势能相等的位置在 太原理工大学物理系

旋矢图:

3?/4

?/4

X

因此

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习题类型:
? 已知振幅、频率及初始条件,求振动 方程; ? 已知振动曲线,求简谐振动方程; ? 比较两个简谐振动的相位关系。

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